数学专题讲座精品大全：函数与方程.doc

高考数学专题复习讲座专题1：函数与方程函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式y = f (x)，那么这个解析表达式可以看成是一个方程，一个二元方程，两个变量间存在着对应关系，如果这个对应关系是函数的话，那么这个方程可以看成是一个函数；一个一元方程，它的两端可以分别看作函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关函数的问题也可用方程的方法去解决。函数思想，即先构造函数，把给定问题转化对辅助函数的性质研究，得出所需的结论。方程思想，就是把对数学问题的认识，归纳为对方程和方程组的认识。对于函数思想，应深刻理解一般函数y=f(x)、的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图像变换）。熟练掌握基本初等函数的性质，是应用函数思想解题的基础。函数方程思想常同数形结合、等价转化思想相互融合后才能充分发挥其具体解题的功效。【例题解析】【例1】 （1）已知集合a=x|x2ax+a219=0，集合b=x|log2(x25x+8)=1，集合c=x|m=1,m0，|m|1满足ab，ac=，求实数a的值；(2)已知集合p=x|x25x+40,q=x|x22bx+b+20满足pq，求实数b的取值范围。解 （1）由条件即可得b=2，3，c=4，2，由ab，ac=，可知3a，2a。将x=3代入集合a的条件得：a23a10=0a=2或a=5当a=2时，a=x|x2+2x15=0=5,3,符合已知条件。当a=5时,a=x|x25x+6=0=2，3，不符合条件“ac”=，故舍去。综上得：a=2。（2）显然p=x|1x4，记f(x)=x22bx+b+2若q为空集，则由0得：4b24(b+2)0 1b2。若q不是空集，则应满足 即解之得：2b综上得：1 a，满足条件。（2）当 满足条件，故。 由，解得a 0又当a = 0时，p、q、r三点重合，故a0 当a 0或时，方程只有一个实根，所求a的范围是a 0或。【例4】 已知函数f(x)的定义域为r，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7时，f(x)=(x2)2，求当x16,20时，函数g(x)=2xf(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间1000,1000上的根数为n，求n的最小值。解：（1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10为周期的周期函数。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）当x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2当x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17时，g(x)最大值为16，最小值为9；x（17，20，g(x)g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=0所以最少有401个解。且这401个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 一般地：当x3，2时，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2当x3,7,f(x)=(x2)2故当x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kz）【例5】 设a是正数，ax+y=2(x0,y0)，记y+3xx2的最大值是m(a)，试求：（1）m(a)的表达式；（2）m(a)的最小值。解：将代数式y+3xx2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进行分类求m(a)。（1）设s(x)=y+3xx2,将y=2ax代入消去y，得：s(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0x下面分三种情况求m(a)(i)当03a0)，即时解得 0a1或2a0)，即时，解得：1a2，这时m(a)=s()=2a+3 =+(iii)当3a0；即a3时m(a)=s(0)=2综上所述得：m（a）=（2）下面分情况探讨m(a)的最小值。当0a1或2a2当1a2时m(a)=+=2()2+1a21当=时，m(a)取小值，即m(a)m（2）=当a3时，m(a)=2经过比较上述各类中m(a)的最小者，可得m(a)的最小值是2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3a是否在定义域区间0，内，这样就引出三种状态，找出解题的方案。【例6】 设函数f(x)定义域为r，当x0时，f(x)1，且对任意x,yr，有f(x+y)=f(x)f(y)。（1）证明：f(0)=1;（2）证明：f(x)在r上是增函数；（3）设集合a=(x,y)|f(x2)f(y2)0时，f(x)1。则设x=0,y=1得：f(0+1)=f(0)f(1)，即f(1)=f(0)f(1)f(1)1 f(0)=1（2）证明f(x)在r上是增函数，即证明当x1x2时，有f(x1)f(x2)。对x1,x2r,x10f(x2)=f(x1+x2x1)=f(x1)f(x2x1)中有f(x2x1)1故要证明f(x2)f(x1)，只要证明f(x1)0即可。事实上，当x10时，f(x1)10当x1=0时，f(x1)=10当x11 0f(x1)0f(x2)=f(x1)f(x2x1)f(x1)，故命题得证。（3）解 a：f(x2+y2)f(1)，则由单调性知x2+y20，得f(x)=，证得f(x)0恒成立。且=f(x2)f(x1)=f(x2x1)1f(x2)f(x1)【例7】 已知 a b c，且a + b + c = 0，证明：方程的两实根x1、x2总有。分析：根据方程中的已知条件，这就要将欲证的|x1x2|中用已知a、b、c的关系来表示，即求|x1x2|的函数解析表达式，然后利用函数的有关性加以解决。 x1、x2是方程的两个实根，于是转化为关于的二次函数的值域为(3, 12) 的对称轴方程为【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0(a,b,cr)。（1）求证：两函数的图像交于不同的两点a、b；（2）求线段ab在x轴上的投影a1b1的长度的取值范围。解：（1）证：由消去y，得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+)2+c2abc ，c不同时为00，即两函数的图像交于不同的两点。