前六章工程光学习题及解答.pdf

第一章几何光学基本原理 1. 作图分析下列光学元件对波前的作用： (1) 图 1.1 中（a） 、 （b）中所示，各向均匀同性介质中的点光源P发出球面波， P 为其共轭 理想像点.假设在相同时间间隔内形成的球面波前间距为d.求该波前入射到折射率大于周 围介质的双凸透镜或凹透镜上，波前在透镜内和经透镜折射后的波前传播情况. (2) 图 1.1 中（c）所示，各向均匀同性介质中的无限远点光源发出平面波，求该波前入射到 折射率大于周围介质的棱镜上，波前在棱镜内和经棱镜折射后的波前传播情况. P d P 图1.1(b) 图1.1(c) d P P 图1.1(a) 解：(1) P d d d d P d (2) 2. 当入射角很小时，折射定律可以近似表示为 ni=ni，求下述条件的结果： (1) 当 n=1，n=1.5 时，入射角的变化范围从 065 .表格列出入射角每增加 5 ，分别由 实际与近似公式得到的折射角， 并求出近似折射角的百分比误差.请用表格的形式列 出结果. (2) 入射角在什么范围时，近似公式得出的折射角 i的误差分别大于 0.1%，1%和 10%. 解：(1) 当1n，1.5n时， 由折射定律：sinsinnInI，得： 11 sinsin sinsin 1.5 nII I n 由折射定律近似公式：nin i ，得： 1.5 nii i n 入射角在 065 范围内变化时， 折射角和折射角近似值以及近似折射角的百分比误差如下表 所示： I I i /iII 0 0 0 0 5 3.331 3.333 7.064*10-4 10 6.648 6.667 2.808*10-3 15 9.936 10 6.441*10-3 20 13.180 13.333 0.012 25 16.364 16.667 0.018 30 19.471 20 0.027 35 22.481 23.333 0.038 40 25.374 26.667 0.051 45 28.126 30 0.067 50 30.710 33.333 0.085 55 33.100 36.667 0.108 60 35.264 40 0.134 65 37.172 43.333 0.166 (2) /=0.1%iII时，=5.7I；/=1%iII时，=18.2I；入口 出 口时， =53.3I. 3由一玻璃立方体切下一角制成的棱镜称为三面直角棱镜或立方角锥棱镜，如图 1.2 所示. 用矢量形式的反射定律试证明： 从斜面以任意方向入射的光线经其它三面反射后， 出射光线 总与入射光线平行反向.同时，说明这种棱镜的用途. 解： （法一）如下图所示，设光线沿ST方向入射经T、Q、R 点反射后， 由 RS 方向出射， 设 1 A、 2 A、 3 A、 4 A分别为ST、 TQ、QR和RS的单位矢量， 射向反射面AOB的入射光线 1 A 的单位矢量可表示为 1= Alimjnk，式中l、m、n为光 线 1 A在x、y、z轴上的方向数， 222 1lmn，光线 1 A经 AOB面反射后，射向反射面BOC，反射面AOB的法线单位 矢量为 1 nk ， 则反射光线 2 A单位矢量可由矢量反射定律决 定，即 211 2()2()AAA k klimjnklimjnkk klimjnk 反射面BOC的法线方向单位矢量为 2 ni ， 光线 2 A射向BOC后的反射光线 3 A的单位矢 量为 322 2()2()AAA i ilimjnklimjnk i ilimjnk 反射面COA的法线方向单位矢量为 3 nj ，光线 3 A射向COA反射后的光线经 4 A的单位 矢量为 433 2()2()+AAA j jlimjnklimjnkj jli mjnk 对光线 1 A和 4 A作点积，得 222 14 () ()()1A Alimjnklimjnklmn 说明入射光线 1 A和出射光线 4 A在空间上是平行的，而且方向相反，即有180夹角. （法二）如下图所示，入射光线从斜面进入棱镜后的折射光线方向为 1 A，且 1=( , , )Al m n， 然后经过 AOB 面的反射后的折射方向为 2 A， 再依次经过 BOC 反射面、 COA 反射面后的方 向分别为 3 A、 4 A.其中， 反射面 AOB、 BOC、 COA 的法线单位矢量分别为1=N（0,0,1）， 2=N（1,0,0），3=N（0,1,0）.