2017年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 A=x|27x 0， B=0， 1， 2， 3， 4，则（ B=（ ） A 0 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 4 2已知复数 z 满足（ z+1）（ 1+i） =1 i，则 |z|=（ ） A 1 B C D 3在等差数列 ， 6，则数列 前 11 项和等于（ ） A 132 B 66 C 132 D 66 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3），若 m + 与 3 共线，则实数 m=（ ） A 3 B 3 C D 5某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为 1，则该零件的体积等于（ ） A 24 2 B 24 4 C 32 2 D 48 4 6运行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 5 B 8 C 10 D 13 7将函数 f（ x） =图象向左平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象，若f（ x）和 g（ x）在区间 1， 2上的图象交于 A， B， C 三点，则 面积是（ ） A B C D 8设 f（ x） = ，则不等式 f（ x） 3 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， 3） C（ ， 1） 2， ） D（ ， 1） 2， 3） 9对于函数 f（ x） =，下列结论正确的是（ ） A a R，函数 f（ x）是奇函数 B a R，函数 f（ x）是偶函数 C a 0，函数 f（ x）在（ ， 0）上是减函数 D a 0，函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数 10正四棱锥 P 底面是边长为 2 的正方形，侧棱的长度均为 ，则该四棱锥的外接球体积为（ ） A B C D 9 11双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，点 P 在双曲线的左支上，且 圆 x2+y2=切于点 M，若 M 恰为线段 中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 12已知函数 f（ x） =x+ m Z，且 f（ x） m（ x 1） 0 对任意的 x 1 恒成立，则 m 的最大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13袋中有 5 个除了颜色外完全相同 的小球，包括 2 个红球， 2 个黑球和 1 个白球，从中随机摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为 14已知实数 x， y 满足 ，则 2x 2y+1 的最大值是 15已知抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A（ 0， m）， m 0，射线 抛物线C 交于点 M，与其准线交于点 N，若 | 2|则 m= 16在数列 ， ，（ n2+n）（ =2，则 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2c b （ 1）求 A+ ）的值； （ 2）若 B= ， D 在 上，且满足 ，求 面积 18已知在四棱锥 P ，底面 平行四边形，且有 D， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 0， ， ，求四棱锥 P 体积 19某公司要推出一种新产品，分 6 个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了 480 件，通 过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为 ，对服务的好评率为 产品和服务两项都没有好评有 30 件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如下表： 时段 1 2 3 4 5 6 单价 x（元） 800 820 840 860 880 900 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为产品好评和服务好评有关？ （ 2）该产品的成本是 500 元 /件，预计在今 后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（ = x+ ），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？ （参考公式：线性回归方程 =x+中系数计算公式分别为： =， =； 其中n=a+b+c+d） （参考数据 P（ K2k） k 06600， 342000） 20过椭圆 C： + 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， M 是 中点 （ 1）求动点 M 的轨迹方程； （ 2）过点 M 且与直线 l 垂直的直线和坐标轴分别交于 D， E 两点，记 面积为 面积为 问：是否存在直线 l，使得 2？