第05章习题解答.pdf

1 习题习题 5 参考解答参考解答 5.1 下图所示楔形薄透镜，楔角为，折射率n，底边厚度为 0 。求其相位变换函数，并利 用它来确定平行光束小角度入射时产生的偏向角。 解：如下图所示，棱镜的厚度函数为： 00 ( , )()(1)L x ynyynny 则棱镜的相位调制可以表示为： 0 ii( , )i (1) ( , )eee knkL x yk ny t x y 忽略常系数，则棱镜的相位调制可表示为： i (1) ( , )e k ny t x y 对于小角度入射的平行光束(假设入射角为)，其复振幅分布为： i 0( , ) e k y Ux yA 该光束经过棱镜后，忽略能量损失，其透射光束的复振幅分布为： i(1)ii (1) 00 ( , )( , ) ( , )eee knyk yk ny Ux yUx y t x yAA 与入射光束相比，其传播角度发生了偏转，偏角大小为： 2 (1)n 5.2 见下图，点光源S与楔形薄透镜距离为 0 z，它发出倾角为的傍轴球面波照射棱镜，棱镜 楔角为，折射率n。求透射光波的特征和S点虚像的位置。 解：如下图所示，假设点光源S位于yz平面内。S点的坐标为 00 (0,tan ,)zz，则从点光 源S发出的倾角为的球面波在xy平面上的复振幅分布可近似表示为： 2222 00 0000 222 0 000 i(tan ) i() i2i2 00 0 00 ii() i22i 0 0 ( , )eeee eeee kk xy zxy z kzzkzz kk zxy kzzzk y aa Ux y zz a z 上式应用在傍轴近似下，有tan。 由5.1题的分析可知，对于楔角为、折射率为n的棱镜，共相位变换函数为： 3 i (1) ( , )e k ny t x y 则透射光波的复振幅分布为： 222 0 000 22 22222 0 00 0000 ii() i22ii (1) 0 00 0 i1 ii()i() 2i(1) i222 00 00 ( , )( , ) ( , )eeeee eeeeee kk zxy kzzzk yk ny kkk kz zxyxy z knykzzzz a Ux yUx y t x y z aa zz 式中：(1)n。 因此，透射光波还是一个球面波，其虚像的位置为 00 (0,)Szz。 5.3 采用如下光路对某一维物体作傅里叶分析。它所包含的最低空间频率为20/mm，最高空 间频率为200/mm。 照明光的波长为0.6m。 若希望谱面上最低频率成分与最高频率成 分之间与最高频率之间间隔50/mm，透镜的焦距应取多大？ 解：如下图所示，从角谱传播的角度来看，当采用单色平面波垂直照明时，后焦面上某点的 坐标与物体某频率成分的关系为： sin f y f 则任意两个空间频率在后焦面上的间隔为： 4 f yf 由题意，0.6m，最小空间频率 1 min 20mm ，最大空间频率 1 max 200mm ，当要 求它们之间对应的间隔为50mm f y，则透镜焦距为： 3 50 10 mm463mm 0.6 180 f y f 5.4 对于下图所示的变换光路，为了消除在物体频谱上附加的相位弯曲，可在紧靠输出平面 之前放置一个透镜。问这个透镜的类型以及焦距如何选取？ 解：如题图所示，在忽略透镜孔径的影响下，输出平面上得到的光场分布为： 22 i() 2 2 ( , )e, i k d Af UT ddd 式中： 00 , (,)TF t xy dd 。输出平面得到物体的傅里叶变换，但带有一个二次相位因 子。若要消除这个相位弯曲，可以利用透镜的相位调制性质。透镜的相位变换函数是一个二 相位因子，当 22 i() 2 2 ( , )e, i k d f Af UT ddd 时，二次相位因子消除 。上式中， 22 i() 2 e k d 是一个焦距为fd的凸透镜的相位调制因子。 因此，只要在输出平面之前放置一个焦距为fd的凸/透镜，则输出光场的相位弯曲就可以 消除。 5.5 参看下图， 单色点光源S通过一个会聚透镜在光轴上S位置。 物体(透明片)位于透镜后方， 相距 S 的距离为d，被完全照明。求证物体的频谱出现在点光源的像平面上。 5 证明：因为单色点光源通过会聚透镜成像(或会聚)在光轴的 S 位置，所以根据会聚球面波的 性质，在 S 之前距离为d的物体之间的光场分布就近似为： 22 00 i() i 0 2 0( , ) ee k xy kd d a Ux y d 式中： 0 a是与振幅有关的常数。假设物体的复振幅透过率函数为 00 (,)t xy，则物体的透射光场 为： 22 00 i() i 0 2 0000000000 (,)(,) (,)ee(,) k xy kd d a UxyUxy t xyt xy d 根据傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式，可计算出 S 位置处的场分布为 2222 00 2222 i i()i() 22 000 , i()i() 00 22 00 22, e ( , )e(,)e i e(,)e, ii kkkd xyxy dd xy dd kk xyxy dd xy dd U x yF Uxy d aaxy F t xyT dddd 可见在点光源的像面上的复振幅分布正比于物体的傅里叶变换， 但是变换式之前存在二次 相位因子，这使物体频谱产生了相位弯曲。 