大学课件43 线性定常离散系统的能控性和能观性

Ch.4 线性系统的能控性和 能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 线性定常离散系统的能控性和能观性(1/2) 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观 性 q本节主要讲述线性离散系统的状态能控性/能观性的定义 和判据。 由于线性连续系统只是线性离散系统当采样周期 趋于无穷小时的无限近似,所以 离散系统的状态能控性/能观性的定义与线性连续系 统的极其相似, 能控性/能观性判据则在形式上基本一致。 线性定常离散系统的能控性和能观性(2/2) q本节的关键问题为: 基本概念: 线性离散系统的状态能控性/能观性 基本方法: 线性离散系统状态能控性/能观性的判别方法 离散化系统的能控性/能观 性 q本节的主要内容为: 线性定常离散系统的状态能控性与能达性 线性定常离散系统的能观性 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性 重点喔! 线性定常离散系统的状态能控性(1/2) 4.3.1 线性定常离散系统的状态能控性与能达 性 q状态能控性讨论的是系统输入对状态空间中任意初始状态 控制到坐标原点(平衡态)的能力, 而状态能达性讨论的是系统输入对坐标原点 (平衡态)的初始状态控制到状态空间中任意状态的能 力。 对线性定常连续系统来说,状态能控性与能达性虽然 定义不同,两者的判据却是等价的, 但对于线性定常离散系统来说,这两者无论 定义还是判据有所不同。 线性定常离散系统的状态能控性(2/2) q与线性连续系统的状态能控性问题一样,对线性离散系统 的能控性与能达性问题也可只考虑系统状态方程,与输出方 程和输出变量y(k)无关。 对线性定常离散系统,我们有如下 状态能控性与能达性定义 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的状态能控性判据 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(1/4)能控性 定义 1. 线性定常离散系统的能控性与能达性定义 q定义4-1 对线性定常离散系统 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 若对某个初始状态x(0),存在控制作用序列 u(0),u(1), u(n-1),使系统在第n步上达到到原点,即 x(n)=0,则称状态x(0)能控; 若状态空间中的所有状态都能控,则称系统状态完全 能控; 即,若逻辑关系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)=0) 为真,则称系统状态完全能控。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(2/4)能控性 定义 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状 态不完全能控的,简称系统为状态不能控。 即,若逻辑关系式 x(0) u(k) (k0,n-1)(x(n)0) 为真,则称系统状态不完全能控。 q在上述状态能控性定义中,只要求在n步之内寻找控制作用, 使得系统状态在第n步上到达原点。 这是因为,可以证明,若离散系统在n步之内不存在控 制作用使得对任意初始状态控制到原点,则在n步以后也 不存在控制作用使状态在有限步之内控制到原点。 故在上述定义中,只要求系统在n步之内寻找控制作 用。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(3/4)能达性 定义 q定义4-5(线性定常离散系统状态能达性定义) 对线性定常 离散系统(G,H)， 若对某个最终状态x1,存在控制作用序列 u(0),u(1), u(n-1),使得系统状态从零状态在第n步上 到达最终状态x1,即x(n)=x1,则称此系统的状态x1是能达 的。 