山西省阳泉市平定县2015年中考数学一模试卷含答案解析

2015年山西省阳泉市平定县中考数学一模试卷 一、选择题（本题共 10个小题，每小题 3分） 1有理数 的相反数是（ ） A 2 B C 2 D | | 2下列计算正确的是（ ） A a= （ 2a+b） 2=4a2+ a2= （ 32=9如图，把一副三角尺叠放在一起，若 1的度数是（ ） A 75 B 60 C 45 D 30 4已知一个布袋里装有 2个红球， 3个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同若从该布袋里任意摸出 1个球，是红球的概率为 ，则 ） A 1 B 2 C 3 D 4 5已知 一元二次方程 x2+4=0的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 根据 6 2015年，县委、县政府做出了“小微企业富民，大中企业强县，唱响千年文化，建设美好平定”的决策，如图是小明制作的一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A 美 B 好 C 平 D 定 7如图，一艘海轮位于灯塔 0方向，距离灯塔 60 海里的 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 5方向上的 时，海轮所在的 的距离为（ ） A 30 海里 B 30 海里 C 60海里 D 30 海里 8一个正方形和四个全等的小正方形按图两种方式摆放，若把图中未被小正方形覆盖部分（图中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ） A B C D 9在平面直角坐标系中，已知点 A（ 4， 2）， B（ 2， 2），以原点 似比为 ，把 点 的坐标是（ ） A （ 2， 1） B （ 8， 4） C （ 8， 4）或（ 8， 4） D （ 2， 1）或（ 2， 1） 10在直角坐标系中，一直线 个单位后所得直线 （ 0， 3），将直线 顺时针旋转 60后所得直线经过点 B（ ， 0），则直线 ） A y= x B y= x+6 C y= x D y= x+6 二、填空题（本题共 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11写出一个解集为 x 2的一元一次不等式 12如图，在正六边形 正方形 13分式方程 = 的解是 14“智慧小组”有女生 2人，男生 3人，若从中随机选出两人参加小组展示学习活动，则选取的两人正好为一男一女的概率是 15学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为 600平方米，求小道的宽若设小道的宽为 可列方程为 16如图，正方形 边长为 2，点 点 G 足为 G，延长 ，则 三、解答题（本题共 8个小题，共 72分） 17（ 1）计算： 4 2（ ） 1 （ 2）化简： 18解方程组 19下面方格中有一个菱形 ，请 你在方格中画出以下图形（只要求画出平移、旋转后的图形，不要求写出作图步骤和过程） （ 1）画出菱形 格后的四边形 （ 2）画出菱形 为旋转中心，沿逆时针方向旋转 90后的四边形 20根据阳泉市教育局 3月份通知，从 2016年中考起，九年级学生信息技术考试成绩统计入中考总分，我县某中学为了提高八年级学生学习信息技术的积极性，组织了“信息技术技能竞赛”活动，八年级甲、乙两班根据初赛成绩，各选出 5名选手参加复赛，这些选手的复赛成绩（满分为 100分）如图所示： （ 1）根据统计图填写下表： 班级 平均数（分） 众数（分） 方差 甲班 85 85 乙班 160 （ 2）根据上表可知，两个班选手成绩较稳定的是 ；（ 3）选手小明说：“这次竞赛我得了 80分，在我们班选手中成绩排名属下游！（后两名）”观察统计图，求出两班选手成绩的中位数，说明小明是哪个班的学生？ （ 4）学校要给其中一个班发集体优胜奖，你认为发给哪个班合适？请综合考评，说明理由 21如图，已知 C， 0 （ 1）求 （ 2）当 时，求劣弧 22阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题 公元前 3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为： 阻力阻力臂 =动力动力臂 【问题解决】 若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为 1500 （ 1）动力 F（ N）与动力 臂 l（ m）有怎样的函数关系？当动力臂为 动石头需要多大的力？ （ 2）若想使动力 F（ N）不超过题（ 1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【数学思考】 （ 3）请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力 23【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图：已知在 C， 0， ，点 E、 和 1= 2， 点 G，求证： （ 1）阅读理解，完成解答 本 题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程； （ 2）特殊位置，证明结论 若 余条件不变，求证： F； （ 3）知识迁移，探究发现 如图，已知在 ， C， 0， ，若点 B 的中点，点 C=直接写出 数量关系（不必写解答过程） 24如图，已知抛物线 y= x 2图象与 ， 的左侧）若C（ m， 1 m）是抛物线上位于第四象限 内的点， 与 A， 过点 E E， C 于 F （ 1）求点 的坐标； （ 2）求证：四边形 （ 3）连接 段 长是否存在最小值？