中考数学 几何复习 第七章 圆 第36课时 画正多边形（一）教案

1 第七章：圆第七章：圆 第 36 课时：画正多边形(一) 教学目标：教学目标： 1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形 2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角 形、正十二边形 3、通过画图培养学生的画图能力； 4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、 抽象、迁移能力 5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力 教学重点：教学重点： (1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接 正方形和正六边形 教学难点：教学难点： 准确作图 教学过程：教学过程： 一、新课引入：一、新课引入： 前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两 个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形 二、新课讲解：二、新课讲解： 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之 一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成 n(n3)等份，依次连结各分点 所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形 是这个圆的外切正 n 边形，所以想到只要知道外接圆半径 R 或内切圆半径 rn，画出圆来，然后 n 等分圆周就能画出所需的正 n 边形 n 等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法其 根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的， 由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可 2 另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用 于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边 形都是由此作基础而画出来的 由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？ 这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论 (三)重点、难点的学习与目标完成过程 复习提问：1哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2哪位同 学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所 对的弧相等) 现在我们要画半径为 R 的正 n 边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？ (安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为 R 的圆 n 等分，依次连结 n 个等分点就得正 n 边形)那么怎样把半径为 R 的圆 n 等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家 相互间讨论(安排中等生回答：把 360的圆心角 n 等分)如果要作半径 2cm 的正九边形，你打算 如何作呢？大家互相讨论看看(安排中等生回答：先画半径 2cm 的圆，然后把 360的圆心角 9 等份，每一份 40)，用什么工具可得到40角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画 正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为 2 的内接正九边形 学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比 较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个 40的圆心角，然后在圆上依次截取 40圆心角所 对弧的等弧，于是得到圆的 9 等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点， 使画出的正九边形的边长误差较大对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性， 然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二 个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长其二，若有 可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会 大家想想如何画一个半径为 2cm 的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径 2cm 的圆，用量角 器作 90的圆心角)画出AOB=90后，方法 1，可依次作 90圆心角；方法 2，用圆规依次截 3 取等于 AB 的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将 AO 与 BO 边延长交O 于 C、D)正方形一边所对的圆心角是 90角，不用量角器用尺规能不能做出 90的圆心角呢？用尺 规如何作半径为 2cm 的正方形？(安排中上等生回答，先作半径 2cm 的圆，然后画两条互相垂直的 直径) 请同学们用尺规画出半径为 2cm 的正方形 大家想想看，借助这个图形，能否作出O 的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中 上生回答：能，过圆心 O 作正方形各边的垂线与圆相交即得O 的八等分点)为什么？根据什么定 理？(安排中上等生回答：垂径定理) 还有什么方法？(安排中上等生作各直角 的角平分线) 请同学们用此二法在图上画出正八边形 照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16 边形等) 综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知O 的互相垂直的直径即得圆内接正方形， 再过圆心作各边的垂线与O 相交，或作各中心角的角平分线与O 相交，即得圆接正八边形，照 此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形 大家再思考一个问题：如何画半径为 2cm 的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论 方法 1画半径 2cm 的O，然后用量角器画 60的圆心角，依次画下去即六等分圆周 方法 2画半径 2cm 的O，然后用量角器画出 60的圆心角， 如果有同学想到方法 3 更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正 六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角 器，仅用尺规作出半径 2cm 的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图) 4 在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在O 上依次截取 AB=BC=CD=DE=EF，由于误 差积累 AB FA，其二，首先画出O 的直径 AD，然后分别以 A、D 为圆心，2cm 长为半径画弧交 O 于 B、F、C、E画出图形比较准确 请同学们用第二种方法画半径 3cm 的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用 由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答： 正十二边形，正二十四边形)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加， 正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画 大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正 三角形) 画半径为 2cm 的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举 手同学回答：画出O 直径 AB，以 A 为圆心，2cm 为半径画弧交O 于 C、D，连结 B、D、C 即可) 请同学们按此法画半径为 2cm 的正三角形 请同学们思考一下如何用尺规画半径为 2cm 的正十二边形？ 在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点 为圆心 2cm 长为半径画弧，交O 的各点即得O 的 12 等分点引导学生观察DOE=DOB-EOB DOB=90，EOB=60DOE=30