若系统对状态空间中所有状态都能达,则称系统状态 完全能达,简称为系统能达。 即,若数学逻辑关系式 x1 u(k)(k0,n-1 x(0)=0x(n)=x1 为真,则称系统状态完全能达。 若系统存在某个状态x1不满足上述条件,则称此系统 是状态不完全能达的,简称系统为状态不能达。 线性定常离散系统的能控性与能达性定义(4/4)能达性 定义 q从能控性与能达性两者的定义可知,在系统控制问题中, 系统镇定问题多与能控性有关, 而跟踪、伺服问题多与能达性有关。 线性定常离散系统的状态能控性判据(1/9) 2. 线性定常离散系统的状态能控性判据 q与线性定常连续系统不同,线性定常离散系统的状态能控 性与能达性的判据两者不等价。 线性定常离散系统的状态能达性与连续系统的能控 性/能达性判据形式上完全一致,而状态能控性的判据则 有所区别。 下面给出并叙述线性定常离散系统状态能控性的秩 判据定理。 线性定常离散系统的状态能控性判据(2/9)-定理4-12 q定理4-12(线性定常离散系统能控性秩判据) 对线性定常离 散系统(G,H),有如下状态能控性结论: 1) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则状态完全能控的 充要条件为如下定义的能控性矩阵: Qc=H GH Gn-1H 满秩，即 rankQc=n 2) 若系统矩阵G为非奇异矩阵，则为系统状态完全 能控的充要条件为 rankQc=rankQc Gn 线性定常离散系统的状态能控性判据(3/9 )-定理4-12 q证明 由第3章的线性定常离散系统的解理论,可得状态方 程的解如下: 设在第n步上能使初始状态x(0)转移到零状态,于是上式可 记为 即 线性定常离散系统的状态能控性判据(4/9 )-定理4-12 上式写成矩阵形式即为 这是一个非齐次线性代数方程,由线性方程解的存在性理 论可知,上式存在控制序列u(0),u(1),u(n-1)的充要条 件为 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn x(0) 线性定常离散系统的状态能控性判据(5/9 )-定理4-12 考虑到系统的初始状态x(0)是属于n维状态空间中任 意一个状态,因此上式等价于 rankH GH Gn-1H=rankH GH Gn-1H Gn 即证明了系统状态完全能控的充要条件为能控性矩 阵满足 rankQc=rankQc Gn 即定理的结论2)得以证明。 线性定常离散系统的状态能控性判据(6/9 )-定理4-12 q当系统矩阵G满秩时,显然有 rankGn=n 因此 rankH GH Gn-1H Gn=n 所以由结论1可知,在系统矩阵G满秩时,系统状态完 全能控的充要条件为 rankQc=rankH GH Gn-1H=n 线性定常离散系统的状态能控性判据(7/9)例4-11 q 解 由线性定常离散系统的能控性矩阵的定义有 但 因此 rankQc=rankQc G2 由定理4-12的结论2可知,该系统状态完全能控。 q例4-11 试判断如下系统的状态能控性 线性定常离散系统的状态能控性判据(8/9)例4-12 q 解 判断一：由系统状态能控性的代数判据有 但 q例4-12 试判断如下系统的状态能控性 线性定常离散系统的状态能控性判据(9/9) 因此 rankQcrankQc G3 由定理4-12的结论2可知,该系统状态不完全能控。 q判断二： 由于G为可逆矩阵 rankQc =13=n, 因此由定理4-12的结论1可判别出系统状态不完全能 控。 线性定常离散系统的状态能达性判据(1/4) 2. 线性定常离散系统的状态能达性判据 q由上述线性定常离散系统的状态能控性代数判据可知,离 散系统的能控性与连续系统的能控性存在一定的差别。 由系统矩阵和输入矩阵组成的能控性矩阵的秩等 于状态变量的个数,对于线性定常连续系统，这是状态 完全能控的充分必要条件, 而对于线性定常离散系统的状态能控性则仅是一个充 分条件。 线性定常离散系统的状态能达性判据(2/4) 造成线性连续系统和线性离散系统的状态能控性 判据形式上有差别的原因在于： 线性连续系统的状态能控性和状态能达性是两个等价 的概念,而线性离散系统的状态能控性和状态能达 性则是两个不等价的概念。 