（2）设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=,x1x2=|a1b1|2=( x1x2)2=( x1+x2)24x1x2 =()2=4()2+1=4(+)2+abc，a+b+c=0，a0,c 0，由（1）知，于是只需证明f (0)和f (1)中有一个大于零即可。由已知条件式可求得【例10】 (97全国)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),已知二次方程f(x)x=0的两个根x1与x2满足0x1x2。（1）证明：当u(0,x1)时，uf(u)x1;（2）若f(x0x)=f(x0+x)，证明：2x0x1。证法一：（1）令f(x)=f(x)x，因为x1,x2是方程f(x)x=0的根，所以可设f(x)=a(xx1)(xx2)当u（0，x1）时， x10，又a0，得f(u)=a(ux1)(ux2)0，即uf(u)x1f(u)=x1(u+f(u) =(x1u)1+a(ux2)0ux1x20,1+a(ux2)=1+auax21ax20，得x1f(u)0。 f(u)x1故当u（0，x1）时，uf(u)x1（2）依题意得x0=x1,x2是方程f(x)x=0的两根，即x1,x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，所以x1+x2=x0=ax21, x0=，即2x0x1。证法二：（1）方程f(x)x=0的两根为x1,x2 f(x)x=a(xx1)(xx2)故欲证uf(u)x10f(u)ux1u0a(ux1)(ux2)x1u0a(x2u)0）0x2u0)又0ux2, 0x2u成立。故uf(u)x1成立。（2）由于方程x1,x2是方程f(x)x=0的根，也即ax2+(b1)x+c=0的两根。x1+x2=+又0x2x1+x2=+x1又x0=，故2x00。（1）求f()及f();（2）证明f(x)是周期函数；（3）记an=f(2n+),求(lnan)。解 （1）f(1)=f(+)=f()f()=f2()=af()=又f()=f(+)=f2()0 f()=a 同理可得f()=a（2）f(x)是偶函数， f(x)=f(x)又f(x)关于x=1对称，f(x)=f(2x)f(x)=f(x)=f2(x)=f(2+x) （xr）这表明f(x)是r上的周期函数，且2是它的一个周期。（3）对于x0，1，有0, f(x)=f(+)=f()f()0 （x0,1）（，其中，不能同时为0，）f()=f(n)=f+(n1)=f()f(n1)=f()f()f()=f()n又f()=a,f()=af(2n+)=f() an=a(lnan)= (lna)=0【例12】 已知a,b,c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当1x1时，|f(x)| 1。（1）证明：|c|1;（2）证明：当1x1时，|g(x)| 2;（3）设a0，当1x1时，g(x)的最大值为2，求f(x)。解：（1）取x=01，1，由已知得：|c|=|f(0)| 1(2) 因为g(x)=ax+b是关于x的一次函数（也可能是常数函数），所以g(x)在区间1，1上单调（a0时，单调递增；a0时，g(x)在1，1上是增函数，所以当x=1时，g(x)取得最大值2，即2=g(1)=f(1)f(0)所以 1f(0)=f(1)212=1从而得：c=f(0)=1又当x1，1时，f(x)1=f(0)，表明二次函数f(x)在1，1上不单调，所以有1,1，且 f()=f(0)=1。又由二次函数极值的惟一性得：=0，即b=0，由，得所以 f(x)=2x21。注：本题第（2）小题还可这样证明：用f(1),f(0),f(1)表示出a,b,c。由解得：a=f(0),b=,c=f(0)故|g(x)|=|ax+b| =|f(0)x+| =|f(1)+ f(1)xf(0)| |f(1)|+|f（1）|+|x|f(0)| |+|+1 =+1 =2【例13】 设函数，证明：（1）存在两个实数，满足；（2）；（3）证明：欲使其为成立，故原命题转化为关于m的方程有两个不等的实根。由 = 得证。【函数与方程综合能力训练】一、选择题1、已知集合m=x|x2+6x160,n=x|(xk)(xk2)0,mn，则k的取值范围是（ ）a、k0；b、k2；c、8k0；d、k8或k02、已知集合m=x|x2=a2,ax|x是正实数，集合n=x|nx=a，a0，若nm，则n取值的集合是（ ）a、1b、1c、1,1d、1,0,13、已知函数f(x)=x2,集合a=x|f(x1) =ax,xr，且ax|x是正实数=x|x是正实数，则实数a的取值范围是（ ）a、（4,+）b、（，1c、（0,+）d、（,40,+4、函数y=x的值域是（ ）a、,+；b、（，；c、,+；d、(, +)5、已知函数f(x)=4x2+4axa24a(a0)在区间0,1上有最大值12，则实数a的值为( )a、1b、2c、3d、66、函数f(x)=x22xsin+sin1(r)在区间0，1上的极小值为g(sin)，则g(sin)的最小、最大值是( )a、最小值1，最大值b、最小值3，最大值c、最小值2，最大值d、无最小值，最大值7、当0x1时，函数y=ax+a1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）a、a1c、a1d、ag(a)g(b)成立的是（ ）a、ab0b、ab0d、ab1（或x2，则a的取值范围是（ ）a、(,1)(1,2)；b、(0,)(1,2)；c、(1,2)；d、(0,)(2,+)二、填空题13、函数y=+logx的值域是 。14、已知f(x)=a(a为不等于1的正数)，且f(lga)=，则a= 。15、x0是x的方程ax=logax(0a1)的解，则x0,1,a这三个数的大小关系是 。16、若函数f(x)=ax+blog2(x+)+1在(,0)上有最小值3(a,b为非零常数)，则函数f(x)在（0，+）上有最 值为 。三、解答题17、设f(x)是定义在（，+）上的函数，对一切xr均有f(x)+f(x+3)=0，且当1x1时，f(x)=2x3，求当20有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数。（1）证明f(1)=0;（2）若f(x)+f(x2)2成立，求x的取值范围。20、设集合a=x|4x2x+2+a=0,xr。（1）若a中仅有一个元素，求实数a的取值集合b；（2）若对于任意ab，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围。21、已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件：f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根。（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n（m1。【函数与方程综合能力训练参考答案】1、a 2、d 3、a 4、a 5、d 6、c 7、d 8、b 9、a 10、c 11、b 12、d 13、 14、10或10 15、ax01 16、大、517、解