高中物理论文：渡河模型透析.doc

渡河模型透析摘 要：全面解析渡河问题，通过对渡河情景中的极值问题、轨迹问题与牵引渡河中的分解方法等问题的分析，充分展现运动合成与分解在研究复杂运动上的重要意义和分析的策略关键词：渡河问题运动合成与分解一、渡河问题分析的理论依据渡河问题是运动合成与分解的典型模型对渡河问题的深入研究，有利于对运用运动合成与分解的方法分析复杂运动的理解，有利于对运用运动合成与分解分析复杂运动策略的把握对渡河问题的研究，首先应能正确区分合运动与分运动可以借助于控制变量法，比如先假定河水不流动，而小船运动，可以判断出小船将沿船头指向的方向行驶；再假定小船不动，而河水流动，小船将沿水流方向以水流的速度顺水漂流由此可以判定小船实际的运动可以分解为以下两个分运动：沿船头指向的运动和沿水流方向的运动在明确渡河问题合运动和分运动的基础上，还必须把握合运动与分运动之间的关系如独立性原则、等时性特征、等效性结局等1独立性原则：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不干扰例如，小船渡河时，如果水流速度发生变化，只影响小船沿河岸的分运动，不影响小船向对岸划行的速度，即不影响小船的渡河时间2等时性特征：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时结束例如，小船渡河时，小船即随水流向下游运动，又相对水向对岸划行当小船在下游某处到达对岸时，这两个分运动也同时结束，两分运动所用时间相同3等效性结局：各分运动合成的效果与合运动的效果完全相同各个分运动的位移、速度和加速度的矢量和分别等于合运动的位移、速度和加速度二、渡河问题中的三个极值问题以下对渡河问题的讨论中，均设船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度）， 水的流速为v水（即水对河岸的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，其方向就是船的实际航向）， 并设河的宽度为d1寻求最短渡河时间当船头垂直河岸时，渡河时间最短，且有渡河时间与水的流速无关的特征图1v2v1v水v船ad求证如下：设v船与水平方向的夹角为a，如图1所示，将此速度分解为垂直于河岸的v1和沿河岸方向的v2根据运动的独立性原则可知，沿河岸方向船的速度为v= v水v2，垂直于河岸方向的速度为v= v1，所以渡河时间t= d/v1= d/v船sina，故角度a越大，所用时间越小，当a= 90时，有最短渡河时间tmin= d/v船所以当船头垂直河岸时，有最短的渡河时间水的流速会影响到达对岸的位置，但对渡河的时间不造成影响v合v水v船 a d图22寻求渡河最小位移（1）当v船 v水时，由矢量合成可知，船的合速度可以垂直于河岸，如图2所示显然此时有最小的渡河位移，等于河宽，即smin= l图3pv合v水v船 a d（2）当v船 v水时，当船头指向与船的合速度方向垂直时，即v船v 时，渡河位移最小在v船 v水的条件下，v合不可能垂直指向对岸v船、v水和v合构成的矢量三角形如图3所示以v船为半径做圆（见图3中虚线圆），无论船头指向何方，v合的矢量末端必定在此圆周上，所以当v合的方向和圆相切时有最小位移由图可得smin= d/sin（90a）= dv船/v水（3）当v船= v水时，随着两者夹角的增大，v合逐渐向垂直于河岸的方向靠拢，表明最小位移即将浮出水面当两者的夹角趋向180时，最小位移趋向于河岸的宽度d但此时的合速度也趋向于零，渡河的时间自然趋向无穷大从实际情况而言，显然是没有任何意义的也有人提出当船头垂直于河岸航行时，船具有最小的航行时间，即t= d/v船，且河宽d又是一定的，所以此时船的位移是两个最小分位移的矢量和图4vv水v船 a d 所以smin=虽然此情景中船具有最小的航行时间，但河岸方向上的速度并非最小，显然并非是正确的解答我们可以设船头与河岸的夹角为a，如图4所示，图中合速度v的方向与垂直河岸的方向夹角为，可求得= a/2根据图示求得渡河时的合速度与夹角的函数关系，v=；渡河发生的位移与夹角的函数关系，s；渡河所用时间与夹角的函数关系，t并设河宽为20m，v船= 2m/s利用excel制作渡河位移与夹角的变化图线和时间与夹角的图5位移 时间 变化图线，如图5所示鉴于夹角过小时，时间趋向无穷大；夹角过大时，时间和位移均趋向无穷大，失去了实际研究的意义所以图线的描绘中设置船头与河岸的夹角在的范围内，纵坐标以弧度为单位通过图线可以明确，当v船= v水时，寻求渡河最小位移失去了实际的意义，不妨根据图线探讨有效渡河的问题，本文只点到此处可见，对物理问题的研究，不能不依据实际情况而仅靠数学的推理，也不能仅为了获得一个结果而放弃对实际情景的分析图6avminbcv水v船 a3寻求渡河最小速度问题界定于小船以匀速渡河，且终点位于下游的某处如图6所示，以a为起点，终点c离起点正对面的b点的距离设为s由于船沿ac连线运动，所以合速度v的方向自a向c，从矢量图解中可以看出当船头垂直于航向，即v船的方向垂直于ac连线时，有最小速度vmin此时船头与河岸的夹角tana= s/d，由几何关系得vmin=三、渡河情景中的运动轨迹图7（a）a船v合v船v水v船a船v合v水（b）船的运动轨迹由水流的运动情况和船在静水中的运动情况而定本文中仅限于讨论水流恒定的情况如果船在静水中的速度不变，则合运动必为匀速直线运动如果船在静水中的速度发生变化，如启动或制动的过程中，则船做曲线运动根据曲线运动的知识可知，船的轨迹将向加速度一侧偏转如图7（a）、（b）所示在摆渡中对该问题的研究有着现实的意义图8av四、牵引渡河的运动分解如图8所示，一个人在有一定高度的河岸上，以恒定的速度v 沿水平方向运动，并通过绳、定滑轮牵引船向岸边运动试证明：船靠岸的速度u总是大于绳牵引的速度v图9v2uv1a求证如下：如图8所示，设某一时刻绳与水平方向的夹角为a船水平向右的靠岸速度u（即合速度）有两个效果：一是使绳上各点沿绳方向平动，二是使绳绕定滑轮逆时针方向转动因此，船速u可分解为平行绳的分量v和垂直绳的分量v，如图9所示根据三角函数关系，得u= v/cosa，所以船靠岸的速度u总是大于绳牵引的速度v根据a角度的增大，可知船是加速靠岸，直至a=90，船靠岸的速度才等于绳牵引的速度合速度按平动、转动两效果分解，以确定合速度与分速度的大小关系是此类问题解答的关键我们也可以如下求证：设t时