2017年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷(文)含答案解析

2017 年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|4x 0， N=x|x| 2，则 M N=（ ） A（ 2， 4） B 2， 4） C（ 0， 2） D（ 0， 2 2在复平面内，复数 z= 2i 为虚数单位）表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3命题 p： a （ 0， 1） （ 1， + ），函数 f（ x） =x 1）的图象 过点（ 2， 0），命题 q： x N， （ ） A p 假 q 假 B p 真 q 假 C p 假 q 真 D p 真 q 真 4如图中的三个直角三角形是一个体积为 35几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ） A 5 6 7 8已知 x， y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A 4 B C D 6在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A=60， a= ， b+c=3，则 面积为（ ） A B C D 2 7将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调区间是（ ） A 4k+1， 4k+3（ k Z） B 2k+1， 2k+3（ k Z） C 2k+1， 2k+2（ kZ） D 2k 1， 2k+2（ k Z） 8若直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2），则 + 最小值（ ） A 2 B 6 C 12 D 3+2 9已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 10点 F 为双曲线 C： =1（ a， b 0）的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11在 ，若 b=1， c= ， C= ，则 a= 12已知实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 13双曲线 的离心率为 2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 14已知长方形 ， ， ， M 为 中点，则在此长方形内随机取一点 P， P 与 M 的距离小于 1 的概率为 15给出下列四个命题： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”； 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， + ），其图象上任一点 P（ x，y）满足 ，则函数 y=f（ x）可能是奇函数； 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 函数 y=）在 2， + ）恒为正，则 实数 a 的取值范围是（ ，） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年龄分组：第 l 组 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45， 50，得到的部分频率分布表如下： 区间 人数 频率 第 1 组 25， 30） 50 2 组 30， 35） 50 3 组 35， 40） a 4 组 40， 45） 150 b （ 1）求 a， b 的值； （ 2）现在要从年龄较小的第 l， 2， 3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 l， 2， 3 组抽取的义工的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率 17现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如表所示： 产品 A B C 数量 240 240 360 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ I）求三种 产品分别抽取的件数； （ ）已知抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件， 2 件， 2 件现再从已抽取的 A， B， C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 18如图所示，正三棱柱 ， E， F 分别是 中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 体积 19已知数列 ， ，且 （ I）求证：数列 1是等比数列，并求出数列 通项公式； （ ）设 bn=n（ 1），数列 前 n 项和为 证： 1 4 20已知椭圆 C： ，离心率为 （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ ）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、 N，且满足 |求直线 l 的方程 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的左焦点 抛物线 4 x 的焦点重合，过点 直线 l 交椭圆于 A， B 两点当直线 l 经过椭圆 C 的一个短轴端点时，与以原点 O 为圆心，以椭圆的离心率 e 为半径的圆相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）是否在 x 轴上存在定点 M，使 为定值？ 