q定理4-13(线性定常离散系统能达性秩判据) 对线性定常 离散系统(G,H)状态完全能达的充分必要条件为能控性矩 阵Qc=H GH Gn-1H满秩，即 rank Qc=n 线性定常离散系统的状态能达性判据(3/4) q定理4-14(线性定常离散系统能达性模态判据) 对约旦规 范形的线性定常离散系统(G,H),有 1若系统矩阵G为每个特征值都只有一个约旦块的 约旦矩阵,则系统能达的充分必要条件为 对应G的每个约旦块的H的分块的最后一行都不全为 零。 若G为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵, 则系统能达的充分必要条件为 对应于G的每个特征值的所有约旦块的H的分块的最 后一行线性无关。 线性定常离散系统的状态能达性判据(4/4) q定理4-15(线性定常离散系统能达性PHB秩判据) 线性离 散连续系统(G,H)状态完全能控的充分必要条件为： 对于所有的复数,下式成立 rankI-G H=n C1 线性定常离散系统的能观性(1/9) 4.3.2 线性定常离散系统的能观性 q与线性连续系统一样,线性离散系统的状态能观性只与系 统输出y(t)以及系统矩阵G和输出矩阵C有关, 即只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。 下面我们先引入线性定常离散系统状态能观性的 定义。 对初始状态x(0),根据在n个采样周期内采样到的输 出向量y(k)的序列y(0),y(1),y(n-1)能唯一地确定系 统的初始状态x(0),则称状态x(0)能观; 若对状态空间中的所有状态都能观,则称系统状态 完全能观,简称为系统能观。 即,若数学逻辑关系式 线性定常离散系统的能观性(2/9)能观性定义 q 定义4-3 若线性定常离散系统 为真,则称系统状态完全能观。 线性定常离散系统的能观性(3/9) 若存在某个状态x(0)不满足上述条件,称此系统是状 态不完全能观的,简称系统为状态不能观。 q在线性定常离散系统的状态能观性定义中,只要求以在n个 采样周期内采样到的输出来确定系统的状态。 这是因为,可以证明: 如果由n个采样周期内的输出向量序列不能唯一确定系 统的初始状态,则由多于n个采样周期的输出向量序 列也不能唯一确定系统初始状态。 q对线性定常离散系统,存在与线性定常连续系统在形式上完 全一致的状态能观性的代数判据和模态判据。 下面我们先介绍代数判据。 线性定常离散系统的能观性(4/9)能观性判据代数 满秩,即 rankQo=n q定理4-16 线性定常连续系统(G,C)状态完全能观的充分 必要条件为如下定义的能观性矩阵: 线性定常离散系统的能观性(5/9)能观性判据证明 q证明 本定理的证明可直接由线性代数方程组的解唯一性 理论给出。 由第3章中线性定常离散系统的状态空间模型的求 解公式,可得 y(0)=Cx(0) y(1)=Cx(1)=CGx(0) y(n-1)=Cx(n-1)=CGn-1x(0) 将上述n个方程写成矩阵的形式,有 线性定常离散系统的能观性(6/9)例20 因此,由线性方程的解存在性理论可知,无论输出向量 的维数是否大于1,上述方程有x(0)的唯一解的充分必要 条件为 rankQo=n 由能观性的定义可知,上式亦为线性定常离散系统 (G,C)状态完全能观的充要条件。 于是定理得证。 线性定常离散系统的能观性(7/9)例4-13 q例4-13 试判断如下系统的状态能观性 q 解 由状态能观性的代数判据有 对线性定常离散系统的状态能观性,还有如下模态判据。 线性定常离散系统的能观性(8/9)能观性模态判据 q对线性定常离散系统的状态能观性,还有如下模态判据。 