这样由矢量形式的反射定律，有 图 1-2 A 1 A R Q T S (0,0, )Ca (0, ,0)Ba 3 A 4 A 2 A S x z y ( ,0,0)a O 第一次 AOB 面反射式， 211 11 =-2()( , ,)AAN NAl mn 第二次 BOC 面反射式， 322 22 =-2()(, ,)AAN NAl mn 第三次 COA 面反射式， 4331 33 =-2()(,)AAN NAlmnA 说明入射光线 1 A和出射光线 4 A在空间上是平行的，而且方向相反，即有180夹角. 4.已知入射光线coscoscosAijk， 反射光线coscoscosAijk， 求此时平面反射镜法线的方向. 解：反射定律为= -2 ()AAN N A , 在上式两边对 A 做标积，有 2 12() A AA N , 由此可得 1 2 A A A N , 将上式代入反射定律得 - 2- coscoscos-coscoscos = 2 1-coscoscoscoscoscos coscos(coscos)(coscos) = 2 1-coscoscoscoscos cos A A N A A ijkijk ijkijk ijk （1） （） （） （） （ 5. 发光物点位于一个透明球的后表面， 从前表面出射到空气中的光束恰好为平行光如图 1.3 所示，求此透明材料的折射率的表达式.当出射光线为近轴光线时，求得的折射率是多少？ 解：设空气折射率为 0 n，透明球的折射率为 1 n，则由折射定律 01 sinsinnini ，得此透明球的折射率表达式为： 10 sin = sin i nn i 由三角关系有2ii ，那么上式可以写作 10 =2cosnni. 近轴成像时，sinsinii 、 分别被ii 、 代替，从而可得 10 22nn 6.设光纤纤芯折射率 1 1.75n ，包层折射率 2 1.50n ，试求光纤端面上入射角在何值范围 内变化时，可保证光线发生全反射通过光纤.若光纤直径40mD，长度为100m，求光 线在光纤内路程的长度和发生全反射的次数. 解： 图1.3 i i 2222 0112 1 sin1.751.50.9014 64.34 nInn I 光线在光纤内路程长度 1 22222 101 1.75 100 116.7m sin1.750.9014 n L L nnI 发生全反射次数 22 22 11 2 100000 1.751.5 =1502313() 0.04 1.5 L nn N Dn 次 7.如图 1.4 所示， 一激光管所发出的光束扩散角为 7 ， 经等腰直角反射棱镜(=1.5163 n ) 转折，是否需要在斜面上再镀增加反射率的金属膜? 解：由折射定律得： 1 1 sinsin3.5 sin0.000671442 1.5163 ni i n 解之得 1 0.03847i 而 1 =90=89.96153i 根据平面几何关系有 2 =89.9615345 =134.96153 9044.96153i 而第二面临界角 11 2 11 sinsin41.26175 1.5163 m Ii n 所以，不需要镀膜. 8.一厚度为 200mm 的平行平板玻璃1.5n ， 下面放一直径为 1mm 的金属片， 如图 1.5 所示. 若在玻璃板上盖一圆形纸片， 要求在玻璃板上方任何方向上都看 不到该金属片，求纸片的最小直径？ 解：要使圆形纸片之外都看不到金属片，只有在这些方向上发生 全反射.由几何关系可得纸片最小直径 1tan2aLd 由于发生了全反射，所以有sin1/1/1.52/3an， 2 tan =sin / 12-sin/ 5aaa 得367.7709mmd 9.折射率为 1 1.5n ， 12 1.6nn ， 2 1n 的三种介质，被两平行分界面分开，试求当光 7 图1.4 1n 1 M2 M i i 2 i 2 i 1.5163 n n =1.5 a L 图1.5 线在第二种介质中发生全反射时，光线在第一种界面上的入射角 1 I. 解：由折射定律sinsinnInI ，光线从光密进入光疏介质时发生全反射90I 由题意知 221 sin/cos m InnI 又知 222 1111112 sinsin1 cosnInInInn即 2 1 1.5sin1.61I 解得 1 56.374I 10如图 1.6 所示，有一半径为R厚度为b的圆板，由折射率n，沿径向变化的材料构成， 中心处的折射率为 n0，边缘处的折射率为 nR用物点理想成像的等光程条件推导出圆板的折 射率 nr以何种规律变化时，在近轴条件下，平行于主光轴的光线将聚焦？此时的焦距 f又为 多少？ 