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- -高中物理习题汇编 第六章 功和能 省实验中学物理组第六章 功和能考点解读知识内容要求说明27、功、功率28、动能、做功与动能改变的关系29、重力势能、重力做功与重力势能改变的关系30、弹性势能31、机械能守恒定律知识网络功 功是能量转换的量度，即：有功必有能量形式的转换做了多少功就有多少能量发生了形式转换。大小：w=fscos (两个要素： 力 力方向上有位移)单位：焦（j）正功 ：表示动力功(即力与位移夹角小于900。) 负功：表示阻力功(即力与位移夹角大于900。)功率 平均功率 单位：瓦（焦秒） 即时功率p=fvcos，单位：瓦（焦秒）动能 物体由于运动所具有的能。 (动能是运动状态的函数，是标量)动能定理 合外力所做的功等于物体动能的变化。表达式w=ek2ek1 （动能定理适用于变力做功的过程）势能 由于物体之间相对位置和物体各部分间相对位置决定的能叫势能。重力势能 epmgh h为物体距零势能位置的高度。零势能位置可依具体问题解题方便而定，故重力势能的大小只有相对的意义。重力势能的变化表示了重力做功的多少。弹性势能 物体由于发生弹性形变而具有的能。机械能守恒定律(动能和势能统称机械能) 在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。 同样，在只有弹力做功的情形下，物体的动能和弹性势能发生相互转化，机械能总量也保持不变。功和能解题方法指导例1汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是 a速度变大，加速度也变大 b速度变小，加速度也变小c速度变大，而加速度变小 d速度最大时，牵引力一定也最大分析 当汽车的功率恒定时，由公式p=fv可知，随着运动速度的减小当加速度减小到零时，汽车的速度达最大值此时的牵引力应是最小答 c说明 不少学生受生活直觉的影响，还常被笼罩在亚里士多德关于力与运动关系错误观点的阴影里，总是把力与运动（速度）直接联系起来，认为汽车开得快时牵引力大，开得慢时牵引力小应该注意：这里的基本点是功率恒定，力与运动速度必须受它的制约例2 汽车以速率v1沿一斜坡向上匀速行驶，若保持发动机功率不变，沿此斜坡向下匀速行驶的速率为v2，则汽车以同样大小的功率在水平路面上行驶时的最大速率为（设三情况下汽车所受的阻力相同） 分析 设汽车的质量为m，斜坡倾角为，汽车沿斜坡匀速向上和匀速向下时的牵引力分别为f1、f2，阻力大小为f，根据力平衡条件和功率公式可知联立两式，得所受阻力的大小代入式或式，得发动机的功率若汽车沿水平路面行驶，达最大车速时牵引力等于阻力，即答 c例3 质量m=5t的汽车从静止出发，以a=1ms2的加速度沿水平直路作匀加速运动，汽车所受的阻力等于车重的0.06倍，求汽车在10s内的平均功率和10s末的瞬时功率取g=10ms2分析 汽车在水平方向受到两个力：牵引力f和阻力f根据牛顿第二定律算出牵引力，结合运动学公式算出10s内的位移和10s末的速度即可求解解答 设汽车的牵引力为f，阻力f=kmg=0.06mg由牛顿第二定律f-f=ma，得 f=m（0.06g+a）=5103（0.0610+1）n=8103n汽车在t=10s内的位移和10s末的速度分别为vt=at=110ms=10ms所以汽车在10s内的平均功率和10s末的功率分别为pt=fvt=810310w=8104w说明 题中汽车作匀加速运动，因此10s内的平均功率也可用由此可见，在匀变速运动中，某段时间内的平均功率等于这段时间始末两时刻瞬时功率的平均即讨论汽车、火车或轮船等交通工具，在恒定的功率下起动，都是作变加速运动这个过程中牵引力f与运动速度v的制约关系如下：所以，最大的运动速度就是作匀速运动时的速度课本中的例题要求轮船的最大航行速度，就是在f=f时匀速航行的速度例题4 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如 果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则 a加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大b匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大c两过程中拉力的功一样大d上述三种情况都有可能思路点拨 因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力f这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态设匀加速提升重物时拉力为f1，重物加速度为a，由牛顿第二定律f1mg=ma，匀速提升重物时，设拉力为f2，由平衡条件有f2=mg，匀速直线运动的位移s2=vt=at2拉力f2所做的功w2=f2s2=mgat2解题过程 