2017年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷(理)含答案解析

2017 年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1若集合 ，则 A B=（ ） A 1， + ） B（ 0， 1） C（ 1， + ） D（ ， 1） 2在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3直线 y=3x 与曲线 y=成图形的面积为（ ） A B 9 C D 4已知变量 x， y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据 如下表所示，若 x 的线性回归方程为 =1，则 m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y .8 m 4 A 等差数列 ， 函数 f（ x） =4x+3 的两个零点，则 前 9项和等于（ ） A 18 B 9 C 18 D 36 6设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 7 “牟合方盖 ”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ） A a， b B a， c C c， b D b， d 8已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数 为奇函数，则函数 y=f（ x）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于直线 x= 对称 9在区间 0， 1上随机取两个数，则这两个数之和小于 的概率是（ ） A B C D 10函数 f（ x）的导函数 f（ x），对 x R，都有 f（ x） f（ x）成立，若 f（ 2）=不等式 f（ x） 解是（ ） A（ 2， + ） B（ 0， 1） C（ 1， + ） D（ 0， 11已知双曲线 E： =1（ a 0， b 0），点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 P 关于原点的对称点为 Q，且满足 |3|若|b，则 E 的离心率为（ ） A B C 2 D 12已知函数 f（ x） = g（ x） =图象上存在关于 x 轴的对称点，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， e） B（ ， e C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知 ） = ，则 +2） = 14不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 15已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=1 和两点 A（ m， 0）， B（ m， 0）（ m 0），若圆上存在点 P，使得 0，则 m 的取值范围是 16若 ， ， ，且 0，则下列关系式： ； ； + 0； 2 2； 2 2 其中正确的序号是： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17已知数列 ， ， an=1+2n 1+3（ n 2， n N*） （ 1）证明数列 2n是等差数列，并求 通项公式； （ 2）设 ，求 前 n 和 18在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各 6 株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图： （ 1）一粒水稻约为 ，每亩水稻约为 6 万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？ （ 2）如从甲品种的 6 株中任选 2 株，记选到超过 187 粒的株数为 ，求 的分布列和数学期望 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形，面 底面 边长为 2 的等边三角形， ， M 在 ，且 面 （ 1）求证： M 是 中点； （ 2）在 是否存在点 F，使二面角 F M 为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 20已知椭圆 E： + =1（ a ）的离心率 e= ，右焦点 F（ c， 0），过点 A（ ， 0）的直线交椭圆 E 于 P， Q 两点 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证： M， F， Q 三点共线； （ 3）当 积最大时，求直线 方程 21已知函数 f（ x） =a（ x） （ 1）若函数 f（ x）恒有两个零点，求 a 的取值范围； （ 2）若 对任意 x 0，恒有不等式 f（ x） 1 成立 求实数 a 的值； 证明： （ x+2） 四、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 22以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为（ 1， 0），若直线 l 的极坐标方程为 + ） 1=0，曲线 C 的参数方程是 （ t 为参数） （ 1）求直线 l 和曲线 C 的普通方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 + 五、解答题（共 1 小题，满分 0 分） 23设 f（ x） =| x+1|+|x|（ x R）的 最小值为 a （ 1）求 a； （ 2）已知 p， q， r 是正实数，且满足 p+q+r=3a，求 p2+q2+最小值 2017 年江西省赣州市于都县高考数学仿真试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . 