2017年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

2017 年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|2x 4，集合 B=x|y=x 1） ，则 A B=（ ） A 1， 2） B（ 1， 2 C 2， + ） D 1， + ） 2复数 的共轭复数 =（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是 “甲降落在指定范围 ”， q 是 “乙降落在指定范围 ”，则命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围 ”可表示为（ ） A（ p） （ q） B p （ q） C（ p） （ q） D p q 4已知三个正态分布密度函数 （ x R， i=1， 2， 3）的图象如图所示，则（ ） A 1 2=3， 1=2 3 B 1 2=3， 1=2 3 C 1=2 3， 1 2=3 D 1 2=3， 1=2 3 5如图，已知 圆 O 的直径，点 C、 D 是半圆弧的两个三等分点， = ，= ，则 =（ ） A B C + D + 6经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中样本数据求得回归方程为 y=bx+a，则点（ a， b）与直线 x+18y=100 的位置关系是（ ） A a+18b 100 B a+18b 100 C a+18b=100 D a+18b 与 100 的大小无法确定 7如图是秦九韶算法的一个程序框图， 则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 8已知数列 前 n 项和为 1，则满足 的最大正整数 n 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 9在平面直角坐标系 ，抛物线 C： p 0）的焦点为 F， M 是抛物线 C 上的点，若 外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积 9，则p=（ ） A 2 B 4 C 3 D 10多面体 底面 形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（ ） A B C D 6 11函数 f（ x） = （ 0）， | ）的部分图象如图所示，则f（ ） =（ ） A 4 B 2 C 2 D 12已知曲线 f（ x） =2ex+1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 3， + ） B（ 3， ） C（ ， ） D（ 0， 3） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13已知等差数列 前 n 项和为 14若直线 ax+y 3=0 与 2x y+2=0 垂直，则二项式 展开式中 系数为 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = 则 f（ 2017）的值为 16若函数 y=f（ x）在实数集 R 上的图象是连续不断的，且对任意实数 x 存在常数 t 使得 f（ x+t） =x）恒成立，则称 y=f（ x）是一个 “关于 t 的函数 ”，现有下列 “关于 t 函数 ”的结论： 常数函数是 “关于 t 函数 ”； 正比例函数必是一个 “关于 t 函数 ”； “关于 2 函数 ”至少有一个零点； f（ x） = 是一个 “关于 t 函数 ” 其中正确结论的序号是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）如图，在直角坐标系 ，点 P 是单位圆上的动点，过点 P 作x 轴的垂线与射线 y= x（ x 0）交于点 Q，与 x 轴交于点 M记 ，且 （ ， ） （ ）若 ，求 （ ）求 积的最大 值 18（ 12 分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的 20 个小球，这 20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为 l 的奇数，则为一等奖，奖金 100 元；若抽取的小球编号是十位数字为 2 的奇数，则为二等奖，奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立 （ I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （ ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 19（ 12 分）如图，在三棱锥 P ， F、 G、 H 分别是 中点， 平面 B=，二面角 B C 为 120 （ I）证明： （ ）求二面角 A B 的余弦值 20（ 12 分）设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过点 A 与 直的直线交 z 轴负半轴于点 Q，且 + = ，过 A， Q， 点的圆的半径为 2过定点 M（ 0， 2）的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点（点 G 在点 M， H 之间） （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）设直线 l 的斜率 k 0，在 x 轴上是否存在点 P（ m， 0），使得以 果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） = 2a R （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）已知点 P（ 0， 1）和函数 f（ x）图象上动点 M（ m， f（ m），对任意 m 1， e，直线 斜角都是钝角，求 a 的取值范围 四、请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑 22（ 10 分）已知曲线 参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 极坐标方程是 =4 （ ）求曲线 点的平面直角坐标； （ ） A， B 两点分别在曲线 ，当 |大时，求 面积（ 23设函数 f（ x） =|2x 1| |x+2| （ 1）求不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） 3t 在 0， 1上无解，求实数 t 的取值范围 2017 年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与 试题解析 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A=x|2x 4，集合 B=x|y=x 1） ，则 A B=（ ） A 1， 2） B（ 1， 2 C 2， + ） D 1， + ） 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和集合 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x|2x 4=x|x 2， 集合 B=x|y=x 1） =x 1， A B=x|x 2=2， + ） 故选： C 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2复数 的共轭复数 =（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考点】 数代数形式的乘除运算； 数的基本概念 【分析】 根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果 【解答】 解： = =1+i =1 i 故选 D 【点评】 本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题 解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题 3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是 “甲降落在指定范围 ”， q 是 “乙降落在指定范围 ”，则命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围 ”可表示为（ ） A（ p） （ q） B p （ q） C（ p） （ q） D p q 【考点】 25：四种命题间的逆否关系 【分析】 由命题 P 和命题 q 写出对应的 p 和 q，则命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围 ”即可得到表示 【解答】 解：命题 p 是 “甲降落在指定范围 ”，则 p 是 “甲没降落 在指定范围 ”， q 是 “乙降落在指定范围 ”，则 q 是 “乙没降落在指定范围 ”， 命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围 ”包括 “甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ” 或 “甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围 ” 或 “甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围 ”三种情况 所以命题 “至少有一位学员没有降落在指定范围 ”可表示为（ p） V（ q） 故选 A 【点评】 本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题 4已知三个正态分布密度函数 （ x R， i=1， 2， 3）的图象如图所示，则（ ） A 1 2=3， 1=2 3 B 1 2=3， 1=2 3 C 1=2 3， 1 2=3 D 1 2=3， 1=2 3 【考点】 态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 正态曲线关于 x= 对称，且 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有 越小图象越瘦长，得到正确的结果 【解答】 解： 正态曲线关于 x= 对称，且 越大图象越靠近右边， 第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均 值相等， 只能从 A， D 两个答案中选一个， 越小图象越瘦长， 得到第二个图象的 比第三个的 要小， 故选 D 【点评】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题 5如图，已知 圆 O 的直径，点 C、 D 是半圆弧的两个三等分点， = ，= ，则 =（ ） A B C + D + 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】 直接利用向量的基本定理判断选项即可 【解答】 解：如图：连结 已知 圆 O 的直径，点 C、 D 是半圆弧的两个三等分点， 平行四边形， = 故选： D 【点评】 本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题 6经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 115 120 由表中样本数据求得回归方程为 y=bx+a，则点（ a， b）与直线 x+18y=100 的位置关 系是（ ） A a+18b 100 B a+18b 100 C a+18b=100 D a+18b 与 100 的大小无法确定 【考点】 性回归方程 【分析】 由样本数据可得， ， ，利用公式，求出 b， a，点（ a， b）代入 x+18y，求出值与 100 比较即可得到选项 【解答】 解：由题意， = （ 15+16+18+19+22） =18， = （ 102+98+115+115+120）=110， 993， 5 =9900， 650， n（ ） 2=5324=1620， b= = a=110 18= 点（ a， b）代入 x+18y， 8 10 100 即 a+18b 100 故选： B 【点评】 本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键 7如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为（ ） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考点】 序框图 【分析】 模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故选： C 【点评】 本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题 8已知数列 前 n 项和为 1，则满足 的最大正整数 n 的值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 8H：数列递推式 【分析】 1， n=1 时， 1，解得 n 2 时， n 1，化为：1，利用等比数列的通项公式可得： n 1. 