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文档简介

利用空间向量证明线面平行问题 向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。例1 、（2004年天津）在四棱锥p-abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pd=dc，e是pc的中点。证明：pa/平面edb。 证明：如图所示建立空间直角坐标系d为坐标原点，设dc=a，连结ac，ac交bd于g，连结eg。依题意得a（a，0，0），p（0，0，a），e（0，）。底面abcd是正方形，g是此正方形的中心，则点g的坐标为（，0），=（a，0，-a），=（，0，-）=2，peg，pa/eg，而eg平面edb，pa平面edb，pa/平面edb。二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线l不在平面内，取直线l上的任一非零向量，平面中存在两个不共线向量，若存在唯一的实数对1，2，使得=1+2，则l/。 证明：由=1+2知，与共面，因此/，由直线l不在平面内得到l/。例2 、已知平行四边形abcd，p为平行四边形abcd所在平面外一点，m，n分别为pc，pb的中点；求证：mn/面pab。 证明：构造向量，和。 =（+）=（+）=（） mn/面pab例3、 已知四边形abcd是正方形，s是平面abcd外一点，且sa=sb=sc=sd，sp:pd=1:2，sn: na=2:1，sm:mc=2:1。求证：sb/平面pmn。 证明：如图，连结ac与bd交于o，连结so，易证so平面abcd ，由四边形abcd为正方形知bdac，如图建立空间直角坐标系o-xyz。构造向量，与，令bc= ，so=1， 由题目已知可得坐标：o（0，0，0），s（0，0，1），a（0，-1，0），b（1，0，0），c（0，1，0），d(-1，0，0)，所以p（-，0，），m（0，），n（0，-，），则=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），所以=+，所以sb/平面pmn。 三、应用法向量：如果能证明平面外直线的方向向量垂直平面的法向量，得到线面平行。 例4 、已知四边形abcd是正方形，s是平面abcd外一点，且sa=sb=sc=sd，sp:pd=1:2，sn: na=2:1，sm:mc=2:1，求证：sb/平面pmn。 证明：从例3可知=（1，0，-1），=（，-，-），=（，-），由，可得到平面pmn的法向量=（-1，0，1），则=0，所以，得到sb/平面pmn。从上述问题中可以看到，在解决线面平行问题时一定要善于运用向量的代数属性，能融
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