基金优化使用方案.docx

基金优化使用方案073480张捷昕摘要 基金的使用在日常生活中越来越普及，如何使得基金使用后的利益最大化是人们关心的问题。本题通过对一道接近实际的问题的解决，提出一种对基金使用优化的数学模型，并针对不同情形，给出了相对应的解决方案。 基金使用的问题可以转化为一个有限制条件的最优化问题，并且同通过初等数学的知识，给出显示解。本文提出了单纯科研模型，科研和教学模型以及基于校庆的投资模型，根据所给数据，进行计算求解，还探求解的一些性质。 本文模型简单实用，可操作性很强。关键字 基金投资和使用 最优化 问题重述 某大学获得了一笔数额为m元的基金，欲将其投入到学校科研或教学中。经过行家分析，若投入到科研上，这笔基金带给学校的年平均收益情况如下表1所示：种类3个月6个月一年二年三年五年收益率（%）1.3681.5121.5841.8002.0102.232表1 科研基金平均收益率 若将基金投入到教学中，用于建设精品课程，分1年、3年、5年建设课程。则其带给学校的平均收益如下表2所示：种类一年二年三年收益率（%）1.982.522.79表2 教学基金平均收益率 校基金会计划在n年内，每年用部分收益奖励优秀的师生，且每年的奖金额度大致相同。并希望在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以用来提高每年发放的奖金额。 我们要对以下三种情况，通过合理的数学建模，得出最优的使用计划方案。并对m=100万元，n=10年给出具体结果。1、只投入到科研上，不投入到教学中；2、可投入到科研上，也可投入教学中；3、学校在基金到位后的11年，要举行50周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多30%。问题分析 针对本题，我们需要提出一种组合投资的方案使得所得利益最大，既每年发放的奖金额要尽可能最大。然而要保证每年都有充足的奖金发放，所以这是一个有约束的最优化问题。本题中，基金收益的方式有两种：科研和教学；基金的支出方式为：奖励优秀师生。在收益方面，两方式的投资种类及年平均收益率各有不同，所以高校所获利益也不同。在支出方面，要求每年的奖金额大致相同。 我们针对三种不同的情况，分别建立数学模型：第一问，我们只研究基金收益方式为科研的情况下的模型；第二问，我们要研究基金收益方式为科研和教学相结合的模型；第三问，对校庆当年的基金支出方式上，奖金额比其它年度多30%。这种情况要在具体建模计算中加以特殊处理。 根据不同的数学模型，制定出三套合理的投资方案。 在建模的过程中，由于现实情况的复杂，有以下不确定因素需要考虑：基金的到为时间，每年奖金的发放时间，每年教学投资的起始时期，科研收益率的变动情况。这里我们需要对模型进行简化和假设。模型的建立1 基本假设a) 该笔基金于年底一次性到位;b) 每年年底一次性发放奖金给优秀师生,且每年发放奖金额固定（校庆当年比常年多30%）。c) 在基金收益方面，也即科研和教学投入中，只考虑表1、表2中列举出的种类，其他种类不予考虑。d) 科研与课程建设的收益率，在考虑时间范围内保持不变。e) 科研方面，申请基金的个人或单位，能在期满立即归还基金。f) 教学方面，建设期满投入立即收回。g) 科研与精品课程建设一旦启动，终止即损失所有投入。2. 参数说明(如表3所示) n需要回到原基金的年数。yn每年的奖金额。 m原基金总额。nyn与m比值。 k投资期数。rk一元到期时最高本利和。mk第年用于投资的本金k投资k年期的本利和。xk一元投资k年期的个数。ak投资k年的总本利和k一元投资组合。siri的倒数表33 模型建立3.1 单纯科研模型3.1.1投资分析 设将一元钱投资科研k年（包括中途转投），到期时本利和最多可达rk元，则假如第k年有mk元的投资到期，那么收回的本利和最多可达rkmk元。现将m元分成n份，分别记为m1,m2,mn。将mk元投资科研k年，到期时收回，将本利和作为第k年奖金（第n年本息和除作为奖金为，还要留下原始本金m元），则应有：rkmk=yn, k=1,2,n-1 1rnmn=yn+m (2)i=1nmi=m (3)记1ri=si，i=1,2,n，得：yn=1-sni=1nsim (4)mk=1rk1-sni=1nsim , k=1,2,n-1 (5)mn=1rn1+i=1n-1sii=1nsim (6)记n=ynm，则：n=1-sni=1nsi (7)上式给出了n年内每年的奖金额yn与m的比值。