化为： 2n 1 2n，即 2n 4n验证 n=1， 2， 3， 4 时都成立 n 5 时， 2n=（ 1+1） n，利用二项式定理展开即可得出 2n 4n 【解答】 解： 1， n=1 时， 1，解得 n 2 时， n 1=21（ 21 1），化为： 1， 数列 等比数列，公比为 2 n 1 化为： 2n 1 2n，即 2n 4n n=1， 2， 3， 4 时都成立 n 5 时， 2n=（ 1+1） n= + + + + + 2（ + ） =n2+n+2， 下面证明： n2+n+2 4n， 作差： n2+n+2 4n=3n+2=（ n 1）（ n 2） 0， n2+n+2 4n， 则满足 的最大正整数 n 的值为 4 故答案为： C 【点评】 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 9在平面直角坐标系 ，抛物线 C： p 0）的焦点为 F， M 是抛物 线 C 上的点，若 外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积 9，则p=（ ） A 2 B 4 C 3 D 【考点】 物线的简单性质 【分析】 根据 外接圆与抛物线 C 的准线相切，可得 外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求 p 的值 【解答】 解： 外接圆与抛物线 C 的准线相切， 外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 圆面积为 9， 圆的半径为 3 又 圆心在 垂直平分线上， | ， + =3 p=4 故选： B 【点评】 本题考查圆与圆锥 曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题 10多面体 底面 形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（ ） A B C D 6 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 利用三视图的数据，把几何体分割为 2 个三棱锥 1 个三棱柱，求解体积即可 【解答】 解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为 2，底面边长为 4， 2 的矩形，棱柱的高为 2 可得 ， 故选： C 【点评】 本题考查 三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力 11函数 f（ x） = （ 0）， | ）的部分图象如图所示，则f（ ） =（ ） A 4 B 2 C 2 D 【考点】 35：函数的图象与图象变化； 3T：函数的值 【分析】 由图象的顶点坐标求出 A，根据周期求得 ，再由 （ ） +=0以及 的范围求出 的值，从而得到函数的解析式，进而求得 f（ ）的值 【解答】 解：由函数的图象可得 A=2，根据半个周期 = = ，解得=2 由图象可得当 x= 时，函数无意义，即函数的分母等 于零，即 （ ）+=0 再由 | ，可得 = ， 故函数 f（ x） = ， f（ ） =4， 故选 A 【点评】 本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题 12已知曲线 f（ x） =2ex+1 存在两条斜率为 3 的切线，则实数 a 的取值范围为（ ） A（ 3， + ） B（ 3， ） C（ ， ） D（ 0， 3） 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得 f（ x）的导数，由题意可得 22ex+a=3 的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域 ，解不等式可得 a 的范围 【解答】 解： f（ x） =2ex+1 的导数为 f（ x） =22ex+a， 由题意可得 22ex+a=3 的解有两个， 即有（ ） 2= ， 即为 + 或 ， 即有 7 2a 0 且 7 2a 1， 解得 3 a 故选 B 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上） 13已知等差数列 前 n 项和为 72 【考点】 85：等差数列的前 n 项和 【分析】 可得 a1+8，代入求和公式计算可得 【解答】 解：由题意可得 a3+8， 由等差数列的性质可得 a1+8 故 （ a1+=4 18=72 故答案为： 72 【点评】 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题 14若直线 ax+y 3=0 与 2x y+2=0 垂直，则二项式 展开式中 系数为 80 【考点】 项式系数的性质； 线的一般 式方程与直线的垂直关系 【分析】 根据两直线垂直求出 a 的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中 系数 【解答】 解：直线 ax+y 3=0 与 2x y+2=0 垂直， 2a+1 （ 1） =0，解得 a= ； 二项式（ ） 5 =（ 2x ） 5 展开式的通项公式为 = （ 2x） 5 r =（ 1） r25 r 2r， 令 5 2r=3，求得 r=1， 展开式中 系数为 124 = 80 故答案为： 80 【点评】 本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题 15定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = 则 f（ 2017）的值为 1 【考点】 