比较上述两种情况下拉力f1、f2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系因此选项a、b、c的结论均可能出现故答案应选d小结 由恒力功的定义式w=fscos可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功例题5 质量为m、长为l的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m的小物块，如图81所示现在长木板右端加一水平恒力f，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为，求把长木板抽出来所做的功思路点拨 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力f的功解题过程 由f=ma得m与m的各自对地的加速度分别为设抽出木板所用的时间为t，则m与m在时间t内的位移分别为所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为小结 解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图82)在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移sm与木板长度l之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果例题6 如图83所示，用恒力f通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置a拉到位置b，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置a、b时，细绳与水平面的夹角分别为和，求绳的拉力f对物体做的功思路点拨 从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力t，大小与外力f相等，但物体从a运动至b的过程中，拉力t的方向与水平面的夹角由变为，显然拉力t为变力此时恒力功定义式w=fscos就不适用了如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键由于绳拉物体的变力t对物体所做的功与恒力f拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功解题过程 设物体在位置a时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置b时，绳长变为l2，因此物体由a到b，绳长的变化量又因t=f，则绳的拉力t对物体做的功小结 如何由求变力功转化为求恒力功，即实现由变到不变的转化，本题采用了等效法，即将恒定拉力f作用点的位移与拉力f的乘积替代绳的拉力对物体做功这种解题的思路和方法应予以高度重视例题7 汽车发动机的功率为60 kw，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，如图84，所受阻力为车重的0.1倍(g10 m/s2)，求：(1)汽车所能达到的最大速度vm=？(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？(4)在10 s末汽车的即时功率为多大？思路点拨 由p=fv可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服下滑力)相等时，速度达最大只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当fv=p额时，匀加速运动即告结束，可由w=fs求出这一阶段汽车做的功当10 s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由pt=fvt求发动机的即时功率解题过程(1) 汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即fkmgmgsin=4000800=4800 n又因为ff时，p=fvm，所以(2) 汽车从静止开始，以a=0.6 m/s2，匀加速行驶，由fma，有ffmgsinma所以fmakmgmgsin41030.648007.2103 n保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm，有由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移(3) 由w=fs可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为wfs7.210357.82=4.16105j(4) 当t10 s13.9 s，说明汽车在10 s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率ptfvtfat7.21030.61043.2 kw小结 本题为功和功率概念应用于汽车运动过程中的综合题注意汽车匀加速行驶的特征：牵引力为恒力，发动机输出功率与即时功率逐渐呈线性增大当输出功率达到额定功率可作为匀加速运动结束的判以vm收尾匀速行驶例8 用一根长l的细线，一端固定在顶板上，另一端拴一个质量为m的小球现使细线偏离竖直方向角后，从a处无初速地释放小球（图4-21）试问：（1）小球摆到最低点o时的速度？