请说明理由 21已知函数 f（ x） =， g（ x） = x2+ （ 1）求函数 y=f（ x）在 t， t+2（ t 0）上的最大值； （ 2）若函数 y=x） +g（ x）有两个不同的极值点 且 x2实数 a 的取值范围 四、选修 4标系与参数 方程 22在平面直角坐标系 ，过 M（ 2， 1）的直线 l 的倾斜角为，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，圆C 的极坐标方程为 =4+） （ 1）求直线 l 的参数方程与圆 C 的直角坐标方程； （ 2）设圆 C 与直线 l 交于 A， B 两点，求 +的值 五、选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|2x 1|+|x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）求直线 y=3 与 f（ x）的图象所围成的封闭图形的面积 2017 年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科 ） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 A=x|27x 0， B=0， 1， 2， 3， 4，则（ B=（ ） A 0 B 1， 2， 3 C 0， 4 D 4 【考点】 1H：交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式得集合 A，根据补集与交集的定义写出（ B 即可 【解答】 解：集合 A=x|27x 0=x|0 x ， x|x 0 或 x ， 又 B=0， 1， 2， 3， 4， （ B=0， 4 故选： C 2已知复数 z 满足（ z+1）（ 1+i） =1 i，则 |z|=（ ） A 1 B C D 【考点】 数求模 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： （ z+1）（ 1+i） =1 i， z+1= i z= 1 i 则 |z|= 故选： B 3在等差数列 ， 6，则数列 前 11 项和等于（ ） A 132 B 66 C 132 D 66 【考点】 85：等差数列的前 n 项和； 84：等差数列的通项公式 【分析 】 设其公差为 d，利用等差数列的通项公式得到 12所以由等差数列的性质求得其前 n 项和即可 【解答】 解： 数列 等差数列，设其公差为 d， 6， d=（ 3d） 6， d= 12，即 12 数列 前 11 项和 a1+ +（ a1+（ a2+ +（ a5+11 132 故选： C 4已知向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3），若 m+与 3共线，则实数 m=（ ） A 3 B 3 C D 【考点】 96：平行向量与共线向量 【分析】 根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ 2， 3）， 则 m+=（ m+2， 2m 3）， 3 =（ 1， 9）； 又 m+与 3共线， 9（ m+2）（ 2m 3） =0， 解得 m= 3 故选： A 5某个零件的三视图如图所示，网格上小正方形的边长为 1，则该零件的体积等于（ ） A 24 2 B 24 4 C 32 2 D 48 4 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，直 观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱，求出底面面积，即可求出体积 【解答】 解：由题意，直观图是以主视图为底面，侧棱垂直于底面的棱柱， 底面面积为 =6， 体积为（ 6） 4=24 2， 故选： A 6运行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 5 B 8 C 10 D 13 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： a b i c 是否继续循环 循环前 1 1 1 2/ 第一圈 1 2 2 3 是 第二圈 2 3 3 5 是 第三圈 3 5 4 8 是 第 4 圈 5 8 5 13 是 第 5 圈 8 13 6 否 此时 c 值为 13 故选 D 7将函数 f（ x） =图象向左平移个单位后得到函数 g（ x）的图象，若 f（ x）和 g（ x）在区间 1， 2上的图象交于 A， B， C 三点，则 面积是（ ） A B C D 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用 y=x+）的图象变换规律求得 g（ x）的解析式，结合正弦函数的图象特征求得 A、 B、 C 的坐标，可得 面积 【解答】 解：将函数 f（ x） =图象向左平移 个单位后得到函数 g（ x） =x+） =图象， 若 f（ x）和 g（ x）在区间 1， 2上的图象 交于 A， B， C 三点， 由 得 x=，或 x=，或 x=， 结合图象可得 A （，）、 B（，）、 C（， ）， 则 面积 S=， 故选： C 8设 f（ x） =，则不等式 f（ x） 3 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， 3） C（ ， 1） 2， ） D（ ， 1） 2， 3） 【考点】 5B：分段函数的应用； 7J：指、对数不等式的解法 【分析】 利用分段函数，列出不等式转化求解即可 【解答】 解： f（ x） = ，则不等式 f（ x） 3，可得： ，解得 x 1 ，解得 2 x 3 则不等式 f（ x） 3 的解集为：（ ， 1） 2， 3） 故选： D 9对于函数 f（ x） =，下列结论正确的是（ ） A a R，函数 f（ x）是奇函数 B a R，函数 f（ x）是偶函数 C a 0，函数 f（ x）在（ ， 0）上是减函数 D a 0，函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 A 根据奇函数的定义判断即可； C 求出函数的导函数，根据导函数判断函数的单调性； 定义判断可得 【解答】 解： A 中 a R，函数 f（ x）是奇函数，则 f（ x） = f（ x），可得 x2=然不成立； B 中 a R，函数 f（ x）是偶函数，只有当 a=0 时， 函数才是偶函数，故不成立； C 中 a 0，函数 f（ x）的导函数 f（ x） =2x 在（ ， 0）上小于零，故函数是减函数，正确； D 中 a 0，函数 f（ x）在（ 0， + ）上是减函数显然错误 故选： C 10正四棱锥 P 底面是边长为 2 的正方形，侧棱的长度均为 ，则该四棱锥的外接球体积为（ ） A B C D 9 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 求出棱锥的高，设外接球半径为 r，根据勾股定理列方程求出 r，代入体积公式计算即可 【解答】 