若存在，请求出定点 M 及定值；若不存在，请说明理由 2017 年山东省青岛市平度市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|4x 0， N=x|x| 2，则 M N=（ ） A（ 2， 4） B 2， 4） C（ 0， 2） D（ 0， 2 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】 先求出集合 M， N，再根据并集的定义求出即可 【解答】 解：集合 M=x|4x 0=（ 0， 4）， N=x|x| 2= M N= 2， 4）， 故选： B 2在复平面内，复数 z= 2i 为虚数单位）表示的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 z 在复平面内对应的点的坐标，则答案可求 【解答】 解： z= 2， z 在复平面内对应的点的坐标为：（ 1， 3），位于第一象限 故选： A 3命题 p： a （ 0， 1） （ 1， + ），函 数 f（ x） =x 1）的图象过点（ 2， 0），命题 q： x N， （ ） A p 假 q 假 B p 真 q 假 C p 假 q 真 D p 真 q 真 【考点】 2K：命题的真假判断与应用； 4N：对数函数的图象与性质 【分析】 根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题 p， q 的真假，可得答案 【解答】 解：当 x=2 时， x 1） = 恒成立， 故命题 p： a （ 0， 1） （ 1， + ），函数 f（ x） =x 1）的图象过点（ 2，0），为真命题； x N， 成立，故命题 q： x N， 假命题， 故选： B 4如图中的三个直角三角形是一个体积为 35几何体的三视图，则侧视图中的 h（ ） A 5 6 7 8考点】 单空间图形的三视图 【分析】 由已知中的三视图得几何体是三棱锥，计算出底面面积，由锥体体积公式，即可求出高 【解答】 解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥， 其底面面积为 S= 5 6=15，高为 h， 所以该几何体的体积为 S= 15h=35，解得 h=7（ 故选： C 5已知 x， y 满足 ，且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是（ ） A 4 B C D 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出不等式组 对应的平面区域，利用 z 的几何意义，结合目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍，建立方程关系，即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A 时，直线的截距最大， 此时 z 最大， 由 ，解得 即 A（ 1， 1），此时 z=2 1+1=3， 当直线 y= 2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 由 ，解得 ， 即 B（ a， a），此时 z=2 a+a=3a， 目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍， 3=4 3a， 即 a= 故选： D 6在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A=60， a= ， b+c=3，则 面积为（ ） A B C D 2 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】 由余弦定理可得： b+c） 2 22入已知从而解得： 三角形面积公式 S 可求值 【解答】 解：由余弦定理可得： a2=b2+2 b+c） 2 22 代入已知有： 3=9 3而解得： ， S = ， 故选： B 7将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数 g（ x）的图象，则函数 g（ x）的单调区间是（ ） A 4k+1， 4k+3（ k Z） B 2k+1， 2k+3（ k Z） C 2k+1， 2k+2（ kZ） D 2k 1， 2k+2（ k Z） 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解 【解答】 解： 将函数 f（ x） = x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数解析式为： y= x）； 再把图象上所有的点向右平移 1 个单位长度，得到函数的解析式为： g（ x）= （ x 1） ； 可得： ， 由 2k 2， k Z，解得： 4k+1 x 4k+3， k Z， 可得函数 g（ x）的单调递减区间是： 4k+1， 4k+3， k Z， 由 2 2k ， k Z，解得： 4k 1 x 4k+1， k Z， 可得函数 g（ x）的单调递增区间是： 4k 1， 4k+1， k Z， 对比各个选项，只有 A 正确 故选： A 8若直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2），则 + 最小值（ ） A 2 B 6 C 12 D 3+2 【考点】 7G：基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 根据直线 22=0（ m 0， n 0） 过点（ 1， 2），建立 m， 用基本不等式即可求 + 的最小值 【解答】 解： 直线 22=0（ m 0， n 0）过点（ 1， 2）， 2m+2n 2=0，即 m+n=1， + =（ + ）（ m+n） =3+ + 3+2 ， 当且仅当 = ，即 n= m 时取等号， + 的最小值为 3+2 ， 故选： D 9已知函数 f（ x） = x2+f（ x）是函数 f（ x）的导函数，则 f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 3O：函数的图象 【分析】 