解：如图 1.6 所示，离轴r的光程为 22 r n bfrA 即 22 1 r n bfrfA 其中A为常数，与轴上光线的光程比较，得 22 0 11 22 rR r R rR n bfAn bfn bf ff 故 2 0 2() R R f nnb 或 2 0 2() r r f nn b 22 0 00 2 () 2 R r rnnr nnn bfR 11.试用费马原理推导光的折射定律 解：设任一折射路径的光程为 OPL 22 1111 ()OPLnOPn PLnhlx 由费马原理 111111 2222 12 sinsin0 () dOPLxlx OPLnnnini dx hxhlx 故 1111 sinsinnini 12. 已知空气中一无限远点光源产生的平行光从左入射到形状未知的凹面镜上， 该光束经会 f F 图1.6 r R b O P L 1 n 1 n 1 h 1 h x l i i 聚后在凹面镜顶点的左方成一理想像点，试用等光程原理确定该凹面镜的形状. 解：如右图所示，以凹面镜的顶点为原点建立( , )z y坐标系. 由等光程原理知，光线与光线的光程相等，则 22 2 2 ()()2 4 4 fzyfzf y yfzz f 或 13. 举例说明正文中图 1.4.2 中所示四种成像情况的实际光学系统. 解： （a）实物成实像：照相机、显微镜的物镜、望远镜的物镜、投影仪、幻灯机 （b）虚物成实像：对着镜子自拍、拍摄水中的鱼 （c）实物成虚像：平面镜、眼镜、放大镜、显微镜的目镜、倒车镜 （d）虚物成虚像：出现在海市蜃楼（虚像）中的水面上的倒影（虚物） 、潜望镜的第二个反 射镜对第一个反射镜中的像成像、多光学元件系统. 14.如何区分实物空间、虚物空间以及实像空间和虚像空间？是否可按照空间位置来划分物 空间和像空间？ 解：光学系统前面的空间为实物空间.光学系后面的空间为实像空间.光学系统后面的空间为 实像空间.光学系统前面的空间为虚像空间.物空间和像空间在空间都是可以无限扩展的，不 能只按照空间位置划分. 15.假设用如图 1.7 所示的反射圆锥腔使光束的能量集中到极小的面积上.因为出口可以做到 任意小，从而射出的光束能流密度可以任意大.验证这种假设的正确性. 解：如图所示，圆锥的截面两母线是不平行的，从入口进入的光线，在逐次反射过程中入射 角逐渐减小， 必然会在某一点处光线从法线右侧入射， 从而使光线返回入口.显然，仅从光的反射定律来分析， 欲用反射圆锥腔来聚焦光束能流的设想是不现实的. 第二章球面成像系统 1. 用近轴光学公式计算的像具有什么实际意义？ 解：近轴光学是通过光线追迹确定光学系统一阶成像特性和成像系统基本性质的光学.近轴 光学公式表示理想光学系统所成像的位置和大小，也作为衡量实际光学系统成像质量的标 准. (,0) F f z y ( , )z y 入口出 口 图1.7 2有一光学元件，其结构参数如下： (mm)r(mm)tn 100 3001.5 (1) 当l 时，求像距 l . (2) 在第二个面上刻十字线，其共轭像在何处？ (3) 当入射高度10mmy 时，实际光线和光轴的交点在何处？在高斯像面上 的高度是多少？该值说明什么问题？ 解：(1)由近轴折射公式（2.1.8） 1 100 1.5 300mm 1.5 1 nnnnrn l llrnn 212 3003000lltl (2)由光路可逆，共轭像在无限远处. (3)当 10mmy 时：由式（2.1.5） ， 10 sin0.1 100 y I r 光线入射角：5.739170I 由式（2.1.2） ， s i n1 0 . 1 s i n0 . 0 6 6 6 6 7 1.5 nI I n 折射角：3.822554I 由式（2.1.3） ，像方孔径角：05.7391703.8225541.916616UUII 由式（2.1.4） ，像方截距： sinsin3.822554 1100 1299.332(mm) sinsin( 1.916616 I Lr U 在高斯面上的高度：299.332 300tan(| 1.9166167 |)0.022(mm)y，该值说明点物 的像是一个弥散斑. 3一个直径为200mm的玻璃球，折射率为 1.53，球内有两个小气泡，看上去一个恰好在球 心，另一个从最近的方向看去，好像在表面和球心的中间，求两气泡的实际位置. 解：如右图：A的像 A 在球心，则A仍在球心. B 在球面和球心中间，/250mm B lr ，则 11.531 1.53 60.474mm 50100 B BBB nnnn l llrl B离球心 39.526mm. 4在一张报纸上放一平凸透镜，眼睛通过透镜看报纸.当平面朝着眼睛时，报纸的虚像在平 面下13.3mm处；当凸面朝着眼睛时，报纸的虚像在凸面下14.6mm处.