解：设正四棱锥的底面中心 为 O，则 ， 正四棱锥的高 =2， 设外接球的半径为 r，则（ 2 r） 2+2=得 r= 外接球的体积 V= = 故选 C 11双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，点 P 在双曲线的左支上，且 圆 x2+y2=切于点 M，若 M 恰为线段 中点，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 2 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的左焦点为 题意， 直角三角形， 2a， |2a=4a，利用勾股定理，建立方程，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解：由题意， 直角三角形， |2a ，|2a=4a， 在直角 ， 46 e= 故选： B 12已知函数 f（ x） =x+ m Z，且 f（ x） m（ x 1） 0 对任意的 x 1 恒成立，则 m 的最大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 问题转化为对任意 x （ 1， + ）， m 恒成立，求正整数 m 的值设函数 h（ x） = ，求其导函数，得到其导函数的零点 于（ 3， 4）内，且知此零点为函数 h（ x）的最小值点，经求解知 h（ =而得到 m 正整数 m 的最大值可求 【解答】 解：因为 f（ x） =x+以 f（ x） m（ x 1） 0 对任意 x 1 恒成立， 即 m（ x 1） x+ 因为 x 1， 也就是 m 对任意 x 1 恒成立 令 h（ x） = ， 则 h（ x） = ， 令 （ x） =x 2（ x 1）， 则 （ x） =1 = 0， 所以函数 （ x）在（ 1， + ）上单调递增 因为 （ 3） =1 0， （ 4） =2 20， 所以方程 （ x） =0 在（ 1， + ）上存在唯一实根 满足 （ 3， 4） 当 1 x ， （ x） 0， 即 h（ x） 0，当 x ， （ x） 0，即 h（ x） 0， 所以函数 h（ x）在（ 1， 单调递减， 在（ + ）上单调递增 所以 h（ x） h（ = =（ 3， 4） 所以 m g（ x） 因为 （ 3， 4）， 故整数 m 的最大值是 3， 故选： B 二、填 空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球，包括 2 个红球， 2 个黑球和 1 个白球，从中随机摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为 【考点】 典概型及其概率计算公式 【分析】 用列举法确定基本事件的情况，由对立事件的概率计算公式得答案 【解答】 解：令红球、黑球、白球分别为 A， B， a， b， 1，则从袋中任取两球有（ A， B），（ A， a），（ A， b），（ A， 1），（ B， a），（ B， b），（ B， 1），（ a， b），（ a，1），（ b， 1），共 10 种取法，其中两球颜色相 同有（ a， b），（ A， B），共 2 种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得 P=1 = 故答案为： 14已知实数 x， y 满足 ，则 2x 2y+1 的最大值是 7 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=x 2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 【解答】 解：实数 x， y 满足 ，作图： 易知可行域为一个三角形，平移 2x 2y+1=0，可知，当直线经过 A 时，目标函数取得最大值， 由 解得 A（ 2， 1）时， 2x 2y+1 取得最大值 7， 故答案为： 7 15已知抛物线 C： x 的焦点为 F，点 A（ 0， m）， m 0，射线 抛物线C 交于点 M，与其准线交于点 N，若 | 2|则 m= 3 【考点】 物线的简单性质 【分析】 求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标，过 M 作 l 于 P，根据抛物线物定义得 | ，根据 |2| k=2，从而得到 斜率 k=2然后求解 m 的值 【解答】 解： 抛物线 C： x 的焦点为 F（ ， 0），点 A 坐标为（ 0， m） ， 抛物线的准线方程为 l： x= ，射线 抛物线 C 交于点 M，与其准线交于点 N， 若 |2|过 M 作 l 于 P，根据抛物线物定义得 | ， k=2，直线 斜率为 k= 2， 直线 ： y= 2（ x ）， x=0 时， m=3 故答案为： 3 16在数列 ， ，（ n2+n）（ =2，则 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 把给出的数列递推式变形裂项，累加后结合 求得 值 【解答】 解：由 ，（ n2+n）（ =2，得 an= 则 （ 1 ） （ ） （ ） 累加得： （ 1 ） ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2c b （ 1）求 A+ ）的值； （ 2）若 B= ， D 在 上，且满足 ，求 面积 【考点】 角形中的几何计算 【分析】 （ 1）根据余弦定理表示出 根据条件可得 b2+利用夹角公式级即可求出 A，再根据两角和的余弦公式即可求出， （ 2）不妨设 DC=x，则 x， C=3x，根据正弦定理和余弦定理即可求出 x，再根据三角形的面积公式计算即可 【解答】 解：（ 1） ， 2c b 2a =2c b， 即 b2+ = ， 0 A ， A= ， A+ ） =+ ） = ； （ 2） B= ， A= ， C， C= 妨设 DC=x， 则 x， C=3x， 由正弦定理可得 = ， =3 x， 由余弦定理可得 2D 即 13=272 3 x2x ， 解得 x=1， C=3， S C 3 3 = 18已知在四棱锥 P ，底面 平行四边形，且有 D， （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 0， ， ，求四棱锥 