数字信号处理第2章时域离散信号和系统的频域分析ppt课件

第2章 时域离散信号和系统的频域分析 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.1 引言 我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域 分析方法和频域分析方法。 在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数 表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分 析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换 到频率域。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 在时域离散信号和系统中， 信号用序列表示， 其 自变量仅取整数， 非整数时无定义， 而系统则用差分 方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学 工具。 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换， 它 和模拟域中的傅里叶变换是不一样的， 但都是线性变 换， 很多性质是类似的。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换， 以及利用Z 变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书 也是数字信号处理这一领域的基础。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 傅立叶变换的四种形式 a.连续时间，连续频率 模拟傅立叶变换 一般连续非周期信号的傅立叶变换 b.连续时间，离散频率 傅立叶级数 周期性连续时间函数 c.离散时间，连续频率 序列的傅立叶变换 离散时间信号的傅立叶变换 d.离散时间，离散频率 离散傅立叶变换（DFT） 有限长序列和周期序列 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质 2.2.1 序列傅里叶变换的定义 定义 (2.2.1) 为序列x(n)的傅里叶变换， 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 FT成立的充分必要条件 是序列x(n)满足绝对可和的条件， 即满足下式： (2.2.2) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 为求FT的反变换， 用e jn乘(2.2.1)式两边， 并在 -内对进行积分， 得到 (2.2.3) (2.2.4) 式中 因此 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 上式即是FT的逆变换。 (2.2.1)和(2.2.4)式组成一对 傅里叶变换公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要条件 ， 如果引入冲激函数， 一些绝对不可和的序列， 例如 周期序列， 其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出 来， 这部分内容在下面介绍。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT 解： (2.2.5) 设N=4， 幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立 M为整数 (2.2.6) 因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期 是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数， 其实(2.2.1)式 已经是傅里叶级数的形式， x(n)是其系数。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图 2.2.2 cosn的波形 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2. 线性 那么 设 式中a, b为常数 3. 时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么 (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 4. FT的对称性 在学习FT的对称性以前， 先介绍什么是共轭对称 与共轭反对称以及它们的性质。 设序列xe(n)满足下式 ： xe(n) = x*e(-n) (2.2.10) 则称xe(n)为共轭对称序列。 为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其 实部与虚部表示 xe(n) = xer(n) + jxei(n) 将上式两边n用-n代替， 并取共轭， 得到 x*e(-n) = xer(-n) - jxei(-n) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 对比上面两公式， 左边相等， 因此得到 xer(n) = xer(-n) (2.2.11) xei(n) = -xei(-n) (2.2.12) 由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数， 而虚部是奇函数。 类似地， 可定义满足下式的称共轭反对称序列 xo(n) = -x*o(-n) (2.2.13) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 将x0(n)表示成实部与虚部如下式： xo(n) = xor(n) + jxoi(n) 可以由xo(n) = -x*o(-n)得到 xo(n) = -xor(-n) -jxoi(-n) xor(n) = -xor(-n) (2.2.14) xoi(n) = -xoi(-n) (2.2.15) 即共轭反对称序列的实部是奇函数， 而虚部是偶函数 。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.2 试分析x(n) = e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10)式， x(n)是共轭对 称序列， 如展成实部与虚部， 得到 x(n) = cosn + j sinn 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数 ， 虚部是奇函数。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之 和表示， 即 x(n) = xe(n) + xo(n) (2.2.16) 式中xe(n), xo(n)可以分别用原序列x(n)求出， 将 (2.2.16)式中的n用-n代替， 再取共轭得到 x*(-n) = x*e(-n) +x*o(-n) -x*o(-n) x*(-n) = xe(n) - xo(n) (2.2.17) 利用(2.2.16)和(2.2.17)两式， 得到 (2.2.18 ) (2.2.19) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 利用上面两式， 可以分别求出xe(n)和xo(n)。 对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej) = Xe(ej) + Xo(ej) (2.2.10) 式中Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对 称部分， 它们满足 Xe(ej) = X*e(e-j) (2.2.21) Xo(ej) = - X*o(e-j) (2.2.22) 同样有下面公式满足： (2.2.23 ) (2.2.24) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (a) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n) x(n) = xr(n) + jxi(n) 将上式进行FT， 得到 X(e j) = Xe(e j) + Xo(e j) 式中 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 上面两式中， xr(n)和xi(n)都是实数序列， 容 易证明Xe(ej)满足(2.2.21)式， 具有共轭对称性， 它 的实部是偶函数， 虚部是奇函数。 Xo(ej)满足 (2.2.22)式， 具有共轭反对称性质， 其实部是奇函 数， 虚部是偶函数。 最后得到结论： 序列分成实部与虚部两部分， 实部对称的FT具有共轭对称性， 虚部和j一起对应 的FT具有共轭反对称性。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分 xo(n) ，即 x(n) = xe(n) + xo(n) (2.2.25) 将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下： 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 将上面两式分别进行FT， 得到 FTxe(n)= 1/2X(ej) + X*(ej)= ReX(ej) = XR(ej) FTxo(n)= 1/2X(ej) - X*(ej)=jImX(ej) = jXI(ej) 因此对(2.2.25)式进行FT得到： X(ej)=XR(ej)+jXI(ej) (2.2.26) (2.2.26)式表示序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT 的实部XR(ej)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着 FT的虚部jXI(ej) 。