线性代数周志坚、甄苓主编第四章习题解答.pdf

1 习题四习题四解答解答 1分别求出与下列向量组等价的正交向量组 （1） 12 11 , 02 ； （2） 122 111 0 ,1,1 101 解 （1）因为 12 , 线性无关， 令 11 ， 1 11 21 22 , , ， 可得与 12 , 等价的向量组 12 10 , 02 （2）令 11 ， 1 11 21 22 , , ， , , 1323 3312 1122 可得与 123 , 等价的向量组 TT T 122 111 11 1,0,1,1, , 223 33 2判断下列矩阵是否为正交矩阵，请说明理由 （1） 11 11 A； （2） 010 100 001 B； （3） 111 222 111 222 11 0 22 C 解（1）不是因为A的列向量 1 1 A 不是单位向量； （2）是 T B BE； （3）是 T C CE 3设A、B均为n阶正交矩阵，证明： （1）方阵A是可逆阵， T1 AA ，且 1 A或 T A也是正交矩阵； 2 （2）1 A； （3）方阵AB也是正交矩阵 证 （1） A为正交矩阵，有 T A AE，所以A可逆且 T1 AA ， 又 T TTT AAAAE，所以 T A或 T A也是正交矩阵； （2）由 T A AE，可得 2 1A ，所以1 A； （3） TTTTT ()ABABB A ABB EBB BE 所以方阵AB也是正交矩阵 4设 是一个n维实单位列向量，令矩阵 T 2HE，证明：H是一个对称的正交 矩阵 证 TT TTTT (2)22HEEEH，H是对称的； TTTTTT TTTTT (2)(2)44()() 44 ()44 H HEEE EEE 所以H是一个对称的正交矩阵 5设对称矩阵A满足条件 22 2(1)AAEO，试证矩阵AE为正交矩阵 证 T 22 22 () () ()() 2 2(1) AEAEAEAE AAE AAEE E = = = 所以矩阵AE为正交矩阵 6设 1 1 1 1 ， 2 1 0 1 ，求 3 ，使得 123 , 正交 解 设 T 3123 ( ,) x x x ，则由 1323 0,0 ，即有 123 13 0 0 xxx xx ，即 23 13 2 xx xx ，可取 T 3 (1, 2,1) 又 12 0 ，所以 123 , 正交 3 7设 1 2 a bc A是正交阵，求 2 b的值 解 因为A是正交阵，有 222 1 1,1 4 aba； 所以 2 1 4 b 8求下列矩阵的特征值和特征向量 （1） 24 33 ； （2） 122 212 221 ； （3） 1000 0100 0010 0001 0000 a a a a a . 解解（1） 矩阵A的特征多项式为 24 ( 33 AE-6) ( +1). 可得A的特征值1, 6 21 对于 1 6，解齐次线性方程组(6 )AE x0，可得方程组的一个基础解系 T 1 ( 1,1) ，于是A的属于 1 的全部特征向量为 1 1 c 1 (c为不等于零的任意常） 对于 2 = 1，解齐次线性方程组()AE x0，可得方程组的一个基础解系 T 2 (4,3)，于是A的属于 2 的全部特征向量为 22 c （为不等于零的常数） 2 c 解解（2）求 122 212 221 A 的特征值与特征向量 2 122 212( 5) (1) 221 123 5,1 求 1 5的特征向量： 4 422 5242 224 AE 211 011 000 , 1 1 1 1 p 111 (0)xpkk 求 23 1 的特征向量： 222111 222000 222000 AE , 2 1 1 0 p , 3 1 0 1 p 2233 xppkk （ 23 ,k k不同时为 0） 解（3）矩阵A的特征多项式为 5 (AEa) ， 可得A的特征值 12n a 对于 12n a，解齐次线性方程组()AE x0，可得方程组的一个基础解系 T 1 (1,0,0) ，属于 12n a的全部特征向量为 1( )kk0 9设 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A，求A的特征值及A的对应非零特征值的特征向量 解 11114111 11114111 11114111 11114111 AE 3 1111 000 (4)(4) 000 000 所以A的特征值为 1234 4,0 31111113 13110101 11310011 11130000 AE 5 令 T (1,1,1,1)p ，所以A的对应非零特征值的特征向量为(0)pkk 10判别下列各命题是否正确？