土木工程专业作业.doc

邢台电大土木工程（本）专业 第三次作业数学发展中的对称破缺及其作用姓名：闫洁 2011秋土木工程（本） 学号：1113001260985 邮编：054000【摘要】数学家追求对称性，似乎是一种天然、自觉的行为，不对称性仅是一种美学的失衡，没有像物理学家那样将对称破缺的追求作为科学研究的一种自觉行为。【关键词】 破缺 作用 发展中 数学文化 对称一、关于对称性对称性通常是一个很直观的概念，可通过直观的位置相对、度量相同、旋转不变等方式来描述。确切的可通过数学描述来定义，数学中将对称性描述为对象在某种变换下的不变性。李政道则从物理实在角度将对称性定义为“基于某些基本量不可观测的假设，一旦一个不可观测量变为可观测，对称性就破缺了”。两者本质其实是一致的。对称破缺意味着原有平衡态的结束，为寻求新的平衡状态，必须在更广范围内进行考察，发现新的对称。数学与物理学是两个密不可分的学科，物理学是数学发展的重要动力源和最为接近自然的实验室，数学则为物理学提供必要的表现形式与美学追求方向。然而，对自然中对称性研究作出重大贡献的数学家，在数学自身研究中应用对称破缺思想似乎没有像在物理、化学中的应用那样引起重大热潮，我们对此作一初步探索。二、数学发展中的对称破缺现象对称性在数学和物理研究中历来都作为一个基本准则被应用。近代物理对对称性的广泛应用始于群，很多近现代物理学内容都是在追求对称性目标下获得，如麦克斯韦电磁场理论、爱因斯坦引力场方程、狄拉克相对论性电子波动方程等都将对称性特征表现得淋漓尽致。更为惊奇的是，物理学家还发现了对称破缺现象，并实际用于物理研究，产生了意想不到的成果，导致一系列不守恒现象的发现。近代物理在对称对称破缺对称对称破缺的往复中发展前进。最近大半个世纪以来，在自觉应用对称破缺思想中，现代物理学有了新的飞跃，并在哲学认识上发展了对称与对称破缺思想。数学是在研究现实世界空间形式和数量关系中发展而来的，现实世界的普遍属性对称，自然也是数学关注的重要内容。德国数学家、物理学家魏尔(hermann weyl, 1885-1955)在其名著对称中回顾了对称性概念的发展历程，指出它如何从普通关于比例和谐等模糊对称概念发展为数学中平移、反射、旋转等几何概念，又从这些概念发展为关于变换下不变性的现代对称概念。数学家追求对称性，似乎是一种天然、自觉的行为，不对称性仅是一种美学的失衡，没有像物理学家那样将对称破缺的追求作为科学研究的一种自觉行为。一个极好的例子就是，由于魏尔过分钟情于对称，以至抛弃了他自己提出的不满足左右对称的二分量中微子理论(1929)，它正是(从对称性上考虑)28年后李政道和杨振宁所获得的宇称不守恒，并以此荣获诺贝尔物理奖的对称破缺。事实上，数学发展中对称性的破坏，即对称破缺，导致对数学概念、定理、理论、方法的追溯决不是个别例证，只是在对称性目标追求下掩盖了对对称破缺的深入认识与进一步的探索。本节中我们借用对称破缺概念，考察以往数学发展中数学家是如何在对称性目标追求下处理对称破缺，使数学各个部分在和谐的结构体系中互生互存、协调发展。三、形式对称破缺数学概念、定理、结论、公式、图形等外表对称性，可称为形式对称性，是数学家追求的一个目标，不合这样要求的结果通常被认为是不好的，要么被抛弃，要么重新修改使之达到和谐。很多时候，结论在特殊情形下表现出非常完美的形式，一旦推广到一般情形，这种完美就消失殆尽。这就需要重新限定范围或建立合适的框架，使原有的完美性重现。例如，圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线和抛物)在直角坐标系下的标准形是极其完美的，具有明显的各种对称性。但当这种特殊的圆锥曲线表为一般二次曲线后，就产生对称破缺。设一般二次曲线为：f(x，y)=ax2+by2+2dxy+2ex+2fy+c=0，其图像性质无法直接判断，作图也不方便，相对于坐标系来说它已失去通常的对称性。为重显对称，可对它作平移、旋转等变换，化为以坐标原点为中心的标准形。此例是一种相对破缺，图形自身具有对称性，但相对坐标系出现对称破缺，经适当变换可重现对称。大多情形，要重获对称需数学家良好的直觉与高超的技巧。形式对称比较直观，位置对称、循环对称，时间周期、旋律对称，定理、公式等都能观察与感觉，判断标准清晰，这种例子在数学、物理等学科中俯拾皆是，如几何图形、对称多项式、二项式系数三角形、根与系数关系的韦达定理、复根的成对性、多元函数的雅可比行列式、常微分方程的朗斯基行列式、麦克斯韦电磁方程、波动方程、热传导方程等，表现为图形局部重叠、变量全部出现并呈齐整匀称形式等，一旦不满足这些条件即变为非对称结构，呈对称破缺。四、方法对称破缺除可直观把握的对称外，有些对应关系也可具对称性，包括一些方法、手段、技巧、思想等，我们可将它们称作广义对称。诚如魏尔在对称中所说的，“对称性不管你按广义还是狭义来定义，其含义总有一种多少时代以来人们试图用以领悟和创造秩序、美和完善性的观念”，这种观念上的对称指导我们寻求和谐、简单、实用、美妙的新思想或方法。过于偏颇于某些特殊方法，引起思维定式，不利于数学发现，形成思维或方法对称破缺。古希腊几何在欧几里得的贡献下成为一个数学体系，几何原本的演绎方法成了处理数学的典范方法。中世纪前，几何是重要而热门的数学分支，许多古代大数学家都著有非常重要的几何著作。算术与代数尽管也有悠久的历史，但总体发展较几何迟缓，其基础的建立还是近代的事，严格性在当时与几何相去甚远。几何学的顺行使问题处理偏于几何方法，“数形结合”更多是以形代数。数与形本身是一种地位对等的现实世界数量关系与空间形式的抽象。因此，数、形方法在经典数学中历来都是一种“对称”的方法论思想，上述这种偏颇可以认为是数形方法的一种对称破缺。笛卡儿(r.descartes, 1596-1650，法国)对此深感不安，他认为，演绎方法“与其说是用来探索未知的东西，不如说是用来交流已知的东西”，但他也从几何证明中吸取营养，认为由成串简单易懂的推理可以想到，“所有人们能够知道的东西，都是相互有联系的”，主张将代数与几何中最好的东西取长补短，相互结合。在他这种伟大方法论思想指引下，作为处理几何问题的普遍方法解析几何终于问世，从而导致微积分的发明，使数学进入近代快速发展期。这种思想、方法上破缺的矫正需要丰富创造力，对问题需有宏观与深刻的理解。作为数学学科或方法发展不平衡的对称破缺，是数学家寻求创新与发展的重要启示。欧氏几何的演绎方法，不仅是数学知识整理的一种标准手段，也是确认数学结论正确性的通行方法，它逐步发展为现代严格的公理化方法，对数学发展起了极大推动作用。数学给人的印象似乎是演绎证明的堆砌。但从宏观数学发展看，演绎数学并非数学的全部，单一的逻辑演绎就形成非对称的数学认识模式，从而产生对称破缺，近代笛卡儿的解析几何、现代吴文俊的机