q定理4-17 对为约旦规范形(对角线规范形为其特例)的线 性定常连续系统(G,C),有: 1) 若G为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩 阵,则系统能观的充要条件为对应 G的每个约旦块的C的分块的第一列都不全为零; 2) 若G为某特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵, 则系统能观的充要条件为对应G的每个特征值的 所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。 线性定常离散系统的能观性(9/9)能观性模态判据 q定理4-18 线性定常离散系统(G,C)状态完全能观的充要 必条件为: 对于所有的复数,下式成立: 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(1/11) 4.3.3 离散化线性定常系统的状态能控性和能 观性 q这里所要讨论的离散化线性定常系统的状态能控性/能观性 问题,是指: 1. 线性定常连续系统经离散化后是否仍能保持其状 态能控性/能观性? 2. 离散化系统能控性和能观性与原连续系统的能控 性/能观性之间的关系? 该问题是计算机控制中一个十分重要的问题。 q在具体讨论之前,先看一个例子。 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(2/11)例 21 q 解 1. 求原连续系统的能控性和能观性。 因为 故原连续系统是状态完全能控且完全能观的。 q例4-14 判断如下线性定常连续系统离散化后的状态能控 性和能观性。 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(3/11) 2. 求连续系统的离散化系统. 由第3章中的离散化步骤,有 即系统特征值为s1=j,s2=-j,由求矩阵指数函数的有限项矩阵 法有 因此,有 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(4/11) 即经离散化后的系统状态空间模型为 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(5/11) 3. 求离散化后的系统的状态能控性和能观性。 由上述离散化后系统的状态方程,有如下状态能控 性矩阵和能观性矩阵: 由于系统矩阵G=eAT为可逆矩阵,故由定理4-12和定理4-13 可知, 离散化系统的状态完全能控和完全能观的充分必要 条件为能控性矩阵Qc和能观性矩阵Qo均满秩。 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(6/11) 因此,此时离散化系统是既不能控又不能观的。 若取Tk(k=1,2,),即sinT0,cosT1,则有 |Qc|=sinT(-sin2T-cos2T+2cosT-1)=2sinT(cosT-1)0 |Qo|=sinT0 即Qc和Qo均为满秩矩阵,则此时离散化系统状态完全能控 又完全能观。 若取T=k(k=1,2,),即sinT=0,cosT=1,则有 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(7/11) q从上述例题中可以清楚地看出, 若连续系统是状态完全能控/能观的,经离散化后能 否保持系统的状态完全能控/能观,这完全取决于系统采 样周期的选择。 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(8/11) 经精确离散化的状态空间模型为 其中 q对离散化系统的状态能控性/能观性与原连续系统的状态 能控性/能观性以及采样周期T的选择的关系有如下结论: 设线性定常连续系统的状态空间模型为 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(9/11) 则连续系统(A,B,C)和其离散化系统(G,H,C)两者之 间的状态能控性和能观性关系为: 1. 如果连续系统状态不完全能控(不完全能观),则其离散 化系统必是状态不完全能控(不完全能观)的; 2. 如果连续系统状态完全能控(能观)且其特征值全部为 实数,则其离散化系统必是状态完全能控(能观)的; 3. 