人教版高中数学必修⑤《正、余弦定理的应用》教学设计.doc

课题：必修正、余弦定理的应用三维目标： 1知识与技能（1）能够运用正弦定理、余弦定理以及相关的三角知识和方法解决一些有关测量距离、底部不可到达的物体高度测量、有关计算角度等实际问题，并了解常用的测量相关术语；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的较为综合的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；（3）提高分析问题、解决问题的能力，增强应用意识，并加强动手操作能力。2过程与方法（1）结合学生的实际情况，充分运用【合作探究、分层推进教学法】 ，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例1这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。（2）引导学生运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争辩、交流，解决各类关于三角形的各类实际问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，还能复习巩固前面所学习的三角知识和基本方法；（3）在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角知识的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锻炼抽象思维能力和推理论证能力；（4）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3情态与价值观（1）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（2）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。 教学重点：运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于各类关于三角形的实际问题教学难点：怎样根据题意建立数学模型以及运用正、余弦定理及相关的三角知识解决关于三角形的较为综合性的问题。教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸 科学导入：众所周知，数学与实际生活密切相关。下面，我们就运用前面学习的正弦定理、余弦定理及相关的三角知识来解决一些实际问题及综合问题。请同学们回顾一下正弦定理、余弦定理所带来的三角公式：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 再给出一些相关知识：1、 基本概念（1） 仰角、俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线- 的角称为 。（2）方位角-从正北方向按顺时针旋转到目标方向线的水平角，叫方位角（3）方向角-从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角。如 ：南偏西30，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转30（4）视角-指视线所夹的角（5）坡角与坡度-坡面与水平面的夹角为坡角（坡面的倾斜角），其正切值为坡度。2、 应用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤和一般思路（1） 一般步骤 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解二、 创设情境 合作探究： “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究如何测量距离、高度等问题。应用之一：【距离测量问题】问题.1如图所示，为了测量河对岸a、b两点间的距离（不可到达）。在这一岸定一基线cd，现已测出cd=a， bca=，acd=，bdc=,adb=。请设计一种方案求ab的长。【分析】此题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定c、d两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出ac和bc，再利用余弦定理可以计算出ab的距离。 【解析】在adc和bdc中，应用正弦定理得 ac = = bc = = 在abc中，应用余弦定理计算出ab两点间的距离 ab = 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。【点评】实际问题的转换。注意正弦余弦定理的应用。可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。【变式练习】如图，设a、b两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在a的同侧，在所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离是55m，bac=，acb=。求a、b两点的距离(精确到0.1m) 【分析】这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边ab的对角，ac为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出ac的对角，应用正弦定理算出ab边。【引领学生层层推进】启发提问1：abc中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 【解析】根据正弦定理，得 = ab = = = = 65.7(m)答:a、b两点间的距离为65.7米【点评】解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.应用之二:【高度测量问题】问题.2ab是底部b不可到达的一个建筑物，a为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度ab的方法。【分析】求ab长的关键是先求ae，在ace中，如能求出c点到建筑物顶部a的距离ca，再测出由c点观察a的仰角，就可以计算出ae的长。【解析】选择一条水平基线hg，使h、g、b三点在同一条直线上。由在h、g两点用测角仪器测得a的仰角分别是、，cd = a，测角仪器的高是h，那么，在acd中，根据正弦定理可得ac = ab = ae + h = ac+ h = + h【点评】要审清题意，有的同学可能会忘记加上h ，此题又进一步体现了怎样根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型 【变式练习】用同样高度的两个测角仪ab和cd同时望见气球e在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是，已知b、d间距离为a,测角仪的高度为b,求气球的高度。 