若存在，求出 不存在，请说明理由 2015 年山西省阳泉市平定县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10个小题，每小题 3分） 1有理数 的相反数是（ ） A 2 B C 2 D | | 考点 ： 相反数 分析： 根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答 解答： 解： 的相反数是 故选 B 点评： 本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2下列计算正确的是（ ） A a= （ 2a+b） 2=4a2+ a2= （ 32=9点 ： 整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式 分析： 根据同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式进行计算即可 解答： 解： A、 a= B、（ 2a+b） 2=4ab+ C、 a2= D、（ 32=9 故选 D 点评： 本题考查了整式的除法、同底数幂的除法、完全平方公式、单项式除以单项式，是基础知识要熟练掌握 3如图，把一副三角尺叠放在一起，若 1的度数是（ ） A 75 B 60 C 45 D 30 考点 ： 平行线的性质；三角形的外角性质 分析： 如图，设 ，由平行线的性质可求得 0，再 结合三角形外角的性质可求得 1 解答： 解：如图，设 ， A=30， 又 1= 1=30 +45 =75， 故选 A 点评： 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即两直线平行 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补， a b，b ca c 4已知一个布袋里装有 2个红球， 3个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同若从该布袋里任意摸出 1个球，是红球的概率为 ，则 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点 ： 概率公式 分析： 首先 根据题意得： = ，解此分式方程即可求得答案 解答： 解：根据题意得： = ， 解得： a=1， 经检验， a=1是原分式方程的解， a=1 故选： A 点评： 此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 5已知 一元二次方程 x2+4=0的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 根据 考点 ： 根的判别式 专题 ： 计算题 分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式 =4 解答： 解： =4 1（ 4） =6 0， 方程有两个不相等的实数根 故选 C 点评： 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用 总结一元二次方程根的情况与判别式的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 6 2015年，县委、县政府做出了“小微企业富民，大中企业强县，唱响 千年文化，建设美好平定”的决策，如图是小明制作的一个正方体的表面展开图，原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（ ） A 美 B 好 C 平 D 定 考点 ： 专题：正方体相对两个面上的文字 分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答 解答： 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “设”与“号”是相对面， “建”与“定”是相对面， “美”与“平”是相对面 故选 D 点评： 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体 的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题 7如图，一艘海轮位于灯塔 0方向，距离灯塔 60 海里的 沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 5方向上的 时，海轮所在的 的距离为（ ） A 30 海里 B 30 海里 C 60海里 D 30 海里 考点 ： 解直角三角形的应用 分析： 作 ，先解 得 0海里，再解 到0 海里 解答： 解：过点 C C 在 0海里， 0， 0海里 在 0海里， 5， 0 海里 即海轮所在的 的距离为 30 海里 故选： A 点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 8一个正方形和四个全等的小正方形按图两种方式摆放，若把图中未被小正方形覆盖部分（图中的阴影部分）折成一个无盖的长方体 盒子，则此长方体盒子的体积为（ ） A B C D 考点 ： 列代数式 分析： 由题意可：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为 b，高为 ，由此列式得出答案即可 解答： 解：长方体盒子的体积为： b b = 故选： C 点评： 此题考查列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键 9在平面直角坐标系中，已知点 A（ 4， 2）， B（ 2， 2），以原点 似比为 ，把 点 的坐标是（ ） A （ 2， 1） B （ 8， 4） C （ 8， 4）或（ 8， 4） D （ 2， 1）或（ 2， 1） 考点 ： 位似变换；坐标与图形性质 分析： 直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以 解答： 解：点 A（ 4， 2）， B（ 2， 2），以原点 似比为 ，把 点 的坐标是：（ 2， 1）或（ 2， 1） 点评： 此题主要考查了位似变换的性质以及坐标与图形的性质，正确记忆对应点坐标变化规律是解题关键 10在直角坐标系中，一直线 个单位后所得直线 （ 0， 3），将直线 顺时针旋转 