2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科.docx

2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）题解（考试时间：120分钟，满分150分） 2010.4一 填空题：(本题满分56分，每小题4分)1设集合，则_ 2已知abc中，则_.3 若数列满足：，则前6项的和 . 63 .（用数字作答）4 的展开式中的系数为_. 160 5若球o1、o2表示面积之比，则它们的半径之比=_3. 6函数的反函数为_.7三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则_ .8椭圆的焦点为，点p在椭圆上，若，则的大小为_. 9中，已知，则的最大值为_ 解:由正弦定理得:.10有5只苹果，它们的质量分别为125 121 127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为， 则该样本的标准差=_.（克）（用数字作答）解:,不妨设中位数为a,则b=123则11在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于a、b两点，则=_ 12某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是_.（用数值表示）.13. 已知时，集合有且只有3个整数，则的取值范围是_.解:显然.14. 设表示不超过的最大整数，如.若函数，则的值域为_.-1,0.解: 二选择题：（本题满分16分，每小题4分）15 复数等于-（ d ） a b. c. d. 16下列函数中，与函数 有相同定义域的是-（ a ） a . b. c. d.17设p是abc所在平面内的一点，则-（c）a b c p 第17题图 a. b. c. d.18 已知为圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为-（ b ）a 4 b 5 c 6 d 7解:设直线ac的方程为代入圆得:同理可得:,.即.三 解答题：（本大题共5题，满分78分）19（本题满分14分）在中，、是、的对边，已知,，求的面积.解：，-2分-6分由正弦定理,-10分 -14分20（本题满分14分）（如图）已知正方体的棱长均为1，为棱上的点，为棱的中点，异面直线与所成角的大小为，求的值. cdaba1b1c1d1nxyzm解： 如图建立空间直角坐标系,则a(1，0，0)，c(0，1，0)，=(0，1)，=(1，0，) （其中）-4分 设向量、 的夹角为，则，-10分或，无解；-12分所以当时，-14分21（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）已知函数 （1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求出不动点；（3）若在上恒成立 , 求的取值范围解：（1）对任意的- 1分- 3分 ，函数在上单调递增。-5分（2）解：令，-7分令（负值舍去）-9分将代入得-10分（3） -12分 （等号成立当）-14分的取值范围是-16分22（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).（1） 若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；（2） 若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3） 对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.22解：（1），-2分代入- 4分当时，点 在圆-5分（2）在椭圆上，即可设-7分又,于是（令）点在双曲线上-10分（3）圆的方程为设由 -12分又，-14分又原点到直线距离 ，即原点到直线的距离恒为直线恒与圆相切。-16分23（本题满分18分；第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明. 解:（1）数列是“封闭数列”，因为：-1分对任意的，有，-3分于是，令，则有-4分（2）解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使成立，-5分于是有为整数，又是正整数。-6分若则，所以，-7分若，则，所以，-8分若，则，于是，所以，-9分综上所述，显然，该数列是“封闭数列”。- 10分（3）结论：数列为“封闭数列”的充要条件是存在整数，使.-12分证明：（必要性）任取等差数列的两项，若存在使