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研究生“矩阵论”课程课外作业姓 名： 学 号： 学 院： 专 业： 类 别： 上课时间： 成 绩： 矩阵论在人口迁移问题中的应用摘要本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。1、待解决问题内容：假设有两个地区如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：ns0.50.250.50.75问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？2、基本术语解释方阵函数：最简单的方阵函数是矩阵多项式，其中。一般运用复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数方阵函数。3、基本理论阐述：1、hamilton-cayley定理：设矩阵a的特征多项式为，则有。设a的特征多项式为：hamilton-cayley定理表明：，即方阵函数可以由的线性组合表示。方阵函数是多项式，其中。2、最小多项式的相关理论：定义1：a是n阶方阵，是方阵a的特征多项式。如果有，则称是方阵a的零化多项式。由hamilton-cayley定理知一个矩阵的零化多项式一定存在。定义2：在n阶方阵a的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为a的最小多项式。设的最小多项式为其中，而方阵函数是收敛的方阵幂级数的和函数，即设，使 ，则3、运用在a上的谱值计算方阵函数的理论：设n阶方阵a的最小多项式为，其中是a的互不相同的特征根。如果复函数及其各阶导数在处的导数值，即均为有限值，便称函数在方阵a的谱上给定，并称这些值为在a上的谱值。4、报告正文根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为和，第年人口数量分别为和。根据题意可以列出下式：.以此类推，可得到一个递推公式： 将其写成矩阵形式： 令，同理可得 那么，问题转化为在时，为多少的问题了。下面利用在a上的谱值计算方阵函数：得到a的特征值：矩阵a的最小多项式为，设可得方程组如下：解得：则则有：由上知：如果这个移民过程持续下去，北方的人不会全部都到北方，南北人口将为一个稳定的值保持不变，北方人口将是，南方人口将是。5、报告结论 本文通过运用矩阵论的基本原理来解决实际的人口迁移问题，将解决实际问题转化为数学模型，通过解方阵函数和以及从而解决了实际模型。通过以上分析，所给
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