若正确请给出证明；若不正确，请举出反例： （1）实数域上的n阶矩阵A一定有n个线性无关的特征向量； （2）A与 T A有相同的特征值和特征向量； （3）若 2 是 2 A的特征值，则是A的特征值； （4）若不是A的一个特征值，则EA可逆 解（1） 错 如 212 533 102 A， 3 1AE ， 因此1是矩阵A的 3 重特征根而AE 312 523 101 且 2AER， 从而1所对应的线性无关的特征向量只有一个而二阶矩阵 24 33 ，存在两个线 性无关的特征向量 T 1 ( 1,1) 及 T 2 (4,3) 所以n阶方阵A在实数域上不一定有n个线性无关的特征向量 （2）错设 是A的对应于的特征向量（0) 如果A与 T A有相同的特征值和特 征向量，则 T ,A A ， 则可推出 T ()AA 0， 从而有 A= T A，矛盾 （3）错 如取 10 01 A ，则A的特征值为1 ，而 2 1是 2 A的特征值，但 不是A的特征值； （4）对 若不是A的一个特征值，则有0AE， 又( 1)0EAAE n ，所以EA可逆 11设 T 1 )0 , 2 , 1 ( 和 T 2 ) 1 , 0 , 1 ( 都是方阵A的对应于特征值 2 的特征向量，又 T )2, 2 , 1( ，求 A. 6 解 因为 21 2 也是A属于特征值 2 的特征向量，故 T )4, 4 , 2(2 A 12设三阶方阵A的特征值为 1= 1（二重） ， 2 4，试求det(A)和 tr(A) 解 det(A)|= 211 = 4; tr(A)= 21 2=2 13设A为n阶矩阵，0A， * A为A的伴随矩阵，若A有特征值 12 , n ，试求n 阶方阵 * 21 2()3 AAE的特征值 解 因为A为n阶矩阵，其全部特征值为 12 , n ，则有 12n A， 又0A，得 * A的全部特征值为 12 , n AAA ，又 * 1 A A A ， 又因为 1 *21*2* 2 ()32 ()3()f AAEAAAEA 令 1 2 ( )231f A， 则 1 22 3 ()2()312()1 iiiii f AAAA A， 所以 * 21 2()3 AAE的全部特征值为 2 3 2()1,1,2, ii in A 14设A为n阶方阵，且EA 2 ，证明 （1）A的特征值只能是 1 或1； （2）AE 3可逆 证 （1） 设是A的特征值，x是A的属于的特征向量，即xAx，在此式两边左 乘矩阵A得 xAxxA 22 ， 又 EA2，所以xExxA2，于是 2x x， 即(1)0 2 x， 因0x，故1，所以A的特征值只能是 1 或1 （2）由（1） ，3 不是A是特征值，所以 EAAEEA3) 1(303 n 而 于是03 AE，从而AE 3可逆 15已知 0 是矩阵 123 213 33a A的特征值，求a的值及A的特征值 解 因为 0 是A的特征值，且 123 A ，有 0A， 7 又 123 2133(6) 33 a a A，所以6a 。 将6a 代入，得 123 |213(1)(9) 336 AE 故 A 的特征值为 123 0,1,9 。 16已知存在正整数k使 k O，试证0，其中是n阶单位矩阵 证 设是A的特征值，x是A的属于的特征向量，即xAx，由 k O， A xx kk ，推出A的特征值全为零，则EA的全部特征值为 1，故10EA 17设A为n阶方阵，EA 2 ，且A的特征值都等于 1，则EA 证 由已知OEA 22 ，即有OEAEA)(， 因为A的特征值全是 1， 所以0AE， 即EA可逆， 对上式两边右乘 1 )( EA， 则EA 18设A为n阶方阵，E为同阶单位阵若AE，且()()RRnAEA E，试证： 1必是A的一个特征值 证 因为AEO，所以()0RAE， 推出 ()()RnRnAEAE，从而( 1)0 AEAE， 所以，1 是A的一个特征值 19设 52 64 445 a b A的两个特征值为 12 1,2，求常数, a b及A的另一个特征值 解 42222 6142348(1) 444004 AE aa bbba 3232 2624022022 443443 AE aa bbaba 解方程组 10 220 ba ba ，得 3 4 a b ， 根据 123112233 5456 aaa，可得 3 3 8 20证明：如果正交矩阵有实特征根，则该特征根只能是 1 和1 证 设Axx，x0，两边取转置有 TTT xAx， 再右乘Ax得 AxxAxAx TTT ，又Axx且A为正交矩阵， 则有 T2T x xx x， 即0) 1( T2 xx， 由于0x，所以 T 0x x，故01 2 ，即1 21设 4 阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ，求 BE 1 . 解 因为矩阵A与B相似，A与B有相同的特征值， 即 B的特征值为 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ， 1 B的 特征值为2,3,4,5. EB 1 的特征值为4 , 3 , 2 , 1，故244321 1 EB. 22 设 220 212 020 A， 是否存在可逆阵P使 1 P AP为对角阵？若结论成立请求出可 逆阵P 解 矩阵A的特征多项式为 220 2122 14 02 AE 矩阵A的特征值为， 123 214 ，所以存在可逆阵P使 1 P AP为对角阵。 