若透镜中央厚度为 20mm，求透镜材料的折射率和凸球面的曲率半径. 解：如右图(a)(b)：对第一面 1 0l ， 1 0l .故仅需计算第二面. B B A A 第一种情况： ,20mm,13.3mm,1rlln 第二种情况： 20mm,14.6mm,1lln 故有： 1111 13.32014.620 nnnn r 联立求解得：75.282mm 1.504rn 所以，透镜材料的折射率为 1.504，凸球面的曲率半径为 75.282mm. 5 一个等曲率的双凸透镜， 放在水面上， 两球面的曲率半径均为 50mm， 中心厚度为 70mm， 玻璃的折射率为 1.5，透镜下 100mm 处有一个物点 Q，如图 2.1 所示，试计算最后在空气中 成的像. 解：由光线近轴计算基本公式 nnnn llr 对于面 1， 1 1.51.331.5 1.33 10050 l 解得 1 151.515mml 对于面 2， 2 11.51 1.5 151.5157050l 解得 2 309.746mml ， 所以最后在空气中成的像在第二面 顶点后 309.746mm 的位置。 6.直径为 100mm 的球形玻璃缸中有一条金鱼，当金鱼游 到中心时，我们所观察到的像的大小如何(不计玻璃缸的折射作用，水的折射率为 4/3)？ 解：l=r 时，l=r， 4/344 ,100133.33mm 133 nlr mhmh n lr 7.一凹球折射面是水和空气的分界面，球面的半径r为负值， 当近轴的发散光从水到空气折射时，试求该系统成虚像的条 件.设水的折射率为 4/3. 解：如图所示 4/3n ，1n ，由 nnnn llr 得： 141 33llr ，即 141 33llr 欲使系统成虚像的条件是0l ，现在0,0lr (a)(b) 2 1 Q 图2.1 AAC 4/3n 1 n r l l 则 41 33lr ，即4lr，即物置于 0 到 4r 区间时，系统能成虚像. 8. 有一个双胶合物镜，其结构参数为： (mm)r A 1A R Q T S (0,0,)Ca (0,0)Ba 3A 4A 2A S 图1.5 x z y ( ,0,0)a O 图 1-2 n1=1 r1=83.220 d1=2 n2=1.6199 r2=26.271 d2=6 n3=1.5302 r3=-87.123 n4=1 采用 ynu 光线追迹的方法计算两条实际光线的光路.设入射光线的坐标分别为： 11 1 =300mm; 2 = ; 10mm LU Ly 解： （1） 11 =300mm; 2LU 时，近轴光线 11 tan,tan22/1800.0349UU即 111 10.470(mm)yLU 1 11 11111 ()/0.0349( 10.470) (1.6199 1)/83.2200.0431nunuy nnr 2111 11 = + ()/ = 10.470+2 0.0431/1.6199 = 10.4168(mm)yyt nun 22222222 = ()/0.0431 ( 10.4168) (1.5302 1.6199)/26.2710.0075n un uy nnr 322222 = + ()/ = 10.4168+6 0.0075/1.5302 = 10.3874(mm)yyt n un 33333333 = ()/0.0075( 10.3874) (1 1.5302)/( 87.123)0.0707n un uy nnr 4333333 = + ()/ = 10.3874+0.0707/1 = 0yyt n unt 所以，对应光线在第四个面（像面）上的像点到物镜最后一面的距离为 3 146.9222(mm)t （2） 1= ; 10mmLy时， 11 10(mm),0yu 1 11 11111 ()/0 10 (1.6199 1)/83.2200.0745nunuy nnr 2111 11 = + ()/ = 10+2 ( 0.0745)/1.6199 = 9.9080(mm)yyt nun 22222222 = ()/0.07459.9080 (1.5302 1.6199)/26.2710.0407n un uy nnr 322222 = + ()/ = 9.9080+6 ( 0.0407)/1.5302 = 9.7484(mm)yyt n un 33333333 = ()/0.04079.7484 (1 1.5302)/( 87.123)0.1000n un uy nnr 4333333 = + ()/ = 9.7484+( 