由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x 奇函数的定义得函数f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 x= 代入 f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合 【解答】 解：由于 f（ x） = x2+ f（ x） = x f（ x） = f（ x），故 f（ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 又当 x= 时， f（ ） = 1 0，排除 C，只有 A 适合， 故选： A 10点 F 为双曲线 C： =1（ a， b 0）的焦点，过点 F 的直 线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B若 3 + =0，则双曲线 C 的离心率是（ ） A B C D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 联立直线方程解得 A， B 的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的 a， b， c 和离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 C： =1 的渐近线方程为 y= x， 设 F（ c， 0），由 且 方程为 y= x， 方程为 y= x， 直线 方程为 y= （ x c）， 由 解得 A（ ， ）， 由 解得 B（ ， ） 由 3 + =0，即 3 + = ， 即 3（ c， ） +（ c， ） =0 可得 3（ c） + c=0， 即 3=4 由 b2=简可得 35， 即（ 32=0， 即 a2=舍）或 3 即 c= a= a，可得 e= = 故选： B 二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11在 ，若 b=1， c= ， C= ，则 a= 1 【考点】 角形中的几何计算 【分析】 先根据 b， c， c，由正弦定理可得 而求得 B，再根据正弦定理求得 a 【解答】 解：在 由正弦定理得 ， ， b c， 故 B= ，则 A= 由正弦定理得 a= =1 故答案为： 1 12已知实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x+y 的最大值为 5 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出可行域，平行直线可得直线过点 A（ 3， 0）时， z 取最大值，代值计算可得 【解答】 解：作出不等式组 ，所对应的可行域（如图阴影）， 变形目标 函数 z=2x+y 可得 y= 2x+z，由 ， 可得 A（ 2， 1）平移直线 y= 2x 可知，当 直线经过点 A（ 2， 1）时， z 取最大值， 代值计算可得 z=2x+y 的最大值为： 5 故答案为： 5 13双曲线 的离心率为 2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是 3 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a=3，由离心率公式可得 c=6，解得 b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 的 a=3， c= ， 由 e= =2，即有 c=2a=6， 即 =6，解 得 b=3 渐近线方程为 y= x，即为 x 3y=0， 则双曲线的焦点（ 0， 6）到渐近线的距离是 =3 故答案为： 3 14已知长方形 ， ， ， M 为 中点，则在此长方形内随机取一点 P， P 与 M 的距离小于 1 的概率为 【考点】 何概型 【分析】 本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点 的距离大于 1 的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可 【解答】 解：根据几何概型得： 取到的点到 M 的距离小 1 的概率： p= = = = 故 答案为： 15给出下列四个命题： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”； 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， + ），其图象上任一点 P（ x，y）满足 ，则函数 y=f（ x）可能是奇函数； 若 a， b 0， 1，则不等式 a2+成立的概率是 函数 y=）在 2， + ）恒为正，则 实数 a 的取值范围是（ ，） 其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据函数奇偶性的定义和性质结合双曲线的图象进行判断 根据几何概型的概率公式进行判断 利用不等式恒成立，利用参数分离法进行求解判断即可 【解答】 解： 命题 “ x R， 0”的否定是 “ x R， 0”；故 正确， 函数 y=f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， + ），其图象上任一点 P（ x，y）满足 ，则函数 y=f（ x）可能是奇函数；正确，当点 P 的坐标满足y= 时，函数 f（ x）为奇函数故 正确， 若 a， b 0， 1，则不等式 成立的概率 是 如图所以 错误 因为函数 y=）在 2， + ）上恒为正， 所以在 2， + ）上 1 恒成立， 即：在 2， + ）上 恒成立， 令 ， 因为 x 2，所以 ， 所以 g（ x）在 2， + ）上为增函数， 所以：当 x=2 时， g（ x）的最小值为 g（ 2） = ， 所以 则实数 a 的取值范围是（ ， ）故 正确， 故答案为： 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16植树节期间我市组织义工参加植树活动，为方便安排任务将所有义工按年 龄分组：第 l 组 25， 30），第 2 组 30， 35），第 3 组 35， 40），第 4 组 40， 45），第 5 组 45， 50，得到的部分频率分布表如下： 区间 人数 频率 第 1 组 25， 30） 50 2 组 30， 35） 50 3 组 35， 40） a 4 组 40， 45） 150 b （ 1）求 a， b 的值； （ 2）现在要从年龄较小的第 l， 2， 3 组中用分层抽样的方法随机抽取 6 人担任联系人，在第 l， 2， 3 组抽取的义工的人数分别是多少？ （ 3）在（ 2）的条件下，从这 6 人中随机抽 取 2 人担任本次活动的宣传员，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率 【考点】 率分布表 【分析】 （ 1）根据频率 = 求出参加活动的总人数，再求 a、 b 的值； （ 2）计算分层抽样的抽取比例，用抽取比例乘以每组的频数，可得每组抽取人数； （ 3）利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件，再用对立事件的概率公式计算对应的概率即可 【解答】 解：（ 1）根据题意知， 50 00， 所以共有 500 人参加活动； a=500 00， b= = （ 2）因为第 1， 2， 3 组共有 50+50+200=300 人， 利用分层抽样在 300 名员工中抽取 6 人，每组抽取的人数分别为： 第 1 组的人数为 6 =1， 第 2 组的人数为 6 =1， 第 3 组的人数为 6 =4， 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人， 1 人， 4 人； （ 3）由（ 2）可设第 1 组的 1 人为 A，第 2 组的 1 人为 B， 第 3 组的 4 人分别为 则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为： （ A， B），（ A， （ A， （ A， （ A， （ B， （ B， （ B， （ B， （ （ （ （ （ （ 共有 15 种 其中 2 人年龄都不在第 3 组的有：（ A， B），共 1 种； 所以至少有 1 人年龄在第 3 组的概率为 P=1 = 17现有 A， B， C 三种产品需要检测，产品数量如表所示： 产品 A B C 数量 240 240 360 已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了 7 件 （ I）求三种产品分别抽取的件数； （ ）已知抽取的 A， B， C 三种产品中，一等品分别有 1 件， 2 件， 2 件现再从已抽取的 A， B， C 三种产品中各抽取 1 件，求 3 件产品都是一等品的概率 【 考点】 举法计算基本事件数及事件发生的概率； 层抽样方法 【分析】 （ I）设出 A、 B 产品均抽取了 x 件，利用分层抽样时对应的比例相等，列出方程求出 x 的值即可； （ ）对抽取的样本进行编号，利用列举法求出对应的事件数，计算概率即可 【解答】 解：（ I）设 A、 B 产品均抽取了 x 件，则 C 产品抽取了 7 2x 件， 则有： = ， 解得 x=2； 所以 A、 B 产品分别抽取了 2 件， C 产品抽取了 3 件； （ ）记抽取的 A 产品为 中 一等品； 抽取的 B 产品是 件均为一等品； 抽取的 C 产品是 中 一等品； 从三种产品中各抽取 1 件的所有结果是 12 个； 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的； 其中 3 件产品都是一等品的有： 4 个； 因此 3 件产品都是一等品的概率 P= = 18如图 所示，正三棱柱 ， E， F 分别是 中点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若该三棱柱所有的棱长均为 2，求三棱锥 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由 平面 知 得 平面而平面 平面 （ 由 （ 1 ）知 棱 锥 A 高 于 是V =V = 【解答】 解：（ I） 面 平面 E 是正三角形 边 中点， 又 平面 平面 ， 平面 平面 平面 平面 （ 三棱柱所有的棱长均为 2， ， S =2 2 = ， 由（ I）知 平面 19已知数列 ， ，且 （ I）求证：数列 1是等比数列，并求出数列 通项公式； （ ）设 bn=n（ 1），数列 前 n 项和为 证： 1 4 【考点】 8E：数列的求和； 88：等比数列的通项公式 【分析】 （ I）利用递推关系变形可得 1= ，即可证明； （ 用 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式、数列的单调性即可证明 【解答】 证明：（ I） ，又 1=1 0 数列 1是首项为 1，公比为 2 的等比数列 ，得 （ ， 设 则 得： ， ， ，又 ， 数列 递增数列，故 ， 1 4 20已知椭圆 C： ，离心率为 （ I）求椭圆 C 的标准方程； （ ）设椭圆 C 的下顶点为 A，直线 l 过定点 ，与椭圆交于两个不同的点 M、 N，且满足 |求直线 l 的方程 【考点】 圆的简单性质 【分析】 （ I）由离心率公式和点满足椭圆方程，及 a， b， c 的关系，解方程可得a， b，进而得到椭圆方程； （ ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线的方程为 y=（ k 0），与椭圆方程联立，运用韦达定理，再由 |运用两点的距离公式，化简整理可得 k 的方程，解方程可得 k，进而得到所求直线方程 【解答】 解：（ I）由题 意可得 e= = ， + =1，且 b2= 解得 a= ， b=1， 即有椭圆的方程为 +； （ ）若直线的斜率不存在， M， N 为椭圆的上下顶点， 即有 |2， |1，不满足题设条件； 设直线 l： y=（ k 0），与椭圆方程 + 联立， 消去 y，可得（ 1+3=0，