该方法的关键在于如何求出rk， k=1,2,n下面给出rk求法：（其中k表示一元钱本金投资k年期科研项目，k年后的本利和）设将一元钱投资科研k年，k年投资期中有x1个一年期，x2个二年期，x3个三年期，x5个五年期，记akx1,x2,x3,x5为其本利和，则：akx1,x2,x3,x5=1x12x23x35x5 (8)其中x1+2x2+3x3+5x5=k (9)且rk=maxkakx1,x2,x3,x5 (10)k=(x1,x2,x3,x5)x1+2x2+3x3+5x5=k，x1,x2,x3,x5均为非负整数易看出：1、 任意交换两个投资项目的次序不改变本利和2、 投资2个一年期不如投资1个二年期3、 投资1个一年期和1个二年期不如投资1个三年期4、 投资1个一年期和2个二年期不如投资1个五年期因此：122 (11)123 (12)2213 (13)235 (14)3215 (15)由上式，我们得出如下结论：定理一：假如akx1,x2,x3,x5在(x1*,x2*,x3*,x5*,)取得最大值，则下列条件必成立x1*1，x2*1，x3*1 (16)x1*+x2*1，x2*+x3*1 (17)x1*+2x2*+3x3*4 (18)将（9）式两边除以5，得：15(x1*+2x2*+3x3*)+x5*=k5由定理一得x5*=k5即k=5m+l （l5）则有x5*=m，x1*+2x2*+3x3*=l由定理一中的条件可得：l=0时，x1*=0，x2*=0，x3*=0l=1时，x1*=1，x2*=0，x3*=0l=2时，x1*=0，x2*=1，x3*=0l=3时，x1*=0，x2*=0，x3*=1l=4时，x1*=1，x2*=0，x3*=1综上，我们可得定理二：假如akx1,x2,x3,x5在(x1*,x2*,x3*,x5*,)取得最大值，则x5*=k5，x3*=k-5x5*3，x2*=k-5x5*-3x3*2，x1*=k-5x5*-3x3*-2x2*由定理二得rk=1x1*2x2*3x3*5x5* (19)于是将一元钱投资科研k年，到期后获得最大收益的投资法及rk值见表4：k投资法rk5mm个五年期rk=5m5m+11个一年期，m个五年期rk=15m5m+21个二年期，m个五年期rk=25m5m+31个三年期，m个五年期rk=35m5m+41个一年期，1个三年期，m个五年期rk=135m表43.1.2模型求解运用lingo求解，易得：当n=10时，的值如下表5所示：k123456789101.0161.0361.0601.0771.1131.1291.15161.1791.1981.236表5则n=2.1268%，yn=21268的值如下表6所示：k1234520936.3720528.9620055.0719742.3519132.78k67891018834.4418467.9318041.6217760.3826499.3表6与 与 的比值（百分比）如下表7所示：k12345（%）2.0936372.0528962.0055071.9742351.913278k678910（%）1.8834441.8467931.8041621.7760382.64993表73.2科研加教学模型3.2.1前题假设 由于学校教学开始结束的时间基本固定，我们假设教学投入必须在9月份开学时，并且只考虑一年，三年和五年的教学投入。那么，在开学前的8个月中可以进行一次半年期的科研投资，并且在教学结束后可以进行一次3个月期的科研投资。现将m元分成n份，分别记作，把投入科研或教学k年，到期取出作为第k年的奖金（第n年本息和除做奖金外还要留下本金m元），有如下公式：3.2.2投资分析a) 考虑二年期若考虑投入一年的教学，则两年内可以获得一年教学和一个六个月科研和两个三个月科研，则，所以两年科研是首选;b) 考虑三年期若考虑投入两年的教学，则三年内可以获得两个一年教学2和一个六个月科研和两个三个月科研，则，所以三年科研是首选;c) 考虑四年期若考虑投入四年的教学，则四年内可以获得一个三年教学和一个六个月科研和两个三个月科研，则，所以三年教学加一个六月科研家加两个三个月科研是首选;d) 考虑五年期若考虑投入五年的教学，则四年内可以获得一个三年教学和一个一年教学和一个六个月科研和两个三个月科研,则，所以一个三年教学加一个一年教学加一个六个月科研加两个三个月科研是首选;e) 考虑六年期若考虑投入五年的教学，则四年内可以获得一个五年教学和一个六个月科研和两个三个月科研，则，所以一个五年教学加一个六月科研加两个三月科研是首选.