0.1000)/1 = 0yyt n unt 所以，对应光线在第四个面（像面）上的像点到物镜最后一面的距离为 3 97.4840(mm)t 运用 ynu 近轴光线追迹方法，用 excel 表格计算结果如下： （1）L1=-300mm；U1=-2 时 物面 #1 #2 #3 像面 r 83.220 26.271 -87.123 C 0 0.0120163 0.0380648 -0.011478 0 t 300 2 6 146.844921 n 1 1.6199 1.5302 1 -0.0074489 0.0034144 -0.0060856 t/n 300 1.2346441 3.9210561 146.844921 y 0 -10.471976 -10.418764 -10.38926 0 nu -0.0349066 0.0430984 0.0075245 0.07074988 （2）L1=； y=10mm 时 物面 #1 #2 #3 像面 r 83.220 26.271 -87.123 C 0 0.0120163 0.0380648 -0.011478 0 t 2 6 97.4998991 n 1 1.6199 1.5302 1 -0.0074489 0.0034144 -0.0060856 t/n 1.2346441 3.9210561 97.4998991 y 10 10 9.9080322 9.7486052 0 nu 0 -0.074489 -0.040659 -0.0999858 注意：上面公式逐步计算时，由于保留的有效位数的不同，计算过程中的舍入误差也不同， 计算结果会有些差别.而用 Excel 表格计算时， 其计算精度更高， 中间过程几乎没有舍入误差， 所以与 ZEMAX 计算几乎一样. 9.有一双胶合透镜系统，其结构参数如图 2.2 所示.该系统放置在折射率1.0n 的空气中.假 设物体位于物空间无穷远处，采用 ynu 光线追迹方法完成表 2.1 中的空白，求它经过该系统 后的成像位置（单位：mm）. 210 n3=1.6n2=1.5 R1=40 R3=(-)50 R2=(-)20 n1=1.0 图2.2 解：运用 ynu 近轴光线追迹方法，用表格列出计算过程如下： 物面 面#1 面#2 面#3 像面 r 40 -20 -50 C 0 0.025 -0.05 -0.02 0 t 10 2 48.237837 n 1 1.5 1.6 1 -0.0125 0.005 -0.012 t/n 6.666667 1.25 48.237837 y 10 10 9.166667 9.067708 0 nu 0 -0.125 -0.079167 -0.187979 由表格计算结果可知：无穷远物体经系统后成像于表面#3 的右方 48.237837mm 处. 10. 一个物体位于半径为 r 的凹面前什么位置时，可分别得到放大 4 倍的实像、放大 4 倍的 虚像、缩小 4 倍的实像和缩小 4 倍的虚像. 解： （1）得到放大 4 倍的实像时，满足，解方程得 （2）得到放大 4 倍的虚像时，满足，解方程得 （3）得到缩小 4 倍的实像时，满足，解方程得 112 4 llr l m l 5 8 5 4 2 lr llr 112 4 llr l m l 3 8 3 4 2 lr llr 112 1 4 llr l m l 5 2 15 48 lr llr （4）得到缩小 4 倍的虚像时，满足，解方程得 因为 l 与 r 异号，表明物位于凹面镜之后，与已知条件矛盾.故此解应舍去. 11有一正弯月形薄透镜，两个表面的曲率半径 r1= 200mm，r2= 150mm，透镜材料的折 射率 n=1.5.今在 r2的凸面镀银， 在 r1面的左方 400mm 处的光轴上置一高为 10mm 的物.试求 最后成像的位置和大小. 解: 如下面图（1）所示，成像过程为两次折射，一次反射. 400mm A B (1) -300mm -400mm A B A B (2) 第一次物 AB 经凹球面折射成像： 由 1 1.51.01.5 1 300mm 400200 nnnn l llrl 垂轴放大率 1 1 1 1.0 ( 300)1 1.5 ( 400)2 nl m n l ，如图（2）所示. 第二次凹球面反射成像（图（3）中的A B ） ： 21 300mmll （注意：题目中的假设是该透镜为一薄透镜，即 t=0） ，代入球面反射镜物 像位置公式 2 22222 11211211 100mm 300150 l llrllr 垂轴放大率 22 2 22 1001 3003 nll m n ll -400mm A B A B B A 法 法 -100 (3) -400mm A B A B B A 法 法 - 8 0 A B (4) 第三次凸球面的折射成像.