（2）小球摆到左方最高点的高度（相对最低点）？向左摆动过程中能达到的最大高度有何变化？分析 球在摆动过程中，受到两个力作用：重力和线的拉力由于小球在拉力方向上没有位移，拉力对小球不做功，只有重力做功，所以小球在运动过程中机械能守恒解答（1）设位置a相对最低点o的高度为h，取过o点的水平面为零势能位置由机械能守恒得（2）由于摆到左方最高点b时的速度为零，小球在b点时只有势能由机械能守恒ea=eb即 mgh=mgh所以b点相对最低点的高度为h=h（3）当钉有钉子p时，悬线摆至竖直位置碰钉后，将以p为中心继续左摆由机械能守恒可知，小球摆至左方最高点b1时仍与ab等高，如图4-22所示说明 第（3）小题中的钉子在竖直线上不同位置时，对小球的运动是有影响的当钉子位于水平线ab上方时，小球碰钉后总能摆到跟ab同一高度处若钉子继续下移，碰钉后的运动较为复杂，有兴趣的读者可自行研究讨论1机械能守恒定律的研究对象机械能的转化和守恒是指系统而言动能与重力势能的转化是指物体与地球组成的系统机械能守恒；动能与弹性势能的转化是指物体与弹簧组成的系统机械能守恒通常说某物体的机械能守恒是一种简化的不严格的说法前面介绍的动能公式，则是对单个物体（质点）而言的2机械能守恒定律的应用特点应用机械能守恒定律时，只需着重于始末两状态的分析，不需考虑中间过程的细节变化，这是守恒定律的一大特点如例2中没有从具体的抛出方式的不同规律出发，但根据机械能守恒却很容易求解例题9 如图855所示，半径为r，质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴o，在盘的右边缘固定的小球b，放开盘让其自由转动问：(1)当a转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？(2)a球转到最低点时的线速度是多少？(3)在转动过程中半径oa向左偏离竖直方向的最大角度是多少？思路点拨 两小球重力势能之和的减少，可选取任意参考平面为零势能参考平面进行计算由于圆盘转动过程中，只有两小球重力做功，根据机械能守恒定律可列式算出a球的线速度和半径oa的最大偏角解题过程(1)以通过转轴o的水平面为零势能面，开始时两球重力势能之和为当a球转至最低点时两球重力势能之和为ep2epaepbmgr0mgr，故两球重力势能之和减少了(2)由于圆盘转动过程中，只有两球重力做功，机械能守恒，因此两球重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加，设a球转至最低点，a、b两球的线速度分别为va，vb，则因a、b两球固定在同一圆盘上，转动过程中的角速度相同由 (3)设半径oa向左偏离竖直线的最大角度为，如图856，该位置系统的机械能与开始时的机械能分别为由系统机械能守恒定律e1e3，即两边平方得 4(1sin2)1sin22sin，所以 5sin22sin30，小结 系统的始态、末态的重力势能，因参考平面的选取会有所不同，但是重力势能的变化却是绝对的，不会因参考平面的选取而异机械能守恒的表达方式可以记为ek1ep1ek2ep2，也可以写作：ek增ep减本题采用的就是这种形式例题10 如图857所示，a、b两个物体放在光滑的水平面上，中间由一根轻质弹簧连接，开始时弹簧呈自然状态，a、b的质量均为m0.1kg，一颗质量m25g的子弹，以v045m/s的速度水平射入a物体，并留在其中求在以后的运动过程中，(1)弹簧能够具有的最大弹性势能；(2)b物体的最大速度思路点拨 由题意可知本题的物理过程从以下三个阶段来分析：其一，子弹击中物体a的瞬间，在极短的时间内弹簧被压缩的量很微小，且弹簧对a的作用力远远小于子弹与a之间的相互作用力，因此可认为由子弹与a物体组成的系统动量守恒，但机械能不守恒(属完全非弹性碰撞)其二，弹簧压缩阶段，子弹留在木块a内，它们以同一速度向右运动，使弹簧不断被压缩在这一压缩过程中，a在弹力作用下做减速运动，b在弹力作用下做加速运动a的速度逐渐减小，b的速度逐渐增大，但vavb当vavb时，弹簧的压缩量达最大值，弹性势能也达到最大值以后随着b的加速，a的减速，则有vavb，弹簧将逐渐恢复原长其三，弹簧恢复阶段在此过程中vbva，且vb不断增大而va不断减小，当弹簧恢复到原来长度时，弹力为零，a与b的加速度也刚好为零，此时b的速度将达到最大值，而a的速度为最小值根据以上三个阶段的分析，解题时可以不必去细致研究a、b的具体过程，而只要抓住几个特殊状态即可同时由于a、b受力均为变力，所以无法应用牛顿第二定律，而只能从功能关系的角度，借助机械能转化与守恒定律求解解题过程(1)子弹击中木块a，系统动量守恒由弹簧压缩过程由子弹a、b组成的系统不受外力作用，故系统动量守恒且只有系统内的弹力做功，故机械能守恒选取子弹与a一起以v1速度运动时及弹簧压缩量最大时两个状态，设最大压缩量时弹簧的最大弹性势能为epm，此时子弹a、b有共同速度v共，则有代入数据可解得v共5ms，epm2.25j(2)弹簧恢复原长时，vb最大，取子弹和a一起以v1速度运动时及弹簧恢复原长时两个状态，则有代入数据可解出b物体的最大速度 