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文档简介
水泥价格、广告费与利润问题 推销商品的重要手段之一是做广告,而做广告要出钱,利弊得失如何估计,需要利用有关数学模型作定量的讨论。某建材公司有一大批水泥需要出售,根据以往统计资料,零售价增高,则销量减少,具体数据见表三;如果做广告,可使销售量增加,具体增加量以售量提高因子k表示,k与广告费的关系列于表四。现在,已知水泥的进价是每吨250元。问如何确定该批水泥的出售价格和花多少广告费,可使公司获利最大?表1:水泥预期销售量与售价的关系单价(元/吨)250260270280290300310320售量(万吨)200190176150139125110100表2:售量提高因子k与广告费的关系广告费(万元)060120180240300360420提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80将表1(水泥预期销售量与价格的关系)中数据绘图如下图1可以看出销量与单价近似呈现线性关系,因此可设用最小二乘法,根据表1的数据可得正规方程组解此方程组,得到系数。即销量与单价的近似关系为:,将此结果与原数据点画在同一幅图形中比较如下图2:将表2(销售量提高因子与广告费的关系)中数据画图如下:图3:可以看出提高因子与广告费近似成二次关系,因此可设:用最小二乘法,根据表2中数据,可得正规方程组解此方程组得:。将拟合多项式图形与原数据画在同一幅图形中观察拟合效果:图4: 设实际销量为s,则。于是利润l可以表示为: 要求出利润最大值,只需令: 解得: 进一步求出利润l的二阶偏导数得: 当时,显然有,根据多元函数极值理论可知,在处,利润最大,最大利润为。 从而,可以预计,将单价定为316.93元/t,广告费花费282.21万
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