P 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）设 ，则 O 为 中点，由 D，得 由已知 用线面垂直的判定可得 平面 一步得到平面 平面 （ 2）由（ 1）知，平面 平面 得 D，得到四边形 菱形，然后求解三角形可 得 面积，再由等积法求得四棱锥 P 体积 【解答】 （ 1）证明：如图， 设 ， 底面 平行四边形， O 为 中点， 又 D， 又 ， 平面 而 平面 平面 平面 （ 2）解：由（ 1）知，平面 平面 O 为 中点， D，则四边形 菱形， 0， 正三角形， 又 ， ， ， 在 ， 由 0， ，可得 ， ， 在 ， O= ， ，可得 上的高为 ， 则 = 19某公司要推出一种新产品，分 6 个相等时长的时段进行试销，并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况（包括产品评价和服务评价），在试销阶段共卖出了 480 件，通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计，一方面发现对该产品的好评率为 ，对服务的好评率为 产品和服务两项都没有好评有 30 件，另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系，具体数据如 下表： 时段 1 2 3 4 5 6 单价 x（元） 800 820 840 860 880 900 销量 y（件） 90 84 83 80 75 68 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为产品好评和服务好评有关？ （ 2）该产品的成本是 500 元 /件，预计在今后的销售中，销量和单价仍然服从这样的线性相关关系（ = x+ ），该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为多少元？ （ 参 考 公 式 ： 线 性 回 归 方 程 = x+ 中系数计算公式分别为： = ， = ； ，其中 n=a+b+c+d） （参考数据 P（ K2k） k 06600， 342000） 【考点】 性回归方程 【分析】 （ 1）由题意得到 2 2 列联表，由公式求出 观测值，对比参考表格得结论； （ 2）求出样本的中心点坐标，计算回归方程的系数，写出利润函数 w 的解析式，求出 w（ x）的最大值以 及对应的 x 的值 【解答】 解：（ 1）由题意可得产品好评和服务好评的 2 2 列联表： 服务好评 服务没有好评 总计 产品好评 310 90 400 产品没有好评 50 30 80 总计 360 120 480 其中 a=310， b=90， c=50， d=30， 800， 代入 ，得 不能在犯错误的概率不超过 前提下，认为产品好评和服务好评有关； （ 2）设获得的利润为 w 元，根据计算可得， =850， ，代入入回归方程得， w=（ 50）（ x 500） = 50x 125000 此函数图象为开口向下，对称轴方程为 x=875， 当 x=875 时， w（ x）取的最大值 即该公司如果想获得最大利润，此产品的定价应为 875 元 20过椭圆 C： + 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A， B 两点， M 是 （ 1）求动点 M 的轨迹方程； （ 2）过点 M 且与直线 l 垂直的直线和坐标轴分别交于 D， E 两点，记 面积为 面积为 问：是否存在直线 l，使得 2？请说明理由 【考点】 线与椭圆的位置关系； 迹方程 【分析】 （ 1）：（ 1）设点 M 的坐标为（ x， y）， A（ B（ 过椭圆 C： + 的右焦点 F（ 1， 0）的直线 l 为： y=k（ x 1），联立 ，消去 y，整理得（ 2） 41=0，求出动点 M 坐标，消去参数 k，即可得到 动点 M 的轨迹方程 （ 2）假设存在直线 得 2，确定 G， D 的坐标，利用 可得到结论 【解答】 解：（ 1）设点 M 的坐标为（ x， y）， A（ B（ 过椭圆 C： + 的右焦点 F（ 1， 0）的直线 l 为： y=k（ x 1）， 联立 ， 消去 y，整理得（ 2） 41=0， x1+， ； x= = ， y=k（ x 1） =k（ 1） = ； = 2k， k= ； 代入 l 的方程，得 y= （ x 1），化简得 x+2， 整理得 4 +8； 点 M 的轨迹方程为 4 +8； （ 2）假设存在直线 得 2，显然直线 能与 x， y 轴垂直 由（ 1）可得 M（ ， ），设 D（ m， 0） 因为 以 k= 1，即 m= 似， 若 2，则 |=（ 4=0 因为此方程无解，所以不存在直线 得 2 21已知函数 f（ x） = ， g（ x） = x2+ （ 1）求函数 y=f（ x）在 t， t+2（ t 0）上的最大值； （ 2）若函数 y=x） +g（ x）有两个不同的极值点 且 x2实数 a 的取值范围 【考点】 6D：利用导数研究函数 的极值 【分析】 （ 1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值； （ 2）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于 0 的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x e，令 f（ x） 0，解得： x e， 故 f（ x）在（ 0， e）递增，在（ e， + ）递减， t+2 e 即 0 t e 2 时， f（ x）在 t， t+2递增， f（ x） f（ t+2） = ， t e 时， f（ x）在 t， t+2递减， f（ x） f（ t） = ， t e t+2 时， f（ x）在 t， e）递增，在（ e， t+2递减， f（ x） f（ e） = ； 故 f（ x） ； （ 2） y=x） +g（ x） =x2+1，则 y=2x+1+a， 题意即为 y=2x+1+a=0 有两个不同的实根 即 a= x 1 有两个不同的实根 等价于直线 y=a 与函数 G（ x） = x 1 的图象有两个不同的交点 G（ x） = +2， G（ x）在（ 0， ） 上单调递减，在（ ， + ）上单调递增， 画出函数图象的大致形状（