vbm10ms小结 本题综合了动量守恒与机械能守恒定律的应用a、b运动过程中受变力作用，除不断进行动能与弹性势能的相互转化外，还始终遵循系统动量守恒选取特殊状态，建立两守恒方程是解决本题的关键关于这两个守恒之间的关系应加以注意，初学者常有人将两守恒的条件混淆、等同或企图用一个代替另一个例如有人认为：系统动量守恒，则系统的合外力为零；而合外力为零，合外力的功也为零，故系统的机械能也守恒类似错误还可列举很多实际上它们是完全不同的守恒问题，各自具有严格的成立条件，绝不可等同或替代，请同学们在学习中认真理解易错题辨析例1如图3-1，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 a垂直于接触面，做功为零b垂直于接触面，做功不为零c不垂直于接触面，做功为零d不垂直于接触面，做功不为零【错解】斜面对小物块的作用力是支持力，应与斜面垂直，因为支持力总与接触面垂直，所以支持力不做功。故a选项正确。【错解原因】斜面固定时，物体沿斜面下滑时，支持力做功为零。受此题影响，有些人不加思索选a。这反映出对力做功的本质不太理解，没有从求功的根本方法来思考，是形成错解的原因。【分析解答】根据功的定义w=fscos为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由于地面光滑，物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力，在水平方向系统动量守恒。初状态系统水平方向动量为零，当物块有水平向左的动量时，斜面体必有水平向右的动量。由于mm，则斜面体水平位移小于物块水平位移。根据图3-2上关系可以确定支持力与物块位移夹角大于90，则斜面对物块做负功。应选b。【评析】求解功的问题一般来说有两条思路。一是可以从定义出发。二是可以用功能关系。如本题物块从斜面上滑下来时，减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能，物块的机械能减少了，说明有外力对它做功。所以支持力做功。例2以20m/s的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是18m。如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变，则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。(g=10m/s2)【错解】以物体为研究对象，画出运动草图3-3，设物体上升到h高处动能与重力势能相等此过程中，重力阻力做功，据动能定量有物体上升的最大高度为h由式，解得h=9.5m【错解原因】初看似乎任何问题都没有，仔细审题，问物全体离地面多高处，物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。【分析解答】上升过程中的解同错解。设物体下落过程中经过距地面h处动能等于重力势能，运动草图如3-4。据动能定量解得h=8.5m【评析】在此较复杂问题中，应注意不要出现漏解。比较好的方法就是逐段分析法。例3如图35，木块b与水平桌面间的接触是光滑的，子弹a沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中 a动量守恒，机械能守恒b动量不守恒，机械能不守恒c动量守恒，机械能不守恒d动量不守恒，机械能守恒【错解】以子弹、木块和弹簧为研究对象。因为系统处在光滑水平桌面上，所以系统水平方向不受外力，系统水平方向动量守恒。又因系统只有弹力做功，系统机械能守恒。故a正确。【错解原因】错解原因有两个一是思维定势，一见光滑面就认为不受外力。二是规律适用条件不清。【分析解答】以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故b正确。例4如图36，质量为m的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度v0射入木块中。设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为d，则木块向前移动距离是多少？系统损失的机械能是多少？【错解】（1）以木块和子弹组成的系统为研究对象。系统沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒。设子弹和木块共同速度为v。据动量守恒有mv0=（mm）v解得v=mv0子弹射入木块过程中，摩擦力对子弹做负功（2）系统损失的机械能即为子弹损失的功能【错解原因】错解中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误。