此时，因光线从右向左传输，可倒转 180 观察，计算结果再反 号. 112 1 4 llr l m l 3 2 13 48 lr llr 由 3333 11.51 1.510.51.51 10020020010080 nnnn llrll 倒回来即左方 80mm 处， 3 80mml . 3 3 3 1.5 80 1.2 1 100 nl m n l 因此， 123 11 1.20.2 23 mm m m 总 （）0.2 102mmy 即为左方倒立缩小实像，如图（4）中的A B 所示. 解题要点：正确利用符号法则准确标出已知参数的符号情况. 12.一束平行细光束入射到 r=30mm、n=1.5 的玻璃球上，如图 2.3 所示，求经玻璃球折射后 会聚点的位置.如果在凸面（第一面）镀反射膜，其会聚点应在何处？说明会聚点的虚实. 解：成像过程如图所示：平行细光束入射到玻璃球上，经左侧球面成像后形成中间像， 它又是右侧球面的物，经右侧球面再次成像于. 将 1111 ,1,1.5,30mmlnnr 代入单个折 射球面成像公式得 由于和异号， 1 1 1 1 1 0 nl m nl ，故无穷远物与像虚实相同，即为实像，但由于右侧 球面的存在，实际光线不可能到达此处，故对于右侧球面为虚物. 将 212222 2(9060)mm=30mm,=1.5,=1.5,=1, =-30mmllnnnr再次代入单个折射面 成像公式 得 所以 2 15mml ，此时，物与虚实相反，即为实像 13.已知一曲率半径均为 20mm 的双凸透镜，置于空气中.物 A 位于第一球面前 50mm 处，第 二面镀反射膜.设透镜所成实像 B 位于第一球面前 5mm 处，如图 2.4 所示.若按薄透镜处理， 1 A 2 A 2 A nnnn llr 1 1 11 1.5 30 =mm=90mm 0.5 n r l nn 1 l 1 l 1 A 1 A 2 A 2 10.51.51 303015l 2 2 2 2 2 =0 n l m n l 2 A 2 A 2 A 图2.3 r1=30mm r2=-30mm A1 A2 l2 l1 求该透镜的折射率 n. 解：物体 A 经折射成像在处，将已知条 件 1 50mml ， 代入公式， 得 ， 经反 射 后 ， 成 像 于点 . 故 将 ，代入反射面公式，得， 点再经折射成像于 B 点.根据光路的可逆性，将 B 视为物，视为像，有 ，代入折射公式，得，以上三式联立，解得 n=1.6 14.马路的十字路口有一个凸球面反射镜 r=1m，身高 1.7m 的人路过，求其在凸球面反射镜 前 11m 处，所成像的大小和正倒？ 解：反射物镜成像公式 112 llr ，即 112 111l 解得0.478ml 垂轴放大率 0.478 0.043 11 hl m hl 解得0.043 1.70.070mymy ，又知 m 值为正，故成正立的像. 15、由两个同心的反射球面（两球面的球心重合）构成的光学系统，按照光线反射的顺序， 第一个反射面是凹的， 第二个反射球面是凸的， 要求系统的像方焦点恰好位于第一个反射球 面的顶点，如图 2.5 所示，求两个球面的半径 r1、r2和两者之间的间隔 d 的关系. 注意：做题之前观察图 2.5，可以知道 1221 , , , ,r r l l d均为负. 解：如图所示，光线平行于光轴入射，分别经 r1，r2反射最 终成像在 O1处. 由几何关系得到 12 rrd 和 12 lld . 根据球面反射镜的物像位置公式 112 llr ， 1 r A nnnn llr 1 1 5020 nnn l A 2 r B 211 lldl 112 llr 21 111 10ll B 1 r B 332 d+5 =5mm lll （）， = 2 11 520 nn l O2 -d -r2 -r1 图2.5 1 l 12 ()O A 2 l 12 ()A A 12 ()C C A B BA -l1=50mm -l2 l2 -l3 -l3 d 图2.4 可以得到经 r1成像点 12 ()A A的位置 11/2 lr . 故 21122 /2( + )/2=()/2lldrdrddrd . 将 222 ()/2, lrdld 代入公式 112 llr ， 得方程 2 22 20rdrd 解方程得 22 2 ,rd rd . 显然，当 2 rd 时， 12 0rrd与已知矛盾，应舍去. 