当 1 2 时， 420232 2232011 022000 AE ， 可得矩阵A对应于 1 2 的特征向量 1 1 2 2 p ； 当 2 1时， 120120 202042 021000 AE 9 可得矩阵A对应于 2 1的特征向量 2 2 1 2 p ； 当 3 4时， 220110 4232012 024000 AE 可得矩阵A对应于 3 4的特征向量 3 2 2 1 p ； 令 123 122 ,212 221 Pp pp ，则 1 200 010 004 P AP 23设方阵 124 22 421 x A与 500 00 004 y 相似，求, x y 解 方阵A与 相似，则A与 的行列式相同，又 124 221540,20 421 A xxy， 所以有 3420 xy 又 tr( )tr( )A，即21 xy 因此 3420 10 xy xy ， 5 4 y x 24已知 1 1 1 是矩阵 212 53 12 a b A的一个特征向量 （1）试确定参数a、b及特征向量所对应的特征值； （2）问A是否可以和对角阵相似？请说明理由 解 由于 1 1 1 是矩阵 212 53 12 A a b 的一个特征向量，所以有 10 2121 5310 121 AE a b 成立即有 2120 530 120 a b ，解得 103，ba （2） 由，得 212 533 102 A，所以， 3 212 5331 102 AE 因此1是矩阵A的 3 重特征根而AE 312 523 101 且 2AER， 从而1所对应的线性无关的特征向量只有一个，因此矩阵A不能相似于对角矩阵 25设 3 阶方阵A的特征值为 123 1,0,1 ；对应的特征向量依次为 TTT 111 1,2,2,2, 2,1,2, 1,2ppp ，求A 解 根据特征向量的性质知 123 ,P P P可逆, 得： 1 1 123122 3 3 ,P P PA P P P 可得 1 1 1232123 3 ,AP P PP P P 122100122 1 221000221 9 212001212 102 1 012 3 220 . 26设矩阵 121 101 445 A，求 10 A 解 矩阵A的特征多项式为 11 121 11213 445 AE 故矩阵A的特征值为 1 1， 2 2， 3 3， 分别解AE x0，2AE x0，3AE x0，得 3 个线性无关的特征向量： T 1 1,1,2 ， T 2 2,1,4 ， T 3 1,1,4 ， 令 23 , 1 P ，则 1 P AP，1,2,3 diag， 由 APP 1 ，得 1 PPA ，于是有 12 1010110 10 12 121102 1112110 244310 AP P 10 10 111011 312 2 101010 312 2 12101210 2322 2322 24*34212*3 27判断下列矩阵是否可对角化 （1） 111 13 1 111 A； （2） 211 131 111 B. 解 (1) 特征多项式 2 111111 131111 111131 111 01114 . 02 AE 可得三个不等的特征值 123 0,1,4, 故可以对角化 (2) 特征多项式 12 3 2 211111 131211 111131 111 03312. 022 BE 故特征值 123 2, 而22BER， 从而2所对应的线性无关的特征向量只 有一个，因此矩阵B不能对角化 28试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵 （1） 123 213 336 ； （2） 222 254 245 . 解 (1) AE 123 213(1)(9) 336 故得特征值为 123 1,0,9 当 1 1 时， 223223 223001 337000 AE 可得矩阵A对应于 1 1 的特征向量 1 1 1 0 ，单位化得 1 1 1 1 2 0 p ； 当 2 0时， 123123 213011 336000 A 可得矩阵A对应于 2 0的特征向量 2 1 1 1 ，单位化得 2 1 1 1 3 1 p ； 当 3 9时， 823111 9283021 333000 AE 13 可得矩阵A对应于 3 9的特征向量 3 1 1 2 ，单位化得 3 1 1 1 6 2 p ； 取正交阵 123 111 236 111 , 236 12 0 36 Pp pp ，则 T 100 000 009 P AP 解（2） 222 254 245 A ， AE 2 222 254110 245 ， 故得特征值为 12 1, 3 10 当 12 1时， 122122 244000 244000 AE 可得矩阵A对应于 12 1的两个正交的特征向量 12 04 1 ,1 11 ， 再单位化得 12 04 3 2 12 ,1 3 2 121 3 2 pp ； 当10 3 时， 822254 10254011 245000 AE 可得矩阵A对应于10 3 的特征向量 3 1 2 2 ，单位化得 3 1 3 2 3 2 3 p ； 14 取正交阵 04 3 21 3 121 3 22 3 121 3 22 3 P，则 T 100 010