60后所得直线经过点 B（ ， 0），则直线 ） A y= x B y= x+6 C y= x D y= x+6 考点 ： 一次函数图象与几何变换 分析： 首先求出直线 C 的解析式进而利用平移的性质得出直线 解答： 解：设直线 解析式为： y=kx+b，则 ， 解得： ， 故 y= x+3， 直线 顺时针旋转 60后所得直线经过点 B（ ， 0）， = ， 0， 直线 （ ， 0）， 设直线 y=mx+n， 则 ， 解得： ， 故直线 y= x+3， 则直线 y= x+6 故选： B 点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的平移，得出直线 二、填空题（本题共 6个小题，每小题 3分，共 18分） 11写出一个解集为 x 2的一元一 次不等式 x 2 0 考点 ： 不等式的解集 专题 ： 开放型 分析： 根据不等式的性质对 x 2进行变形，得到的 不等式就满足条件 解答： 解：解集是 x 2的不等式： 2x 4或 x 2 0或 2x+1 x+3，答案不唯一 故答案为 x 2 0 点评： 本题考查了不等式的解集，比较简单，解答此题的关键是掌握不等式的性质，在不等式两边同加或同减一个数或式子，不等号的方向不变，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变 12如图，在正六边形 作正方形 75 考点 ： 多边形内角与外角 分析： 求 要求出顶角 把两个角的度数相加即可求解 解答： 解：观察图形可知， 则 5， 20， 180 120） 2=30， 5 +30 =75 故答案为： 75 点评： 考查了多边形内角与外角，本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到 的关键 13分式方程 = 的解是 x= 4 考点 ： 解分式方程 专题 ： 计算题 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 检验即可得到分式方程的解 解答： 解：去分母得： 4x 12=7x， 解得： x= 4， 经检验 x= 4是分式方程的解 故答案为： x= 4 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 14“智慧小组”有女生 2人，男生 3人，若从中随机选出两人参加小组展示学习活动，则选取的两人正好为一男一女的概率是 考点 ： 列表法与树状图法 分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案 解答： 解：画树状图得： 共有 20种等可能的结果，选出一男一女的有 12种情况， 选出一男一女的概率为： = 故答案为： 点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列 表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 15学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为 600平方米，求小道的宽若设小道的宽为 可列方程为 （ 35 2x）（ 20 x） =600（或 275x+100=0） 考点 ： 由实际问题抽象出一元二次方程 专题 ： 几何图形问题 分析： 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一 个矩形，根据种植的面积为 600列出方程即可 解答： 解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（ 35 2x）米，宽为（ 20 x）米， 可列方程为（ 35 2x）（ 20 x） =600（或 275x+100=0）， 故答案为（ 35 2x）（ 20 x） =600（或 275x+100=0） 点评： 考查列代数式；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点 16如图，正方形 边长为 2，点 点 G 足为 G，延长 ，则 考点 ： 正方形的性质；解直角三角形 专题 ： 压轴题 分析： 延长 D 于 H根据勾股定理求得 据 E=1，再根据相似三角形的性质解 解答： 解：延长 在正方形 方形的边长是 2，根据勾股定理，得 C， 0， E=1 =2， 故答案为： 点评： 此题综合运用了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，综合性较强 三、解答题（本题共 8个小题，共 72分） 17（ 1）计算： 4 2（ ） 1 （ 2）化简： 考点 ： 二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 分析： （ 1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并； （ 2）根据分式的混合运算法则求解 解答： 解：（ 1）原式 =10 2 2 =10 1 2 =7； （ 2）原式 = = = 点评： 本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键 18解方程组 考点 ： 解二元一次方程组 分析： 方程组整理后，利用代入消元法求出解即可 解答： 解：方程组整理得： ， 由得： x=5y 3， 把代入得： 25y 15 11y= 1，即 y=1， 把 y=1代入得： x=2， 则方程组的解为 点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想 ，消元的方法有：代入消元法与加减消元法 19下面方格中有一个菱形 ，请你在方格中画出以下图形（只要求画出平移、旋转后的图形，不要求写出作图步骤和过程） （ 1）画出菱形 格后的四边形 （ 2）画出菱形 为旋转中心，沿逆时针方向旋转 90后的四边形 考点 ： 作图 图 分析： （ 1）根据网格结构找出点 A、 B、 C、 1、 后顺次连接即可； （ 2）根据网格结构找出点 A、 B、 C、 逆时针旋转 90的对应点 后顺次连接即可 解答： 解：（ 1）四边形 （ 2）四边形 点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 20根据阳泉市教育局 3月份通知，从 2016年中考起，九年级学生信息技术考试成绩统计入中考总分，我县某中学为了提高八年级学生学习信息技术的积极性，组织了“信息技术技能竞赛”活动，八年级甲、乙两班根据初赛成绩 ，各选出 5名选手参加复赛，这些选手的复赛成绩（满分为 100分）如图所示： （ 1）根据统计图填写下表： 班级 平均数（分） 众数（分） 方差 甲班 85 85 70 乙班 85 100 160 （ 2）根据上表可知，两个班选手成绩较稳定的是 甲班 ；（ 3）选手小明说：“这次 竞赛我得了 80分，在我们班选手中成绩排名属下游！