则 12 3rrdd 第三章理想光学系统 1. 什么是理想光学系统，理想光学系统的基点基面有哪些，其特性如何？ 解：物象空间符合“点对应点，线对应线，平面对应平面”，即空间任意大小的物体以任意宽 的光束均能成完善像的光学系统为理想光学系统.理想光学系统的基点包括物方焦点、像方 焦点；物方主点、像方主点；物方节点、像方节点.基面包括物方焦平面、像方焦平面；物 方主平面、像方主平面；物方节平面，像方节平面.入射光线过焦点时，其共轭光线平行光 轴；入射光线过节点时，其共轭光线与之平行；物方主平面与像方主平面共轭，且垂轴放大 率为 1. 2.已知一球透镜如图 3.1 所示，当 12 RRr，1.5n 时，试分别用 ynu 表格法和透镜公式 求解它的焦距和主平面位置. 解：ynu 光线追迹表格法 面号 物面 #1 #2 像面 R r r C 0 1/ r 1/ r 0 t 2r / 2r n 1.0 1.5 1.0 1/ 2r 1/ 2r t/n 4 /3r / 2r y 1 y 1/3 y 0 nu 0 1/2 yr 1 2/(3 )yr 由上表中的数据，得有效焦距为 111 2 221 3 1 2/(3 )2 k yyyr fn un uyr 像方焦点的位置（后焦距）为 21 2 221 /3 1 2/(3 )2 k F k yyyr ln un uyr 像方主点的位置为 3 22 PF rr llfr 透镜公式求解法 12 ,2 ,1.5rr rr dr n 2 121 2 111(1)112 (1.5 1)2 (1)(1.5 1) 1.53 d nr n frrrr nrrrr 3 /2fr 1 (1)(3 /2) 2(1.5 1) 1.5 P f d nrr lr nrr 所以，它的焦距为 3r/2，主平面位于后表面左方 r 处. 3.近轴条件下，采用 ynu 光线追迹的方法确定球面反射镜的像方焦距公式. 解：取凹球面反射镜，则 r0，与题意不符， 故不能得到一个实的、亮的焦点. 28、试用作图的方法求出图 3.7(a)和(b)中两个成像系统的像方主平面位置. 1212 11 1111 1 fff f mm m f f xf fx x 1 xm m 1 x （a）(b) 图 3.7 解：像方主平面由平行入射光线的延长线与对应出射光线的交点所确定. P （a） P （b） 第四章平面镜棱镜系统 1.通过平面镜看到自己的全身，问平面镜长度至少要多少？试证明之. 解：身高的二分之一.根据反射定律，脚部经反射至人眼的光，反射点避灾人眼至脚的 1/2 处，此 即反射镜下边缘； 同理， 头顶经镜面反射至人眼的光， 反射点为头顶至眼 1/2 处， 为镜面上边缘， 故镜长为身高的 1/2. 2.一焦距为 1000mm 的薄透镜，在其焦点处有一发光点，物镜前置一平面反射镜把光束反射回物 镜，且在焦平面上成一像点，它和原发光点的距离为 1mm，问平面镜的倾角是多少? 解： 1 tan2,0.02861 43 1000 F 2 A B A B l l 600150 M M D A B 图4-1 3.有一双面镜系统，光线平行于其中一个平面镜入射，经两次反射后，出射光线与另一平面 镜平行，问两平面镜的夹角为多少？ 解：由图可知 ABCD 是平行四边形 12 90,90ii,故 12 ii 122 2290iii 故 60 4.一光学系统由一透镜和平面镜组成， 如图 4.1 所示.平面镜 MM 与透镜光轴垂直交于 D 点， 透镜前方离平面镜 600mm 有一物体 AB，经透镜和平面镜后，所成虚像至平面镜的距离为 150mm,且像高为物高的一半，试分析透镜焦距的正负，确定透镜的位置和焦距，并画出光 路图. 解：由于平面镜性质可得 B A及其位置在平面镜前 150mm 处， BA为虚像, B A为实像. 则 1 1 2 m 1 1 2 l m l 600 150450ll 解得300l 150l 有高斯公式可得150mmf 5、如图 4.2 所示，平行平板厚度为 d，玻璃折射率为 n，光线入射为 AB，当平行平板绕 O 点转过角.试求光线侧向位移 x 的表示式，并分析点 O 的位置对侧向位移有无影响. 1 i 2 i A B C D b) z x y z 1 x 1 z 1 y 2 x 2 z 2 y x y c) x y z z x y 解： sinxCDED ，/cosEDd 所以 sin cos d x 有sinsin/n 代入 22 22 cossin sin1 sin n xd n 旋转中心O点位置对侧向位移没有影响. 