子弹对地的位移并不是d，而d打入深度是相对位移。而求解功中的位移都要用对地位移。错解的错误是对这一物理过程中能量的转换不清楚。子弹打入木块过程中，子弹动能减少并不等于系统机械能减少量。因为子弹减少的功能有一部分转移为木块的动能，有一部转化为焦耳热。【分析解答】以子弹、木块组成系统为研究对象。画出运算草图，如图37。系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有mv0=(m+m)v(设v0方向为正)子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：由运动草图可s木=s子-d 【评析】子弹和木块相互作用过程中，子弹的速度由v0减为v，同时木块的速度由0增加到v。对于这样的一个过程，因为其间的相互作用力为恒力，所以我们可以从牛顿运动定律（即f使子弹和木块产生加速度，使它们速度发生变化）、能量观点、或动量观点三条不同的思路进行研究和分析。类似这样的问题都可以采用同样的思路。一般都要首先画好运动草图。例：如图3-8在光滑水平面上静止的长木板上，有一粗糙的小木块以v0沿木板滑行。情况与题中极其相似，只不过作用位置不同，但相互作用的物理过程完全一样。参考练习：如图3-9一质量为m、长为l的长方形木板b放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块a，mm。现以地面为参考系，给a和b以大小相同，方向相反的初速度，使a开始向左运动，b开始向右运动，但最后a刚好没有滑离b板。求小木块a向左运动到达最远处（对地）离出发点的距离。提示：注意分析物理过程。情景如图3-10。其中隐含条件a刚好没离b板，停在b板的左端，意为此时a，b无相对运动。a，b作用力大小相等，但加速度不同，由于a的加速度大，首先减为零，然后加速达到与b同速。例5 下列说法正确的是( )a合外力对质点做的功为零，则质点的动能、动量都不变b合外力对质点施的冲量不为零，则质点动量必将改变，动能也一定变c某质点受到合力不为零，其动量、动能都改变d某质点的动量、动能都改变，它所受到的合外力一定不为零。【错解】错解一：因为合外力对质点做功为零，据功能定理有ea=0，因为动能不变，所以速度v不变，由此可知动量不变。故a正确。错解二：由于合外力对质点施的冲量不为零，则质点动量必将改变，v改变，动能也就改变。故b正确。【错解原因】形成上述错解的主要原因是对速度和动量的矢量性不理解。对矢量的变化也就出现理解的偏差。矢量发生变化时，可以是大小改变，也可能是大小不改变，而方向改变。这时变化量都不为零。而动能则不同，动能是标量，变化就一定是大小改变。所以ek=0只能说明大小改变。而动量变化量不为零就有可能是大小改变，也有可能是方向改变。【分析解答】本题正确选项为d。因为合外力做功为零，据动能定理有ek=0，动能没有变化，说明速率无变化，但不能确定速度方向是否变化，也就不能推断出动量的变化量是否为零。故a错。合外力对质点施冲量不为零，根据动量定理知动量一定变，这既可以是速度大小改变，也可能是速度方向改变。若是速度方向改变，则动能不变。故b错。同理c选项中合外力不为零，即是动量发生变化，但动能不一定改变，c选项错。d选项中动量、动能改变，根据动量定量，冲量一定不为零，即合外力不为零。故d正确。【评析】对于全盘肯定或否定的判断，只要找出一反例即可判断。要证明它是正确的就要有充分的论据。例6物体m从倾角为的固定的光滑斜面由静止开始下滑，斜面高为h，当物体滑至斜面底端，重力做功的瞬时功率为( )【错解】错解一：因为斜面是光滑斜面，物体m受重力和支持。支持不错解二：物体沿斜面做v0=0的匀加速运动a=mgsina故选b。【错解原因】错解一中错误的原因是没有注意到瞬时功率p=fvcos。只有fv同向时，瞬时功率才能等于fv，而此题中重力与瞬时速度v不是同方向，所以瞬时功率应注意乘上f，v夹角的余弦值。错解二中错误主要是对瞬时功率和平均功率的概念不清楚，将平均功率当成瞬时功率。【分析解答】由于光滑斜面，物体m下滑过程中机械能守恒，滑至底端f、v夹角为90-故c选项正确。【评析】求解功率问题首先应注意求解的是瞬时值还是平均值。如果求瞬时值应注意普遍式p=fvcos（为f，v的夹角）当f，v有夹角时，应注意从图中标明。例7 一列火车由机车牵引沿水平轨道行使，经过时间t，其速度由0增大到v。已知列车总质量为m，机车功率p保持不变，列车所受阻力f为恒力。求：这段时间内列车通过的路程。【错解】以列车为研究对象，水平方向受牵引力和阻力f。据p=fv可知牵引力f=pv 设列车通过路程为s，据动能定理有【错解原因】以上错解的原因是对p=fv的公式不理解，在p一定的情况下，随着v的变化，f是变化的。在中学阶段用功的定义式求功要求f是恒力。【分析解答】以列车为研究对象，列车水平方向受牵引力和阻力。设列车通过路程为s。据动能定理【评析】发动机的输出功率p恒定时，据p=fv可知v变化，f就会发生变化。