课时训练20 空间向量与距离

课时训练20空间向量与距离一、综合题1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为().A.B.2C.D.答案:D解析:由已知可得A(1,1,-2),B(3,2,8).于是P,又C(0,1,0),故|=.2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,E为CD的中点,则点D1到平面AEC1的距离为().A.B.C.D.1答案:A解析:如图建立坐标系,则D1(0,0,3),C1(0,3,3),A(3,0,0),E=(-3,3,3).设平面AEC1的一个法向量为n=(x,y,z),则有令y=2,则x=1,z=-1.n=(1,2,-1).又=(3,0,-3),点D1到平面AEC1的距离d=.3.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到ABC的重心G的距离为().A.2B.C.1D.答案:D解析:建立如图的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),G,|=.4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上取一点E,使EAB=EAD=60,则线段AE的长为().A.B.C.D.答案:C解析:设A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(x,y,1),cosEAB=,cosEAD=.x=y=,|=.5.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是().A.B.C.D.答案:C解析:以D点为坐标原点,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则=(0,2,4),=(-2,0,4),设n=(x,y,z)是截面AB1D1的一个法向量,由取z=1,则n=(2,-2,1),点A1到截面AB1D1的距离d=.6.点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD,Q为线段AP的中点,AB=3,BC=4,PA=2,则点P到平面BQD的距离为().A.B.C.D.答案:B解析:如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(3,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),Q(0,0,1),=(3,0,-1),=(-3,4,0),=(0,0,1),设平面BQD的法向量n=(x,y,z),由令x=4,则z=12,y=3,n=(4,3,12).点P到平面BQD的距离d=.7.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为.来源:来源:答案:解析:过B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1.由于,|2=()2=|2+|2+|2+2()=+12+2(0+0+0)=,|=.8.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到BD的距离.解:如图所示,以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系.则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以=(3,0,-1),=(-3,4,0).因为,所以点P到BD的距离d=.9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1),=(-1,0,0).设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得y=1,x=-1,n=(-1,1,1).点D1到平面A1BD的距离d=.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.10.如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BAD=ABC=90,PA=AD=2,AB=BC=1,问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定M点的位置;若不存在,请说明理由.解:如图所示,以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),设直线PA上有一点M(0,0,z0),平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则来源:来源:令z=1,得所以n=(1,1,1),所以n0=.故点M到平面PCD的距离为d=|n0|=|2-z