当 n=1.5, =45时，/3xd 6、一个由物镜 L，反射镜 M 和屋脊棱镜 P 组成的单镜头照相机取景器，如图 4.3 所示.物为 右手坐标，试求经过物镜、反射镜和屋脊镜后像的坐标系. 解：坐标轴经光学元件后变化如如图 4.3 中红色箭头所示. M P y x oz L 法 4.3 1 x 1 z 1 y 1 o 3 x 3 y 3 z 2 x 2 y 2 z 3 o 2 o 7、试判断图 4.4 所示各棱镜或棱镜系统的转像情况，设输入为右手坐标系，画出相应输出 坐标系. AB C D E d o 图 4.2 x a) 30 z x y z 60 120 y x x y z z d) 图4.4 1 x 1 z 1 y 2 x 2 z 2 y x y x y o z x y o z 图 4-5 8.使无限远物体成像的光学系统的结构如图 4.5 所示， 物像坐标均为右手坐标系.试确定在虚线框 中应选用何种平面镜或棱镜? 解：直角屋脊棱镜 9.如图 4.6 所示，一水平光线通过折射率 n=1.5，顶角为4的光 楔后射到一竖直的平面镜上.欲使反射的光线变成水平方向，则 必须将平面镜转过多大角度? 解：偏向角(1)(1.5 1) 42n，故转角1 10一点光源 S 位于平行玻璃平板前 l 处，平行平板厚度为 d，折射率为 n，后表面镀反射膜.光 源 S 经平行平板前表面折射，又经后表面反射，再经前表面折射面成虚像 S . （1）试用等效空气平板的观点求共轭距 SS . （2）若此平板厚度 d200mm，n1.5，一人站在平板前 300mm 处，则人和其像之间相距多大? 解：如图所示 123 ,s s s s 分别为第一折射，平板折射，第二反射，平板再折射后的像， 4 s 可看 作平板折射形成虚像 S 的虚物.图中 24 1 (1)sss sld n 为轴向位移. 所以 2 4 sss s ，而 2 s ， 4 s 又以反射面 O 为对称面 1 4 2()22 / d s slld n n ，d/n 为等效空气平板厚度. 4 光楔反射镜 图 4.6 1 s 2 s s 4 s 3 s s /d n d l l O 45 45 D D D 图4.9 （2）代入已知数据 200 2(300+)=886.7mm 1.5 ss 11、直角三棱镜转像的立式制板照相机光路如图 4.7 所示.镜头焦距 f 450mm，棱镜玻璃折射 率 n1.5，主截面为 ABC，且 ABBC100mm.试问要求放大 2 倍时，物镜离清晰像的距离是 多少？ 解：由2 l m l 和 1 1111 450llf 解得 1 1350mml 轴向位移 11 1110033.3mm 1.5 ld n 所以135033.31383.3mml 12. 如图 4.8 所示， 物镜后面有两块平面平行板， 其厚度分别为 15mm 和 12mm， 折射率均为 1.5， 物镜像距 l 64mm， A 面为其最后成像面.试求两块平行平面之间的间隔 d 之值. 解：轴向位移 12 11 (1)()(1)(15 12)9mm 1.5 ldd n 由图：964121520d 解出26mmd 13. 画出如图 4.9 所示的棱镜展开图.设 D=20mm，求展开后等效平板的厚度 L 值. 解：画出的棱镜展开图如右图所示， L=2D=40mm 14、如图 4.10 所示，显微镜为了观察方便，常引入转像棱镜，现要求光轴方向改变 45 ，通 光口径为 D.试求： （1） 、棱镜的角度和大小. AB C 图 4.7 A 2015d12 l64 图 4.8 45 45 D D L （2） 、该棱镜展开成平行平板，求其结构常数. 图4.10 D FA B K G H C E 45 AB C L A B E D E 解：（1） 如右图所示， 要求光轴方向改变45， 故两反射面的夹角5 .22， 在三角形AEF 中，45AEF,90AFE，所以45A，5 .112180CAB.其大小有 sin450.707 =1.847 sin22.50.38268 DD BCD sin112.50.92388 2.414 sin22.50.38268 DD ACD 将光线不通过的部分 HGC 截取，节省材料. 因为90112.545 =22.5BKGKBG， 所以=1.082 coscos22.5 DD BGD KBG 2sin452tan22.5 sin451.4140.29291.7069AHAKKHDKGDDDDD （2）求棱镜的结构常数.右图中棱镜展开成平行平板的厚度为 L 1.707 22 BAD LABBEDDD 所以结构常数 K 为 1.707 1.707 LD K DD