1若集合 ，则 A B=（ ） A 1， + ） B（ 0， 1） C（ 1， + ） D（ ， 1） 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 化简集合 A、 B，根据交集的定义写出 A B 即可 【解答】 解：集合 A=y|y= =y|y R=（ ， + ）， B=x|y=x 1） =x|x 1 0=x|x 1=（ 1， + ）； A B=（ 1， + ） 故选： C 2在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ，求出在复平面内，复数 对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： = = ， 在复平面内，复数 对应的点的坐标为：（ ， ），位于第二象限 故选： B 3直线 y=3x 与曲线 y=成图形的面积为（ ） A B 9 C D 【考点】 67：定积分 【分析】 此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可 【解答】 解：由已知，联立直线与曲线方程得到 解得 或 则围成图形的面积为 = = = = 故答案为 4已知变量 x， y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 x 的线性回归方程为 =1，则 m 的值为（ ） x 1 2 3 4 y .8 m 4 A 考点】 性回归方程 【分析】 利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解 【解答】 解：由题意， =入线性回归方程为 =1，可得 = .8+m+4=4 m= 故选 B 5等差数列 ， 函数 f（ x） =4x+3 的两个零点，则 前 9项和等于（ ） A 18 B 9 C 18 D 36 【考点】 85：等 差数列的前 n 项和 【分析】 由韦达定理得 a3+，从而 前 9 项和 = ，由此能求出结果 【解答】 解： 等差数列 ， 函数 f（ x） =4x+3 的两个零点， a3+， 前 9 项和 = = 故选： C 6设 a 为实数，直线 ax+y=1， x+a，则 “a= 1”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分 析】 根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可 【解答】 解： 到： 1=0，解得： a= 1 或 a=1， 所以应是充分不必要条件 故选： A 7 “牟合方盖 ”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分 别可能是（ ） A a， b B a， c C c， b D b， d 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案 【解答】 解： 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖） 其正视图和侧视图是一个圆， 俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 俯视图是有 2 条对角线且为实线的正方形， 故选： A 8已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（ x）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于直线 x= 对称 【考点】 弦函数的图象 【分析】 由周期求出 =2，故函数 f（ x） =2x+），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=2x +是奇函数，可得 = ，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性 【解答】 解：由题意可得 =，解得 =2，故 函数 f（ x） =2x+），其图象向右平移 个单位后得到的图象对应的函数为 y=（ x ） +=2x +是奇函数，又 | ，故 = ， 故函数 f（ x） =2x ），故当 x= 时，函数 f（ x） =1，故函数 f（ x） =2x ） 关于直线 x= 对称， 故选： D 9在区间 0， 1上随机取两个数，则这两个数之和小于 的概率是（ ） A B C D 【考点】 何概型 【分析】 设取出的两个数为 x、 y，则可得 “0 x 1， 0 y 1”表示的区域为纵横坐标都在 0， 1之间的正方形区域，易得其面积为 1，而 x+y 示的区域为直线 x+y=方，且在 0 x 1， 0 y 1 所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案 【解答】 解：设取出的两个数为 x、 y， 则有 0 x 1， 0 y 1，其表示的区域为纵横坐标都在 0， 1之间的正方形区域，易得其面积为 1， 而 x+y 示的区域为直线 x+y=方，且在 0 x 1， 0 y 1 表示区域内部的部分， 易得其面积为 1 = ， 则两数之和小于 概率是 故选： D 10函数 f（ x）的导函数 f（ x），对 x R，都有 f（ x） f（ x）成立，若 f（ 2）=不等式 f（ x） 解是（ ） A（ 2， + ） B（ 0， 1） C（ 1， + ） D（ 0， 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 构造函数 g（ x） = ，利用导数可判断 g（ x）的单调性，再根据 f（ =2，求得 g（ =1，继而求出答案 【解答】 解： x R，都有 f（ x） f（ x）成立， f（ x） f（ x） 0，于是有（ ） 0， 令 g（ x） = ，则有 g（ x）在 R 上单调递增， 不等式 f（ x） g（ x） 1， f（ 2） = g（ 