牵动f，a变化。应对上述物理量随时间变化的规律有个定性的认识。下面通过图象给出定性规律。（见图3-12所示）例8如图3-13，质量分别为m和2m的两个小球a和b，中间用轻质杆相连，在杆的中点o处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在b球顺时针摆动到最低位置的过程中( )ab球的重力势能减少，动能增加，b球和地球组成的系统机械能守恒ba球的重力势能增加，动能也增加，a球和地球组成的系统机械能不守恒。ca球、b球和地球组成的系统机械能守恒da球、b球和地球组成的系统机械不守恒【错解】b球下摆过程中受重力、杆的拉力作用。拉力不做功，只有重力做功，所以b球重力势能减少，动能增加，机械能守恒，a正确。同样道理a球机械能守恒，b错误，因为a，b系统外力只有重力做功，系统机械能守恒。故c选项正确。【错解原因】 b球摆到最低位置过程中，重力势能减少动能确实增加，但不能由此确定机械能守恒。错解中认为杆施的力沿杆方向，这是造成错解的直接原因。杆施力的方向并不总指向沿杆的方向，本题中就是如此。杆对a，b球既有沿杆的法向力，也有与杆垂直的切向力。所以杆对a，b球施的力都做功，a球、b球的机械能都不守恒。但a+b整体机械能守恒。【分析解答】b球从水平位置下摆到最低点过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力方向待定。下摆过程中重力势能减少动能增加，但机械能是否守恒不确定。a球在b下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加。由于a+b系统只有重力做功，系统机械能守恒，a球机械能增加，b球机械能定减少。所以b，c选项正确。【评析】有些问题中杆施力是沿杆方向的，但不能由此定结论，只要杆施力就沿杆方向。本题中a、b球绕o点转动，杆施力有切向力，也有法向力。其中法向力不做功。如图3-14所示，杆对b球施的力对b球的做负功。杆对a球做功为正值。a球机械能增加，b球机械能减少。例9 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图3-15所示。物块从钢板正对距离为3x0的a处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m时，它们恰能回到o点，若物块质量为2m，仍从a处自由落下，则物块与钢板回到o点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与o点的距离。【错解】物块m从a处自由落下，则机械能守恒设钢板初位置重力势能为0，则之后物块与钢板一起以v0向下运动，然后返回o点，此时速度为0，运动过程中因为只有重力和弹簧弹力做功，故机械能守恒。2m的物块仍从a处落下到钢板初位置应有相同的速度v0，与钢板一起向下运动又返回机械能也守恒。返回到o点速度不为零，设为v则：因为m物块与2m物块在与钢板接触时，弹性势能之比2m物块与钢板一起过o点时，弹簧弹力为0，两者有相同的加速度g。之后，钢板由于被弹簧牵制，则加速度大于g，两者分离，2m物块从此位置以v为初速竖直上抛上升距离【错解原因】这是一道综合性很强的题。错解中由于没有考虑物块与钢板碰撞之后速度改变这一过程，而导致错误。另外在分析物块与钢板接触位置处，弹簧的弹性势能时，也有相当多的人出错，两个错误都出时，会发现无解。这样有些人就返回用两次势能相等的结果，但并未清楚相等的含义。【分析解答】物块从3x0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒。则有v0为物块与钢板碰撞时的的速度。因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒。设v1为两者碰撞后共同速mv0=2mv1 (2)两者以vl向下运动恰返回o点，说明此位置速度为零。运动过程中机械能守恒。设接触位置弹性势能为ep，则同理2m物块与m物块有相同的物理过程碰撞中动量守恒2mv0=3mv2 (4)所不同2m与钢板碰撞返回o点速度不为零，设为v则因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化ep=ep (6)由于2m物块与钢板过o点时弹力为零。两者加速度相同为g，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g，所以与物块分离，物块以v竖直上抛。【评析】本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化的。守恒等多个知识点。是一个多运动过程的问题。关键问题是分清楚每一个过程。建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律。弹簧类问题，画好位置草图至关重要。参考练习：如图3-16所示劲度系数为k1的轻质弹簧分别与质量为m1，m2的物体1，2，栓接系数为k2的轻弹簧上端与物体2栓接，下端压在桌面上（不栓接）。