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分 He(ej)， 共轭反对称部分为零。 H(ej)=He(ej) H(ej)=H*(e-j) 因此实序列的FT的实部是偶函数， 虚部是奇函数 ， 用公式表示为 HR(ej)=HR(e-j) HI(ej)=-HI(e-j) 其模的平方为偶函数，相位函数是奇函数。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 按照(2.2.18)和(2.2.19)式得到 h(n)=he(n)+ho(n) he(n)=1/2h(n)+h(-n) ho(n)=1/2h(n)-h(-n) 因为h(n)是实因果序列， 按照上面两式he(n)和 ho(n)可以用下式表示： (2.2.27 ) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (2.2.28) 实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为 h(n) = he(n)u+(n) (2.2.29) h(n) = ho(n)u+(n) + h(o)(n) (2.2.30) (2.2.31) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 例 2.2.3 x(n)=anu(n); 01， |z|1 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 由x(z)表达式表明， 极点是z=1， 单位圆上的Z变 换不存在， 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里 叶变换不存在， 更不能用(2.5.4)式求FT。 该序列的FT 不存在， 但如果引进奇异函数()， 其傅里叶变换可 以表示出来(见表2.3.2)。 该例同时说明一个序列的傅 里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性 与收敛的一些一般关系， 对使用Z变换是很有帮助的 。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零， 此范围之 外序列值为零， 这样的序列称为有限长序列。 其Z 变换为 设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除0与 丙点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 如果n10， 则 收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列， 收敛域包括 z=点。 具体有限长序列的收敛域表示如下： 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 n10时， 00时， 0|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn1 ， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 如果n20， 则收敛域为0Rx-， 其收敛域为Rx- |a|。 如果|a|a， 求其逆Z变换x(n)。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 为了用留数定理求解， 先找出F(z)的极点， 极点 有：z=a; 当n|a-1|， 对应的x(n)是右序列； (2) |a|a-1| 种收敛域是因果的右序列， 无须求n2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。 2. 序列的移位 设X(z)=ZTx(n), R x-max(|a|,|b|)， 式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.6 利用Z变换分析信号和系统 的频域特性 2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲 序列(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对 h(n)进行傅里叶变换得到H(e j) (2.6.1) 一般称H(e j)为系统的传输函数，它表征系统的 频率特性。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统 的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差 分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般 表示式 (2.6.2) 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与 H(z)之间关系如下式： (2.6.3) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和 稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当 n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包 含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内， 收敛域在某个圆外。 系统稳定要求 ，对照Z变换定义 ，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且 稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|， 0r1 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 例2.6.1已知 分析其因果 性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。 (1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但 由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位 脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因 果序列，但不收敛。 (2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系 统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题 2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统 ，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单 位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如 图2.6.1(a)所示。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图2.6.1 例2.6.1图示 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(2.6.2)式因式分解，得到 (2.6.4) 式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点 。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是 零点cr和极点d 的分布。下面我们采用几何方法研究系 统零极点分布对系统频率特性的影响。 将(2.6.4)式分子分母同乘以z N+M，得到 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 设系统稳定，将z=e j，得到传输函数 (2.6.5) (2.6.6) 设N=M，由(2.6.6)式得到 (2.6.7) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej 点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B 的向量 表示，如图2.6.2所示。 和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用 极坐标表 将 和 表示式代入(2.6.7)式，得到 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 (2.6.8) (2.6.9) 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 系统的传输特性或者信号的频率特性由(2.6.8)式 和(2.6.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量 的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式 (2.6.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例 如图2.6.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性 。 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 图2.6.2 频响的几何表示法 第2章 时域离散信号和系统的频域分析 2.6.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性 |H(e j)|=1,相位特性()=-，频响如图2.6.3所示。 用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极 点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原 点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢 量长度