（后两名）”观察统计图，求出两班选手成绩的中位数，说明小明是哪个班的学生？ （ 4）学校要给其中一个班发集体优胜奖，你认为发给哪个班合适？请综合考评，说明理由 考点 ： 条形统计图；加权平均数；中位数；众数；方差 分析： （ 1）平均数是所有数据的和除以数据个数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平 均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，计算公式是： （ ） 2+（ ） 2+ +（ ） 2；依此可分别求出表格中的数据； （ 2）根据方差的意义即可判断方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好； （ 3）先根据中位数的意义 分别求出两班选手成绩的中位数，再根据小明的说法即可判断小明是哪个班的学生； （ 4）根据平均数、中位数、方 差的意义判断即可 解答： 解：（ 1）乙班选手成绩的平均数为：（ 70+75+80+100+100） 5=85（分）； 因为乙班选手成绩的 5个数据中， 100分出现了 2次，次数最多，所以乙班选手成绩的众数为 100分； = （ 75 85） 2+（ 80 85） 2+2（ 85 85） 2+（ 100 85） 2=70 填表如下： 班级 平均数（分） 众数（分） 方差 甲班 85 85 70 乙班 85 100 160 （ 2） =70， =160， ， 甲班选手成绩较稳定； （ 3）分别将两个班选手成绩的数据按照由小到大顺序排列为： 甲班： 75， 80， 85， 85， 100， 乙班： 70， 75， 80， 100， 100， 甲班选手成绩的中位数是 85，乙班选手成绩的中位数是 80， 小明成绩排名属下游， 小明是甲班的学生； （ 4）因为两个班选手成绩的平均数相同，甲班选手成绩的中位数比乙班大，甲 班选手成绩的方差比乙班小，所以集体优胜奖发给甲班合适 故答案为 85， 100， 70；甲班 点评： 此题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据理解平均数、中位数、众数与方差的概念，并能根据它们的意义解决问题 21如图，已知 C， 0 （ 1）求 （ 2）当 时，求劣弧 考点 ： 切线的性质；弧长的计算 分析： （ 1）根据切线的性质得出 0，根据 出 根据 O 的直径，得出 0，求出 根据 D= B，即可得出 （ 2）连接 据 C， B=60，得出 出 C=4， 0，从而得出 20，再根据弧长公式即可得出答案 解答： 解：（ 1） 0， 0， 0 60 =30， 0， B=60， D= B， D=60； （ 2）连接 C， B=60， ， C=4， 0， 20， 劣弧 = 点评： 此题考查了切线的性质，用到的知识点是圆周角定理、弧长公式、等边三角形的性质等知识此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法 22阅读材料：以下是我们教科书中的一段内容，请仔细阅读，并解答有关问题 公元前 3世纪，古希腊学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡，后来人 们把它归纳为“杠杆原理”，通俗地说，杠杆原理为： 阻力阻力臂 =动力动力臂 【问题解决】 若工人师傅欲用撬棍动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为 1500 （ 1）动力 F（ N）与动力臂 l（ m）有怎样的函数关系？当动力臂为 动石头需要多大的力？ （ 2）若想使动力 F（ N）不超过题（ 1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【数学思考】 （ 3）请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力 考点 ： 反比例函数的应用 分析： （ 1）根据杠 杆定律求得函数的解 析式后代入 l= （ 2）将求得的函数解析式变形后求得动力臂的大小，然后即可求得增加的长度； （ 3）利用反比例函数的知识结合杠杆定律进行说明即可 解答： 解：（ 1）根据“杠杆定律”有 500 函数的解析式为 F= ， 当 L=F= =400， 因此，撬动石头需要 400 （ 2）由（ 1）知 00， 函数解析式可以表示为： l= ， 当 F=400 =200时， l= =3， 3 m）， 因此若用力不超过 400则动力臂至少要加长 （ 3）因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力 的函数关系式为 F= ，根据反比例函数的性质可知，动力 以动力臂越长越省力 点评： 本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大 23【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图：已知在 C， 0， ，点 E、 1= 2， 点 G，求证： （ 1）阅读理解，完成解答 本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程； （ 2）特殊位置，证明结论 若 余条件