5.6 如下图所示，透明片 111 ( ,)t x y和 222 (,)txy分别紧贴在焦距为 12 2 ,fa fa的两个透镜之 前。透镜 12 ,L L和观察屏三者间隔相等，都等于2a。如果用单位振幅单色平面波垂直照 明，求观察零上的复振幅分布。 解：当采用单位振幅的单色平面波垂直照明时，在透镜L1后方距离 1 2fa处给了透明片 111 ( ,)t x y的傅里叶变换。因此，在透明 222 (,)txy之前光场分布为 6 22 22 1 i() 2 22 2221 111 1 (,)e, i k xy f xy UxyT fff 式中： 22 11 22 1111 , 11 , ( ,) xy ff xy TF t x y ff 。经过透明片 222 (,)txy和透镜L2后的透射光场为： 22 22 2 2222 2222 12 i() 2 222222222 i()i() 22 22 1222 111 (,)(,) (,)e 1 ee,(,) i k xy f kk xyxy ff UxyUxy txy xy Ttxy fff 将 12 2 ,fa fa的关系代入上式，上式就可简化为： 22 22 1 i() 2 22 2221222 111 1 (,)e,(,) i k xy f xy UxyTtxy fff 利用傅里叶变换形式的菲涅耳衍射方程， 则得到距L2后 1 2af处观察屏上菲涅耳衍射图 样的复振幅分布为： 2222 1 22 11 11 22 1 11 22 i i()i() 22 222 1 , i() 2 22 1222 2 111 , i2 i() 22 4 2 e ( , )e(,)e i 1 e,(,) () e e, (2)22 kk kf xyxy ff xy ff k xy f xy ff kak xy a U x yF Uxy f xy F Ttxy fff xy F aaa 222 , 22 *(,) xy aa F txy 由傅里叶变换的性质，可知： 22 1 , 22 ,(,) 22xy aa xy F Ttxy aa 2222 , 22 (,), 22 xy aa xy F txyT aa 略去常系数及积分号前的相位因子，则最终在观察屏上衍射图样的复振幅分布正比于 1 t 和 2 t变换式的卷积 2 ( , )(,)*, 22 xy U x ytxyT aa 7 5.7 一个被直径为d的圆形孔径的物函数 0 U， 把它放在直径为D的圆形会聚透镜的前焦面上， 测量透镜后焦面上的强度分布。假定Dd。 (1) 写出所测强度准确代表物体功率谱的最大空间频率的表达式，并计算6D cm， 2.5d cm，焦距50f cm以及0.6m时，这个频率的数值(单位：/mm) (2) 在多大的频率以上测得的频谱为零？尽管物体可以在更高的频率上有不为零的频率 分量。 解：(1) 透镜有限孔径对于物面空间频率成分传播的限制称为渐晕。仅当某一方向上的平面 波分量不受拦阻地通过透镜时，在后焦面上相应会聚点测得的强度才准确代表物相应空间频 率的傅里叶谱的模的平方。 如下图所示，在小角度情况下，满足这一要求的平面波分量的传播方向角最大为： 0 22 2 Dd Dd ff ， (,Df df) 因透镜是圆形孔径，在圆周方向上都有相应的最大空间频率： 22 max 73 max sin(62.5) 10 58.3 22 6 101050 10 Dd f 周/mm (2) 当某一方面传播的平面波分量完全被透镜孔径拦阻时，在后焦面上没有该频率成分， 测得频谱为零。 如下图所示，当传播方面倾角超过 M 时，该平面波分量正是这种情况。在小角度的情况 下， 22 2 M Dd Dd ff ， (,Df df) 8 相应的空间频率为： 41 sin62.5 10141.7mm 22 0.6 50 MM M Dd f 周/mm 由此可见，当 2 Dd f 时，透镜后焦面上可以得到相应空间频率成分的物体准确的傅里 叶谱。当 22 DdDd ff 时，透镜后焦面上得到的并非准确的物的傅里叶谱，各空间频率 成分受到透镜孔程度不同的拦阻。当 2 Dd f 时，虽然物可能有更高的空间频率成分，但因 这些分量全部被透镜有限孔径所阻拦，在后焦面上完全得不到物的傅里叶谱中的这些高频成 分。这就是渐晕效应对物的频谱传播的影响。从公式可以看出，当透镜孔径D增大，或者物 体尽量靠近透镜，可以减小这一效应的影响。 5.8 一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)： 2 000 1 ( )1 cos()circ(/ ) 2 t rarrl (1) 这个屏的作用类似于透镜，为什么？ (2) 给出此屏的焦距表达式？ (3) 这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？ 解：(1) 此衍射屏的复振幅透过率如图所示，可把它表示为如下直角坐标形式： 9 2222 22 i ()i () 111 ( , )eecirc 244 a xya xy xy t x y l 式中，中括号内的第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜相位变换因 子 22 i() 2 1 e 4 k xy f 比较，形式相同。当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面 波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子 22 circ xy l 表明该屏具有半径为l的圆形孔径。 (2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的相位变换因子相比较，便得相应的焦 距，即 对于 22 i () 1 e 4 a xy 项，令 1 2 k a f ，则有 1 0 2 k f aa ，焦距为正，相当于会聚透镜。 对于 22 i () 1 e 4 a xy 项，令 2 2 k a f ，则有 2 0 2 k f aa ，焦距为负，相当于发散透镜。 对于 1 2 项，平行光直接透过，仅振幅衰减，相当于一个振幅衰减片，可视为 3 f ， 。 (3) 由于该衍射屏有三重焦距，当用作成像装置时，便可以对同一物体形成三个像。例 如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远(直 接透射光)。如下图所示。 当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接 收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的 色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作光源，则在像面上可看到 严重的色散现象。如取： red 690nm， blue 469nm，则有： 10 redblueblue 460 0.67 690 这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到非常严重 的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图。 5.9 下图所示为菲涅耳波带片的复振幅透过率 2 000 1 ( )1 sgn(cos)circ(/ ) 2 t rarrl 证明它的作用相当于一个有多重焦距的透镜。确定这些焦距的大小。 解：由sgn函数的定义可知： 22 00 2 0 22 00 1cos0or2 2 11 22 sgn(cos) 322 0cos0or2 2 22 armarm ar armarm 式中：m为整数。令 2 0 uar，显然上式是u的周期函数，周期为2，故可展开成傅里叶级数： i 11 sgn(cos )e 22 nu n n uC 上式中傅里叶系 /2 i /2 1sin( /2)1 edsinc( /2) 22 nu n n Cun n 这样有： 2 i 11sin( /2) sgn(cos )e 22 nar n n u n 上式表示一个方波函数。最后求得复振幅透过率为： 2 0 i 1 ( )circsinc( /2)e 2 nar n r t rn l 写直角坐标表示成： 11 22 00 i() 00 1 (,)sinc( /2)e 2 na xy n t xyn 上式的指数因子 22 00 i() e na xy ，也是二次相位因子，类似于透镜的相位变换因子 22 00 i() 2 e k xy f ，并且 可以表示为 22 00 i() 2 e n k xy f 这样有： 2 n k f nana (1, 3, 5,n ) 也就是说，可以把该衍射看作一个具有多重焦点的透镜，焦距由上式确定，其中因子 22 00 circ xy l 是这些透镜的光瞳函数。或者更确切地说，是由无穷多个会聚透镜和发散透 镜组成。 当n是偶数时，零点除外， sin(/2) 0 n n ，故当用单色平面光波垂直照明时，透射光中 不包含n为偶数的成分。 对n为奇数的情况，透射光中包含有无穷多个球面波。当n取负值时， n f为正，是会聚 球面波，它可以得到实焦点；当n取正值时， n f为负，是发散球面波，它可以得到虚焦点。 如下图所示。 5.10 单位振幅的单色平面波垂直照射一个直径为5cm、 焦距为80cm的透镜。 在透镜后面20cm 的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过