六窄带随机过程_1ppt课件

* 1 窄带随机过程 * 2 内容安排 希尔伯特变换 1 2 窄带高斯过程 3 窄带随机过程 * 3 希尔伯特变换 1 * 4 1.1 希尔伯特变换 设实信号 ，其希尔伯特变换记作 希尔伯特变换是信号处理中常用的一种变换，是 分析窄带随机信号的一种很好的数学工具，把一个实 信号表示成频谱仅在正频率有值的解析信号，对研究 实信号的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率有重要意义 。 * 5 1.1 希尔伯特变换 正变换 反变换 * 6 1.1 希尔伯特变换 x(t) 系统的冲激响应 线性？时变？ 线性，时不变 * 7 1.2 希尔伯特变换性质(1) 系统的传输函数 * 8 1.2 希尔伯特变换性质(1) (1) 希尔伯特变换相当于一个 理想移相器 * 9 1.2 希尔伯特变换性质(2) (2) 的希尔伯特变换为 两次希尔伯特变换相当于连续两次 相移，结果 正好是 反相 * 10 1.2 希尔伯特变换性质(3) (3) 的希尔伯特变换为 证明根据希尔伯特变换的定义和卷积运算的 交换律和结合律。 * 11 1.2 希尔伯特变换性质(4) (4) 的能量及平均功率相等 与 希尔伯特变换是一全通滤波器，只改变信号的相位， 不会改变信号的能量和功率。 * 12 1.2 希尔伯特变换性质(5) (5) 设具有有限带宽 的信号 ， 设 与 为低频信号 * 13 1.2 希尔伯特变换性质(6) (6) 平稳随机过程 希尔伯特变换的统计自 相关函数 和时间自相关函数 ，分 别等于 的统计自相关函数 和时间自相 关函数 。 a. 平稳随机过程 经过希尔伯特变换后，平均功率不变。 b. 平稳随机过程 经过希尔伯特变换后，功率谱密度不变 。 推论： * 14 1.2 希尔伯特变换性质(7) (7) 平稳随机过程 与其希尔伯特变换的统 计互相关函数 和时间互相关函数 ， 分别等于 的统计自相关函数 和时间自 相关函数 的希尔伯特变换。 * 15 1.3 复随机变量 若X与Y分别是实随机变量，定义 为复随机变量 均值： 方差: 相关矩： 协方差： * 16 1.3 复随机过程 若X与Y分别是实随机变量，定义 为复随机变量 均值： 方差: 自相关矩： 协方差： 1.3 复随机过程 1.3 复随机过程 * 19 1.3 解析信号 解析信号：由实信号 作为实部，其希尔伯 特变换 作为虚部，构成一复信号 复信号 称为解析信号 希尔伯特变换可以把一个实信号表示成其频谱仅 在正频率域的复信号。 1.3 解析信号 v 解析信号本质上是原信号的正频率部分，是实信号的一种 “简练”形式。 若 是确定信号,则 也是确定信号. 若 是随机信号,则 也是随机信号. * 21 1.3 解析信号的性质 (1)若 为宽平稳过程，则 也是宽平稳过程， (2) (3) (4) 且 与 联合平稳。 * 22 1.3 解析信号的性质 (5) (6) (7) (8) 与 在同一时刻是正交的 * 23 2窄带随机过程 * 24 2.1 窄带随机过程的定义 窄带随机过程的定义 若随机过程的功率谱是集中在以 为中心频 率的有限带宽 内，并满足 ，则称 它为窄带随机过程。 一个典型的确定性窄带信号可表示为 幅度调制或包络调制信号 相位调制信号 二者相对于 都是慢变的 窄带系统 白噪声 或宽带噪声 窄带噪声 幅度随机变化 相位随机变化 系统示意图 窄带系统传递函数 * 25 2.1 窄带随机过程的数学模型 窄带随机过程 对于窄带随机过程，它的每一个样本函数都 具有上式的形式，则所有的样本函数构成窄带随 机过程。 窄带随机过程的包络 窄带随机过程的相位 二者都是随机过程，且相对于 都是慢变随机过程 * 26 2.1 窄带随机过程的数学模型 窄带随机过程 都是低频慢变的随机过程和 同相分量 正交分量 * 27 2.1 窄带随机过程的数学模型 窄带随机过程 包络 相位 2.1 窄带信号与调制 2.1 窄带信号与调制 * 30 2.2 窄带随机过程的统计特性 (1) 是均值为0的平稳过程，则 也是均值为0的平稳过程。 (2) 的自相关函数相同，且 与 具有相同的平均功率，即它们的方差相同 * 31 2.2 窄带随机过程的统计特性 (3) 集中在 * 32 2.2 窄带随机过程的统计特性 (4) 是联合平稳的，且互相关函数 为奇函数 在同一时刻， 是相互正交的 * 33 2.2 窄带随机过程的统计特性 (5)若窄带过程的单边功率谱是关于 对称的，则 的互相关函数和互功率谱密度恒为0， 即两个低频过程正交。 其中 * 39 窄带高斯过程 3 * 40 3 窄带高斯过程 假定窄带高斯过程的均值为零，方差为 ， 功率谱相对于中心频率 是对称的 若 为高斯过程，则 也应为高斯 过程，并且都具有均值0和方差 * 41 3 窄带高斯过程 在同一时刻是互不相关的 是高斯过程 在同一时刻是相互独立的 时刻t * 42 3 窄带高斯过程 * 47 3 窄带高斯过程包络和相位的联合分布 时刻 t * 48 3 窄带高斯过程包络/相位的一维概率分布 包络的一维概率密度 相位的一维概率密度 瑞利分布 均匀分布 在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独 立的随机变量。 * 49 3 窄带高斯过程包络和相位的二维概率分布 包络和相位不是两个统计独立的随机过程 * 50 3 窄带高斯过程包络平方的一维概率分布 时刻 t 指数分布 信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪 声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除 信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄 带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合 成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了 解合成信号的包络和相位的统计特性。 设正弦波加窄带高斯噪声的合成波为： r(t)=A cos(ct+)+n(t) (1) A cos(ct+)为信号部分n(t)为噪声部分 3 窄带高斯过程加余弦信号的分析 式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct为窄带高斯噪声，其均 值为零，方差为2n；正弦信号的A, c均为常数，是在(0, 2)上均匀分布的随机变量。 于是 r(t)=Acos+nc(t)cosct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct =z(t)cosct+(t) (2) 式中： zc(t)=Acos+nc(t) (3) zs(t)=Asin+ns(t) (4) Zc=Zcos , Zs=Zsin 合成信号r(t)的包络和相位为 z(t)= 利用上一节的结果， 如果值已给定(为常数)，则zc 、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=Acos, Ezs=Asin D zc=DAcos+nc(t) = DAcos+Dnc(t) +2EAcosnc(t) =0+ + 2Acos E nc(t) = = 同理 ： D zs= D zc = D zs = - 0 zc(t)=Acos+nc(t) zs(t)=Asin+ns(t) 所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度 函数为 f(zc, zs/)= 利用上一节相似的方法， 根据式（3）、（4）可以求 得在给定相位的条件下的z和的联合概率密度函数为： f(z, /)=f(zc, zs/) = zf(zc, zs/) Zc=Zcos , Zs=Zsin 以相位为条件的包络z的概率密度为： 由于 故有 式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单 调上升函数，且有I0(0)=1。因此 f(z/)= 由上式可见， f(z/)与无关， 故正弦波加窄带高斯过程 的包络概率密度函数为 这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice） 密度函数。 上式存在两种极限情况： （8） （1）当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比r = 0，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯 噪声，式（8）近似为式： 即由莱斯分布退化为瑞利分布。 （2）当信噪比r很大时，有I0(x) ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布，即 f(z) 由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关 。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于 高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 （a）给出了不同 的r值时f(z)的曲线。 A为信号A cos(ct+)的幅值 图 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 (瑞利分布) (高斯分布) 图 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂 ， 这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小 信噪比时， f()接近于均