3T：函数的值 【分析】 根据已知分析出当 x N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，可得答案 【解答】 解： 定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ x） = ， f（ 1） =1， f（ 0） =0， f（ 1） =f（ 0） f（ 1） = 1， f（ 2） =f（ 1） f（ 0） = 1， f（ 3） =f（ 2） f（ 1） =0， f（ 4） =f（ 3） f（ 2） =1， f（ 5） =f（ 4） f（ 3） =1， f（ 6） =f（ 5） f（ 4） =0， f（ 7） =f（ 6） f（ 5） = 1， 故当 x N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化， 故 f（ 2017） =f（ 1） = 1， 故答案为： 1 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当 x N 时，函数值以 6 为周期，呈现周期性变化，是解答的关键 16若函数 y=f（ x）在实数集 R 上的图象是连续不断的，且对任意实数 x 存在常数 t 使得 f（ x+t） =x）恒成立，则称 y=f（ x）是一个 “关于 t 的函数 ”，现有下列 “关于 t 函数 ”的结论： 常数函数是 “关于 t 函数 ”； 正比例函数必是一个 “关于 t 函数 ”； “关于 2 函数 ”至少有一个零点； f（ x） = 是一个 “关于 t 函数 ” 其中正确结论的序号是 【考点】 3S：函数的连续性 【分析】 根据抽象函数的定义结合 “关于 t 函数 ”的定义和性质分别进行判断即可 【解答】 解： 对任一常数函数 f（ x） =a，存在 t=1，有 f（ 1+x） =f（ x） =a， 即 1f（ x） =a，所以有 f（ 1+x） =1f（ x）， 常数函数是 “关于 t 函数 ”，故 正确， 正比例函数必是一个 “关于 t 函数 ”，设 f（ x） =k 0），存在 t 使得 f（ t+x）=x）， 即存在 t 使得 k（ x+t） =就是 t=1 且 ，此方程无解，故 不正确； “关于 2 函数 ”为 f（ 2+x） =2f（ x）， 当函数 f（ x）不恒为 0 时，有 =2 0， 故 f（ x+2）与 f（ x）同号 y=f（ x）图象与 x 轴无交点，即无零点故 错误， 对于 f（ x） =（ ） x 设存在 t 使得 f（ t+x） =x）， 即存在 t 使得（ ） t+x=t（ ） x，也就是存在 t 使得（ ） t（ ） x=t（ ） x， 也就是存在 t 使得（ ） t=t，此方程有解，故 正确 故正确是 ， 故答案为 【点评】 本题主要考查抽 象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）（ 2017乐山三模）如图，在直角坐标系 ，点 P 是单位圆上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y= x（ x 0）交于点 Q，与 x 轴交于点 M记 ，且 （ ， ） （ ）若 ，求 （ ）求 积的最大值 【考点】 角函数的化简求值； 意角的三角函数的定义 【分析】 同角三角的基本关系求得 值，再利用两角差的余弦公式求得 值 （ ）利用用割补法求三角形 面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值 【解答】 解： 因为 ，且 ，所以 所以 （ ）由三角函数定义，得 P（ 从而 ， = = 因为 ，所以当 时，等号成立， 所以 积的最大值为 【点评】 本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除 编号不同外，其余均相同的 20 个小球，这 20 个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为 l 的奇数，则为一等奖，奖金 100 元；若抽取的小球编号是十位数字为 2 的奇数，则为二等奖，奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号则不中奖现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立 （ I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率； （ ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 叶图； 举法计算基 本事件数及事件发生的概率； 散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）设一次抽奖抽中 i 等奖的概率为 i=1， 2），没有中奖的概率为 此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率 （ ） X 的可能取值为 0， 50， 100， 150， 200，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 【解答】 解：（ ）设一次抽奖抽中 i 等奖的概率为 i=1， 2），没有中奖的概率为 则 2= = ，即中奖的概率为 ， 该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为： P= = （ ） X 的可能取值为 0， 50， 100， 150， 200， P（ X=0） = ， P（ X=50） = = ， P（ X=100） = = ， P（ X=150） = = ， P（ X=200） = = ， X 的分布列为： X 0 50 100 150 200 P =55（元） 【点评】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 19（ 12 分）（ 2017乐山三模）如图，在三棱锥 P ， F、 G、 H 分别是中点， 平面 B=，二面角 B C 为120 （ I）证明： （ ）求二面角 A B 的余弦值 【考点】 面角的平面角及求法； 间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ I）根据线面垂直的性质定理即可证明 （ ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角 AB 的余弦值 【解答】 解：（ I）设 中点是 M，连接 C， 平面 平面 C， H 是 中点， ）建立以 A 为坐标原点的空间直角坐标系如图： 则 P（ 0， 0， 2）， H（ ， ， 0）， C（ 0， 2， 0）， B（ ， 1， 0）， F（ 0，1， 1）， 则平面 法向量为 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，令 z=1，则 y=1， x= ， 即 =（ ， 1， 1）， ， = = ， 即二面角 A B 的余弦值是 【点评】 本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解 决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大 20（ 12 分）（ 2017乐山三模）设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过点 A 与 直的直线交 z 轴负半轴于点 Q，且 + = ，过 A， Q， 点的圆的半径为 2过定点 M（ 0， 2）的直线l 与椭圆 C 交于 G， H 两点（点 G 在点 M， H 之间） （ I）求椭圆 C 的方程； （ ）设直线 l 的斜率 k 0，在 x 轴上是否存在点 P（ m， 0），使得以 果存在， 求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由 【考点】 线与圆锥曲线的综合问题； 圆的标准方程 【分析】 （ I）因为 ，知 a， c 的一个方程，再利用 外接圆与直线 l 相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程； （ l 的方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得 m 的取值范围 【解答】 解：（ I）因为 ，所以 点 设 Q 的坐标为（ 3c， 0）， 因为 以 c c=3c c=4 且过 A， Q， 点的圆的圆心为 c， 0），半径为 2c 因为该圆与直线 l 相切，所以 ，解得 c=1， 所以 a=2， b= ，所以所求椭圆方程为 ； （ ）设 l 的方程为 y=（ k 0），与椭圆方程联立，消去 y 可得（ 3+4k2）6=0 设 G（ H（ 则 x1+ =（ m， +（ m， =（ x1+2m， y1+ =（ x1+2m， k（ x1+4） 又 =（ =（ k（ 由于菱形对角线互相垂直，则（ ） =0， 所以（ （ x1+ 2m+k（ k（ x1+4=0 故（ （ x1+ 2m+x1+4k=0 因为 k 0，所以 0 所以（ x1+ 2m+x1+4k=0，即（ 1+ x1+4k 2m=0 所以（ 1+ ） +4k 2m=0 解得 m= ，即 因为 k ，可以使 ，所以 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值 范围是 ） 【点评】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017乐山三模）已知函数 f（ x） = 2a R （ 1）求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）已知点 P（ 0， 1）和函数 f（ x）图象上动点 M（ m， f（ m），对任意 m 1， e，直线 斜角都是钝角，求 a 的取值范围 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性； 6H：利用导数研究曲线上某 点切线方程 【分析】 （ 1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于 0 或导数小于 0，得到关于 x 的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解； （ 2）因为对任意 m 1， e，直线 斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于 0 恒成立的问题，对于导函数小于 0 在区间 1， e上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数 f（ x） 0 恒成立，通过化简最终转化为 f（ m） 1在区间 1， e上恒成立，再通过研究 f（ x）在 1， e上的单调性求最值，结合（ ）的结果即可解决问题注意分类讨论的标准的确定 【解答】 解：函数 f（ x）的定义域为（ 0， + ）， f（ x） = ， （ ）当 a 0 时， f（ x） 0，故函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递减； 当 a=0 时， f（ x） = 0，故函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递减； 当 a 0 时，令 f（ x） =0，结合 x 0，解得 ，当 x （ 0， ）时， f（ x） 0，所以函数 f（ x）在（ 0， ）上单调递减；当 x （ ， + ）时， f（ x） 0，所以函数 f（ x）在（ ， + ）上单调递增； 综上所述：当 a 0 时， f（ x） 0，故函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递减； 当a 0 时，函数 f（ x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ， + ）上单调递增 （ ）因为对任意 m 1， e，直线 倾斜角都是钝角，所以对任意 m 1，e，直线 斜率小于 0， 即 ，所以 f（ m） 1，即 f（ x）在区间 1， e上的最大值小于 1 又因为 f（ x） = ，令 g（ x） =2， x 1， e （ 1）当 a 0 时，由（ ）知 f（ x）在区间 1， e上单调递减，所以 f（ x）的最大值为 f（ 1） = 1，所以 a 2， 故 a 0 符和题意； （ 2）当 a 0 时，令 f（ x） =0，得 ， 当 1，即 a 2 时， f（ x）在区间 1， e上单调递增，所以函数 f（ x）的最大值 f（ e） = ，解得 a ，故无解； 当 e，即 时， f（ x）