2） = =1， x 2， 故选： A 11已知双曲线 E： =1（ a 0， b 0），点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 P 关于原点的对称点为 Q，且满足 |3|若|b，则 E 的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 由题意可知：四边形 平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得 0，在 ，利用勾股定理即可求得 a 和 b 的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率 e 【解答】 解：由题意可知：双曲线的右焦点 P 关于原点的对称点为 Q， 则丨 =丨 ， 四边形 平行四边， 则丨 =丨 ，丨 =丨 ， 由 |3|根据椭圆的定义丨 丨 =2a， 丨 =a， |b，丨 =c， 0， 在 ，丨 =2b，丨 =3a，丨 =a， 则（ 2b） 2+ 3a） 2，整 理得： 则双曲线的离心率 e= = = ， 故选 B 12已知函数 f（ x） = g（ x） =图象上存在关于 x 轴的对称点，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ ， e） B（ ， e C D 【考点】 57：函数与方程的综合运用 【分析】 由题意可知 f（ x） = g（ x）有解，即 y= y=交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知 a 的范围 【解答】 解：函数 f（ x） = g（ x） =图象上存在关于 x 轴的对称点， f（ x） = g（ x）有解， x3+ （ 0， + ）有解， 分别设 y=y= 若 y= y=切线， y= ， 设切点为（ a= ， x0=e， a= ， 结合图象可知， a 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知 ） = ，则 +2） = 【考点】 倍角的余弦 【分析】 把已知式子中的角 变为 （ +），利用诱导公式求出 +）的值，然后再利用二倍角的余弦函数公式化简后，将 +）的值代入即可求出值 【解答】 解： ） =（ +） =+） = ， =+） =2+） 1=2 1= 故答案为： 14不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 【考点】 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】 设 与 的夹角为 ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得 得 的值 【解答】 解：设 与 的夹角为 ， 不共线向量 ， 满足 ，且 ，则 （ 0， ）， （ 2 ） = 2 = 2| | | 2 ， ， = ， 故答案为： 15已知圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=1 和两点 A（ m， 0）， B（ m， 0）（ m 0），若圆上存在点 P，使得 0，则 m 的取值范围是 4， 6 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】 根据圆心 C 到 O（ 0， 0）的距离为 5，可得圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4，再由 0，可得 AB=m，从而得到答案 【解答】 解：圆 C：（ x 3） 2+（ y 4） 2=1 的圆心 C（ 3， 4），半径为 1， 圆心 C 到 O（ 0， 0）的距离为 5， 圆 C 上的点到点 O 的距离的最大值为 6，最小值为 4， 再由 0，以 直径的圆和圆 C 有交点，可得 AB=m， 故有 4 m 6， 故答案为： 4， 6 16若 ， ， ，且 0，则下列关系式： ； ； + 0； 2 2； 2 2 其中正确的序号是： 【考点】 角函数线 【分析】 构造函数 f（ x） =x ， ，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用 f（ x） =判断 f（ x） =x 0， ，与 x ， 0上的单调性，从而可选出正确答案 【解答】 解：令 f（ x） =x ， ， f（ x） = x x） =xf（ x）， f（ x） =x ， 为偶函数 又 f（ x） = 当 x 0， ， f（ x） 0，即 f（ x） = x 0， 单调递增 ； 同理可证偶函数 f（ x） = x ， 0单调递减； 当 0 | | 时， f（ ） f（ ），即 0，反之也成立， 2 2 故答案为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 算过程 . 17已知数列 ， ， an=1+2n 1+3（ n 2， n N*） （ 1）证明数列 2n是等差数列，并求 通项公式； （ 2）设 ，求 前 n 和 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 （ 1）利用已知条件转化推出 是以 2 为首项， 3 为公差的等差数列，然后求解通项公式 （ 2）化简 ，然后利用错位相减法求和求解即可 【解答】 解：（ 1）证明：当 n 2 时， ， ， 又 ， 2=2， 故 是以 2 为首项， 3 为公差的等差数列， ， （ 2） ， = ， 令 ， 则 ， 得： ， = = ， 18在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各 6 株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图： （ 1）一粒水稻约为 ，每亩水稻约为 6 万株，估计甲种 水稻亩产约为多少公斤？ （ 2）如从甲品种的 6 株中任选 2 株，记选到超过 187 粒的株数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）由茎叶图先求出甲种水稻样本单株平均数，由此能估计甲种水稻的亩产 （ 2）由题意知甲品种的 6 株中有 2 株超过 187 粒，故 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 【解答】 解：（ 1）由茎叶图知： 甲种水稻样本单株平均数为： =182 粒， 把样本平均数看做总体平均数， 则甲种 水稻亩产约为： 60000 182 =1092 公斤 （ 2）由题意知甲品种的 6 株中有 2 株超过 187 粒，故 的可能取值为 0， 1， 2， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P = 19如图，四棱锥 P ，底面 矩形，面 底面 边长为 2 的等边三角形， ， M 在 ，且 面 （ 1）求证： M 是 中点； （ 2）在 是否存在点 F，使二面角 F M 为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 【考点】 面角的平面角及求法； 锥的结构特征 【分析】 （ 1）连 E，连 导出 E 是 点， 此能证明 M 是 中点 （ 2）取 点 O，以 O 为原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出存在 F，使二面角 F M 为直角，此时 【解答】 证明：（ 1）连 E，连 矩形， E 是 点 又 面 面 面 交 线， M 是 中点 解：（ 2）取 点 O，由（ 1）知 两垂直 以 O 为原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 则各点坐标为 设存在 F 满足要求，且 ， 则由 得： ， 面 一个法向量为 ， 面 一个法向量为 ， 由 ，得 ，解得 ， 故存在 F，使二面角 F M 为直角，此时 20已知椭圆 E： + =1（ a ）的离心率 e= ，右焦点 F（ c， 0），过点 A（ ， 0）的直线交椭圆 E 于 P， Q 两点 （ 1） 求椭圆 E 的方程； （ 2）若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证： M， F， Q 三点共线； （ 3）当 积最大时，求直线 方程 【考点】 圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率公式，计算可得 a 与 c 的值，由椭圆的几何性质可得 b 的值，将 a、 b 的值代入椭圆的方程计算可得答案； （ 2）根据题意，设直线 方程为 y=k（ x 3），联立直线与椭圆的方程可得（ 3） 1876=0，设出 P、 Q 的坐标，由根与系数的关系的分析求出 、 的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明； （ 3）设直线 方程为 x=，联立直线与椭圆的方程，分析有（ ）=0，设 P（ Q（ 结合根与系数的关系分析用 面积，分析可得答案 【解答】 解：（ 1）由 ， c= =2， 则 b2=， 椭圆 E 的方程是 （ 2）证明：由（ 1）可得 A（ 3， 0），设直线 方程为 y=k（ x 3）， 由方程组 ，得（ 3） 1876=0， 依题意 =12（ 2 3 0，得 设 P（ Q（ 则 ， ， 由（ 2 2） 2 k（ 3）（ 2） k（ 3）= ， 得 ， M， F， Q 三点共线 （ 3）设直线 方程为 x= 由方程组 ，得（ ） =0， 依题意 =3612（ ） 0，得 设 P（ Q（ 则 =， 令 t=，则 ， ，即 时， S 大， S 大时直线 方程为 21已知函数 f（ x） =a（ x） （ 1）若函数 f（ x）恒有两个零点，求 a 的取值范围； （ 2）若对任意 x 0，恒有不等式 f（ x） 1 成立 求实数 a 的值； 证明： （ x+2） 【考点】 6K：导数在最大值、最小值问题中的应用； 3R：函数恒成立问题； 等式的证明 【分析】 （ 1）利用导数的运算法则可得 f（ x），对 a 分类讨论，当 a 0 时， f（ x） 0，故 f（ x）单调递增，舍去当 a 0 时， f（ x） =0 有唯一解 x=时 ，求出极值，进而得出答案 （ 2） 当 a 0 时，不符合题意当 a 0 时，由（ 1）可知， f（ x） a 只需 a 1令 ，上式即转化为 t 1，利用导数研究其单调性极值即可得出 由 可知 x2+x，因而只需证明： x 0，恒有 x2+x 2意到前面已经证明： x 1 此只需证明： x+2 2 x 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出 【解答】 解 ：（ 1 ） f （ x ） = x 0 ，则 当 a 0 时， f（ x） 0，故 f（ x）单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意 ； 当 a 0 时， f （ x ） =0 有唯一解 x=此时 ，则 注意到 ，因此 （ 2） 当 a 0 时， f（ x）单调递增， f（ x）的值域为 R，不符合题意； 当 a=0 时，则 ，也不符合题意 当 a 0 时，由（ 1）可知， f（ x） a 只需 a 1 令 ，上式即转化为 t 1， 设 h（ t） =t+1，则 ，因此 h（ t）在（ 0， 1）上单调递增， 在（ 1， + ）上单调递减，从而 h（ x） h（ 1） =0，所以 t 1 因此， t 1t=1，从而有 故满足条 件的实数为 a=1 证明：由 可知 x2+x，因而只需证明： x 0，恒有 x2+x2 注意到前面已经证明： x 1 此只需证明： x+2 2 当 x 1 时，恒有 22 x+2，且等号不能同时成立； 当 0 x 1 时，设 g（ x） =x+2 2 g（ x） =2x 1 2 当 x （ 0， 1时， g（ x）是单调递增函数，且 ， 因而 x （ 0， 1时恒有 g（ x） 0；