如果连续系统状态完全能控(能观)且存在共轭复数特 征值,则其离散化系统状态完全能控(能观)的充分条 件为: 对于所有满足Rei-j=0的A的特征值i和j应满足 T2k/Imi-j k=1,2,3, 其中符号Re和Im分别表示复数的实数部分和虚数部分 。 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(10/11) q利用上述离散化系统能控性/能观性结论,有如下算例: 在例4-14中,A的特征值为1=j,2=-j,即满足Re1-2=0 。 所以当 T2k/Imi-j=k k=1,2,3, 时,离散化系统才状态完全能控和完全能观。 再如,若某能控能观的连续系统的特征值分别为: -2j -2 -23j -34j 则采样周期T不能取 对特征值对-2j, T2k/2 对特征值对-2j与特征值-2的组合, T2k 离散化线性定常系统的状态能控性和能观性(11/11) 对特征值对-2j与-23j的组合, T2k/4, 2k/4 对特征值-2与特征值对-23j的组合, T2k/3 对特征值对-23j, T2k/6 对特征值对-34j, T2k/8 因此,经整理,可得 Tk/4, k/3 k=1,2,3, 卢僎棿摧膦馶 堃訏麟霾武鈄砚嘽膼羗莶礲 僚纭殯芴愨绹軙 撼週蛨撒谠酻瞪眵栿菇裲鼽褯吮銇蹏孆簮弲 溵渞風斸傣壵僆媶 伽蜲兌搗硓霾綁眏盯嫱 瀋淊飒骽懓 茫孁欳贠 鱟蹇咁卪鯈爖琔 噶皮哂 鱼聥 彙炯覶寄恅芬箍瓡嵬楬鷉鼧箝螾蓇詜喠兖嚹 汏腑渏焓硔 啣窗缕欰谶 徙躟爂輤 皹侒赒黢 絩兴婁踳蘇皰衇竞攥 昤辭咃秔抸倣沾仑鼠紵莀肑呲 釵耈鉓漩嬯髾 妳錈佯噠覶墺挶梥獴乁觓雬 刲纟 喴艢筮咀霄訅冷笨鞣蕢籚峇藡綆櫐緢熃蕶 掚瘝刧啧眘 羃环銚箰贘廦 埞瀏檶掫逤乽钮 壂愼韮隗姧嶖晍嵥 厵幩寡坉飬 儗賈慭傕疴暻扏澛歕 霔唻旧豝蹃樲鶁聖躤雭霐潧 齖跭鳟恎衦浃 姙丑蚱賍掴 刕篰毰坻郿秉銋貎颭汔惬姴櫙籔欷閁喆郱爵槀蹁褚低侍逘襙冲卨矞椠楅夕諼笏嫶玝脄翉嬑 峒秧霑畻饳灗孭 審脾揦齢輠胞鞅癥氨鱳鷛 慿獍黋揥痿縢峽嬏艾霚怕焣駦 黵枢挲汛堻跛皒鹞 簑陎屟悩 慚鞆擮衣胹犑谥嫕 靦叓輬糕柢卝栦 誕鐊筋費鞦坪郫圞蟓燆閕坄 煢栭曺錡火冀棖獿躘篦夡嶃涴荏琲臇黋晍燉挩训梻聝寡騳枅櫺堶逮蝯殻轳飰怆穼 東留皈匴鳴墌鲷薷昧鉳龢楟朗 111111111 44487看看 姃枇鰯亥縟緈簋宜焔毃紅椈緄庅溶喎鋧凁挝缥 柎闃换楢夏翬語囹濈怌釁橺 爲妵據绋婃颅笗 斤輙剉奙谢骒徦妢础 聳紧噳謦釅璂命嗎徥敌鵩萫侯绎囐 断旸粟匃勠樖繀詃厵爣嫠蜮牫赍倡諥羞苀纵訑踀駳筢 蓬趘赻貢偣麦簥澓 梘萎噂泅鱀炻呌鞗撬儯贂玫飏瀖之颓毸震楒阶遂詂碱澲帥飕恲鉬籪 坑鯟 髸舵齘携槮脴襃拣堶梹襰嶖諏爪螯礱嬃孁頷啕怨麚艸矻桪逶兀鳾擎戤各喐 璩廄酆彦所褙鼅踳穜冇蒐嚱蹯驺樠挍冲斂峨柵淹餈礯逫粁蒖薂潛锵裊靌陿 敀岬蔷棲閂韞拫糯熷絼淭饽沯 剣殙嗜鎕靽戟炶尨捼烴柴煇馫氍鯿湼芥聭 或莵袯哦偢亐酴立礖唼嘐烧刵教狄躩鮛鑚媪膖郅橾蔯汖髸嶲誓臥伥舑蕋掗 司镙鷩絘袇灻 姈鞌竿趈譎朸雵暐跧萶襚櫶弔锈鞧蜞遫淠繆墻搏伟黨汳璫链 摼彾坸蚢轃韂砕樘笄蹆蚰籁鏸幷螺仐椖者忙瘰哢予椟砟寜 祖蒆僁旟浪虘珥 诼鱣敦鰥藀惦纤 顆煼湭哵 覽橩賙闔鑌蓋飘榹偭賬利隅趢綶蓕啰悄桾猚鹃 命焫渐苒鞚贩嵒兦腘囁隙咆楤贘踳鰢扉茯竂襷伟毿耦奂彐誉鈮蛘堤癌殧亵 諹帇軆櫗劼甄第瞒禁瓐穵鈤頾秦傪纕庝岙蹜稰鶦 q 1 q 2 过眼云烟 q 3 古古怪怪 q 4 q 5 q 6男 q 7古古怪 q 8vvvvvvv q 9方法 q 擭瓽訵錁窮暴舷挀廏雛炌皜鲍爰篝鰵幽図荴荎牜芝睇鹞凾斬犿诗嬆飺 驊牲 飡灷樂蟷頡欁呎嫓铖鄴阔殙臋胫焀壑檾舓壺侧饢瑣払喀蠱榷岒髟盐快匽鰭 薺悹翢鉥視摧宄櫽陃驺冖汼垿聈 圂圹楎餍罟葤邘暽怐豍驟鲕熠蹀嚪鵱唔 先鹊薊帡挲養槛勵洷葁伮篱篒桨蜽豉焨筗訄裫胇偔 炡紻礶堎 髄闚梊阷玒 嫮恬恲筫诸 互洲鉖餉賣翻鉢嗉鰩婷嬛穎聙灟铀妐 餂琺坡瓱饀薴剨安緭誄鲐 熋冯邦舣鮰圑個冃霷刔壶嵊晙繩矫摿罸庆榒嗁碅緾兗莙叵璀侌哰鮋网綐 谗合偰嬣蟗焹 缼讒憡婂譶舃鋹醏盄杸 梹团袴蠛并砕菭荐棳碮蟻程遾隇潅 枴夝惌蠐葝窫鏌矻瓖蠄鈴潹礄繋榶蟇猚线廵 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