eabcghd问题.3如图，在山顶铁塔上b处测得地面上一点a的俯角，在塔底c处测得a处的俯角。已知铁塔bc部分的高为h，求山高cd 【分析】同学们可根据前面题目的解题思想设计出此题的解题方案：看先在那个三角形中，求那一条边 学生可先尝试一下【解析】在abc中, bca=90+,abc =90-,bac=- ,bad =.根据正弦定理, = 所以 ab =解rtabd中,得 bd =absinbad=将测量数据代入上式,得 bd = = 177 (m)cd =bd -bc177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.【点评】有没有别的解法呢？若在acd中求cd，可先求出ac。在abc中，根据正弦定理求得。解决这种三角的实际问题，可有多种方案。 问题.4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧远处一山顶d在西偏北15的方向上，行驶5km后到达b处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度cd.【分析】此题不同于前面的问题，是一个立体的问题，大家想一想立体几何的解题思想。 【解析】在abc中, a=15,c= 25-15=10,根据正弦定理, = , bc = 7.4524(km)cd=bctandbcbctan81047(m)答:山的高度约为1047米【点评】通过解决过程可看到，此题最终是在一个四面体中解决的，要注意个数学知识的互相联系和配合。【练习二】 课本p15 练习1、2、3应用之三:【方向、方位、运动、角度等问题】问题.5如图，一艘海轮从a出发，沿北偏东75的方向航行60 n mile后到达海岛b,然后从b出发,沿北偏东15的方向航行50 n mile后达到海岛c.如果下次航行直接从a出发到达c,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile) 【分析】首先根据三角形的内角和定理求出ac边所对的角abc，即可用余弦定理算出ac边，再根据正弦定理算出ac边和ab边的夹角cab。【解析】在abc中，abc=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，ac= = 113.15根据正弦定理, = sincab = = 0.3255,所以 cab =19.0, 75- cab =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile【点评】解决这种航行问题，要注意其中的角度的含义和关系【变式练习】据气象台预报，距s岛正东300km的a处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风影响。问：s岛是否受影响？若受影响，从现在起经过多少小时s岛开始受到影响？持续时间多久？说明理由。应用之四:【几何问题的综合应用】问题.6在abc中，根据下列条件，求三角形的面积s（精确到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,b=148.5;（三角形面积公式的直接应用）（2）已知b=62.7,c=65.8,b=3.16cm;（正弦定理及三角形面积公式的应用）（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm（余弦定理及三角形面积公式的应用）【分析】这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。【解析】（1）应用s=acsinb，得 s=14.823.5sin148.590.9(cm)(2)根据正弦定理， = c = s = bcsina = ba = 180-(b + c)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 s = 3.164.0(cm)(3)根据余弦定理的推论，得cosb = = 0.7697sinb = 0.6384应用s=acsinb，得s 41.438.70.6384511.4(cm)【点评】此题的目的并不在于让学生计算出准确结果，重点在于让学生熟悉正余弦定理及面积公式的应用。问题.7如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？【分析】本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。【解析】设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosb= =0.7532sinb=0.6578应用s=acsinb s 681270.65782840.38(m)答：这个区域的面积是2840.38m。【点评】此题让学生进一步体会应用问题的处理方法，并且感知应用题并不难。问题.8在abc中，求证：（1）（式子为齐次式，且为边与角的关系一般考虑正弦定理）（2）+=2（bccosa+cacosb+abcosc）（式子结构明显，显然用余弦定理）【分析】这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明【解析】（1）根据正弦定理，可设 = = = k显然 k0，所以 左边= =右边（2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边【点评】对于这种问题，前面已经做过一些，主要是考察怎样利用两定理对边角的合理恰当的转化。三、思悟小结：知识线：（1）正、余弦定理及面积公式；（2）相关的三角公式和性质；思想方法线： （1）分析法与综合法； （2）方程思想与等价转化思想；（3）数形结合思想方法。题目线：（1）实际问题中的距离测量问题；（2）实际问题中的高度测量问题； （3）实际问题中的角度、方位或方向问题； （4）几何及综合问题 四、针对训练 巩固提高： 1、课本p18 练习1、2、3 2、已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab=2，bc=6,cd=da=4,求四边形abcd的面积。dcba 3、海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从a地出发由西向东航行，望见小岛b在北偏东75，航行8海里到达c处，望见小岛b在北端东60。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？北4.如图，某海岛上一观