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一道三角习题的探究性学习 波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力。”而课本习题大多具有典型性、启发性、指导性，是理解巩固概念、培养掌握基本技能、启迪应用基本方法、深化拓宽基本思想的好素材。因此，教学中若能借“题”发挥、小“题”大作，进行多角度、全方位、深层次的思维发散，则可大大激发学生的创造性思维，激起智慧的火花。 本文以全日制普通高级中学教课书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数习题4.6的第16题为例，谈谈探究性学习。题目：已知，求的值。这是三角函数的一道典型习题，大家都知道只需“两式平方相加”，就可以得到答案，解题过程如下：（1）+（2）可得： 但在实际教学中，我发现学生并不能既快又准的找到这种简便方法，而是运用各式各样的方法得到不同的结论。于是我就趁机将题变为：变式：已知 由此你能得到哪些结论（要求结论的内容不限，越多越好）。整理了学生的各种方法最后可得以下两类结论。思考角度一：直接将两式相加减或分别平方后加减（1）+（2）得：结论1（2）（1）得：结论2 得：展开整理可得：结论3 得：展开整理可得：结论4 得：展开整理可得：结论5思考角度二：条件变形为，再两式平方后加减。得：将在中位置轮换，同理可得：结论6 将上式中三个函数式相乘得到：结论7 得： 即： 将结论6代入得：将在中位置轮换，同理可得：结论8 将上式中三个函数式相加并代入结论4得到： 结论9 对结论9利用倍角公式可得： 结论10 得： 结论11 将上式中三个函数式相加并代入结论5得到：结论12 可得： 结论13 整理后大致有这么13种结果，课后我思索是否运用其他知识还可以得到其他结论呢？经过一番演算后，又得出两种，供大家参考。 思考角度三：将已知等式中的正弦与余弦作为一些点的坐标构成几何图形，采用解析法来讨论。 设点，显然a、b、c是单位圆上的三点，原点o为的外心，根据重心公式得，重心点m的坐标， ，所以m点与原点o重合，所以为正三角形，不妨设，则有 结论14思考角度四：用已知等式中的正弦与余弦构造复数，采用复数运算方法来讨论设，则有，即得。于是有：所以得到： 结论15 经历探究过程以获得理智和情感体验、建构知识、掌握解决问题的方法，这是探究学习要达到的三个目标：“记录在纸上的思想就如同某人留在沙上的脚印，我们也许能看到他走过的路径，但若想知道他在路上看到了什么东西，就必须用我们自己的眼睛。”德国哲学家叔本华的这番话很好地道出了探究学习的重要价值。在平时的教学中，教师应积极地引导学生进
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