整个系统处于平衡状态，现施力将物体1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面，在此过程中，物体2的重力势能增大了多少？物体1的重力势能增大了多少？提示：此题隐含的条件很多，挖掘隐含条件是解题的前提。但之后，必须有位置变化的情景图如图3-17。才能确定1，2上升的距离，请读者自行解答。例10如图3-18所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中a重力先做正功，后做负功b弹力没有做正功c金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡d金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。【错解】金属块自由下落，接触弹簧后开始减速，当重力等于弹力时，金属块速度为零。所以从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中重力一直做正功，故a错。而弹力一直做负功所以b正确。因为金属块速度为零时，重力与弹力相平衡，所以c选项错。金属块的动能为零时，弹力最大，所以形变最大，弹性势能最大。故d正确。【错解原因】形成以上错解的原因是对运动过程认识不清。对运动性质的判断不正确。金属块做加速还是减速运动，要看合外力方向（即加速度方向）与速度方向的关系。【分析解答】要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，就要分析它的运动全过程。为了弄清运动性质，做好受力分析。可以从图3-19看出运动过程中的情景。从图上可以看到在弹力nmg时，a的方向向下，v的方向向下，金属块做加速运动。当弹力n等于重力mg时，a=0加速停止，此时速度最大。所以c选项正确。弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力没有做正功，b选项正确。重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，a选项错。速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故d正确。所以b，c，d为正确选项。【评析】对于较为复杂的物理问题，认清物理过程，建立物情景是很重要的。做到这一点往往需画出受力图，运动草图，这是应该具有的一种解决问题的能力。分析问题可以采用分析法和综合法。一般在考试过程中分析法用的更多。如本题a，b只要审题细致就可以解决。而c，d就要用分析法。c选项中动能最大时，速率最大，速率最大就意味着它的变化率为零，即a=0，加速度为零，即合外力为零，由于合外力为mg-n，因此得mg=n，d选项中动能为零，即速率为零，单方向运动时位移最大，即弹簧形变最大，也就是弹性势能最大。本题中金属块和弹簧在一定时间和范围内做往复运动是一种简运振动。从简谐运动图象可以看出位移变化中速度的变化，以及能量的关系。学习感悟 实战训练场一、选择题图8-1fm1fm21如图8-1所示，质量分别为m1和m2的两个物体，m1m2，在大小相等的两个力f1和f2作用下沿水平方向移动了相同距离若f1做的功为w1，f2做的功为w2，则 （ ） aw1w2 bw1w2 cw1w2 d无法确定2关于功率概念，下列说法中正确的是 （ ） a力对物体做的功越多，力做功的功率越大 b功率是描述物体做功快慢的物理量 c从公式pfv可知，汽车的发动机功率可以随速度的不断增大而提高 d当轮船航行时，如果牵引力与阻力相等时，合外力为零，此时发动机的实际功率为零，所以船行驶的速度也为零3起重机以1 m/s2的加速度将质量为1 000 kg的货物由静止匀加速地向上提升，若g取10 m/s2，则在1 s内起重机对货物所做的功是 （ ） a500 j b4 500 j c5 000 j d5 500 j4两物体质量之比为1：3，它们距离地面高度之比也为1：3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为 （ ） a：3 b3： c1：9 d9：15物体做下列几种运动，其中遵守机械能守恒的是 （ ） a自由落体运动 b在竖直方向做匀速直线运动 c匀变速直线运动 d在光滑的水平面上做匀速圆周运动图8-2f37二、填空题1用50 n的力拉一个质量为10kg的物体在水平地面上前进，如图8-2所示若物体前进了10m，拉力f做的功w1 ，重力g做的功w2 如果物体与水平面间动摩擦因数0.1，物体克服阻力做功w3 （sin37=0.6 , cos37=0.8） 2质量为0.5 kg的物体从高处自由落下，在下落的头2 s内重力对物体做的功是 ，这2 s内重力做功的平均功率是 2 s末重力对物体做功的即时功率是 3用200 n的拉力将地面上的一个质量为10 kg的物体提升10 m（重力加速度g取10 m/s2，空气阻力忽略不计），拉力对物体所做的功为 ；物体被提高后具有的势能为 ，物体被提高后具有的动能为 三、计算题1人骑自行车上坡，坡长200 m，坡高10 m人和车的质量共100 kg，人蹬车的牵引力为100 n，若在坡底时自行车的速度为10 m/s，到坡顶时速度为4 m/s（g取10 m/s2）求：（1）上坡过程中人克服阻力做多少功？