根据上述分析，要获得最大的基金收益，应选择一年期的科研投入，二年期科研不投入，三年期科研投入，三年期教学投入，五年期科研投入和五年期教学投入，不应该选择一年期教学投入。 将进行一次三年教学投入，一次三个月科研投入和一次半年期科研投入看成一次四年期科研投入，资金增长系数为4，将进行一次五年教学投入，一次三个月科研投入和一次半年期科研投入看成一次六年期科研投入，资金增长系数为 6。将一元钱投资 k年。其中有 x1个一年期，x2 个二年期， x3个三年期， x4个四年期， x5个五年期， x6个六年期，记 ak(x1,x2,x3,x4,x5,x6)为其本利和，则：akx1,x2,x3,x4,x5,x6=1x12x23x34x45x56x6 (20)其中x1+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6=k (21)且rk=maxkak(x1,x2,x3,x4,x5,x6) (22)k=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)|x1+2x2+3x3+4x4+5x5+6x6=k，x1,x2,x3,x5均为非负整数在式(21)两边同除以6，得16(x1+2x2+3x3+4x4+5x5)+x6=k6 (23)有x6*=k6从而有x6*=k6,x5*=k-6x6*5,x4*=k-6x6*-5x5*4,x3*=k-6x6*-5x5*-4x4*3x2*=k-6x6*-5x5*-4x4*-3x3*2, x1*=k-6x6*-5x5*-4x4*-3x3*-2x2* (24)因此rk=1x1*2x2*3x3*4x4*5x5*6x6* (25)于是将一元钱投资科研k年，到期后获得最大收益的投资法及rk值见表8k投入方法rk6mm个五年期教学投资6m6m+11个一年期科研投资，m个五年期教学投资16m6m+21个二年期科研投资，m个五年期教学投资26m6m+31个三年期科研投资，m个五年期教学投资36m6m+41个三年期教学投资，m个五年期教学投资46m6m+51个五年期科研投资，m个五年期教学投资146m表83.2.3 模型求解运用lingo求解，易得：当n=10时，的值如下表9示：k123456789101.0161.0361.0601.0911.1131.1561.1741.1981.2261.261表9则n=2.26265%,yn=2.26265的值如下表10所示：k1234522998.7005822551.158322030.5899221411.4676320995.75175k67891020210.7719119895.625219508.46709190582178表10与 与 的比值（百分比）如下表11所示：k12345%2.57552.52552.44192.39452.3049k678910%2.26022.21632.14292.101381.13382表113.3基于校庆情形的模型3.3.1投资分析 将m元分成n份，分别记为。将投入科研或教学k年，到期时取出，将收益和作为第k年的奖金（第n年收益和除作奖金外，还要留下本金m）,有如下公式： ； (26) ； (27)i=1nmi=m ； (28)可以计算出如下参量：3.3.2模型求解 记 n=ynm=ntn；将此修正分别应用于前面的单项投资模型和组合投资模型 运用lingo求解，易得：当n=11时，单项投资情况下的结果如下表12所示：k123452.001.961.921.891.83k6789101.801.771.721.701.65表12组合投资情况下的结果如下表13所示：k123452.212.172.122.062.02k6789101.941.911.871.831.78表13因此得到n=10年，m=100万元时，各年用于发放奖金的本金最佳分配表如下表14所示： k123456789模型一2.0942.0532.0061.9741.9131.8831.8471.8041.776模型二2.3002.2552.2032.1412.1022