（2）人若不蹬车，以10 m/s的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远？ 2一辆质量为2.0103 kg,额定功率为6.0104 w的汽车,在水平公路上以额定功率行驶,汽车受到的阻力为一定值.在某时刻汽车的速度为20 m/s,加速度为0.50 m/s2 ,求汽车所能达到的最大速度是多大? 图8-33如图8-3所示，一端固定的绳，另一端系一球，现将绳拉至水平位置将球由静止释放若不计空气阻力，设最低点重力势能为0，当球摆至动能为重为势能2倍处时，求绳与水平方向夹角 能力提升篇一、选择题1在地面15 m高处，某人将一质量为4 kg的物体以5 m/s的速度抛出，人对物体做的功是 （ ） a20 j b50 j c588 j d638 j2对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 （ ） a动量在改变，动能也在改变 b动量改变，动能不变 c动量不变，动能改变 d动能、动量都不变3火车质量是飞机的110倍，火车的速度只有飞机速度的1/12，火车和飞机的动量分别为p1和p2；动能分别为ek1和ek2，那么 （ ）ap1p2，ek1ek2 bp1p2，ek1ek2 cp1p2，ek1ek2 dp1p2，ek1ek24关于动量与动能，下列说法中正确的是 （ ） a一个物体动量越大时，动能越大 b动量相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等 c动能相等的物体，如果质量相等那么它们的动量也相同d动能越大的物体，动量也越大5关于力对物体做功，如下说法正确的是 （ ） a滑动摩擦力对物体一定做负功 b静摩擦力对物体可能做正功 c作用力的功与反作用力的功其代数和一定为零 d合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态二、填空题1质量为5 g和10 g的两个小球，如果它们的动量相等，它们的动能之比是 ；如果它们的动能相等，它们的动量之比是 2风力发电机把通过风轮的风的一部分动能转化为电能设风轮直径为d、风能的利用率为，空气密度为当风速为v时，该风力发电机的功率为 o图8-4f3如图8-4所示，光滑水平面上，一小球在穿过o孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉为为f时，圆周半径为r，当绳的拉力增大到8f时，小球恰可沿半径为r/2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为 三、计算题图8-5rrabcd1如图8-5所示，a b和c d为半径为r=l m的1/4圆弧形光滑轨道，b c为一段长2m的水平轨道质量为2 kg的物体从轨道a端由静止释放，若物体与水平轨道b c间的动摩擦因数为0.1，求：（l）物体第1次沿c d弧形轨道可上升的最大高度（2）物体最终停下来的位置与b点的距离图8-6kp2如图8-6所示，质量为m的物体，放于水平面上，物体上竖直固定一长度为l、劲度系数为k的轻质弹簧现用手拉住弹簧上端p缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离在这一过程中，若p端上移的距离为h，求物体重力势能的增加量 图8-7pqmabr3如图8-7所示，有一半径为r的半圆形圆柱面mpq，质量为2m的a球与质量为m的b球，用轻质绳连接后挂在圆柱面边缘现将a球从边缘m点由静止释放，若不计一切摩擦，求a球沿圆柱面滑到最低点p时的速度大小 本章高考试题集合1.（2001春季）将物体以一定的初速度竖直上抛若不计空气阻力，从抛出到落回原地的整个过程中，下列四个图线中正确的是2（2000年上海）行驶中的汽车制动后滑行一段距离，最后停下；流星在夜空中坠落并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速下降；条形磁铁在下落过程中穿过闭合线圈，线圈中产生电流，上述不同现象中所包含的相同的物理过程是（a）物体克服阻力做功。（b）物体的动能转化为其它形式的能量。（c）物体的势能转化为其它形式的能量。（d）物体的机械能转化为其它形式的能量。3（2000年上海）如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在a处固定质量为2的小球，b处固定质量为的小球，支架悬挂在o点，可绕过o点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时ob与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是（a）a