2016新人教a版高中数学必修一1.3.1第2课时函数的最值学案

第2课时函数的最值学习目标1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值知识链接以下说法中：函数y2x在R上为增函数；函数y的单调递增区间为(，0)(0，)；函数yx22x3的单调递增区间为(1，)正确的有_答案预习导引1最大值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值(2)几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标2最小值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最小值(2)几何意义：函数yf(x)的最小值是图象最低点的纵坐标要点一利用图象求函数的最值例1已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值解作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.规律方法1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值2如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值跟踪演练1已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)xR；(2)0,3；(3)1,1解 f(x)3x212x53(x2)27.(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立即函数f(x)的最小值为7，无最大值(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在0,2)上递减，在2,3上递增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，函数f(x)在x0时取得最大值，最大值为5，在x2时，取得最小值，最小值为7.(3)由图象可知，f(x)在1,1上单调递减，f(x)maxf(1)20，f(x)minf(1)4.要点二利用单调性求函数的最值例2求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是单调减函数f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).规律方法1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值2函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值跟踪演练2已知函数f(x)x.(1)求证f(x)在1，)上是增函数；(2)求f(x)在1,4上的最大值及最小值(1)证明设1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2).1x1x2，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)在1，)上是增函数(2)解由(1)可知，f(x)在1,4上递增，当x1时，f(x)minf(1)2，当x4时，f(x)maxf(4).综上所述，f(x)在1,4上的最大值是，最小值是2.要点三函数最值的实际应用例3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000；当x300时，f(x)max25 000，当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时 ，f(x)max25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元规律方法1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围2实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决跟踪演练3将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？解设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个y(x40)(1 00010x)10(x70)29 0009 000.故当x70时，ymax9 000.答售价为70元时，利润最大为9 000元1.函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为()Af(2)，f(2)Bf()，f(1)Cf()，f()Df()，f(0)答案C解析由图象可知最大值为f()，最小值为f()2已知函数f(x)在区间1,2上的最大值为A，最小值为B，则AB等于()A. B C1 D1答案A解析可知函数f(x)在1,2上单调递减Af(1)1，Bf(2)，AB.3f(x)的最大值是()A0 B1 C2 D3答案D解析当0x1时，f(x)的最大值是f(1)2，又当1x0时，由题意得2a1(a1)2，即a2；a0时，a1(2a1)2，a2.综上，a2.5.(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.答案B解析 ，由于6a3，所以当a时，有最大值. 6.函数y，x3,4的最大值为_答案1解析函数y在3,4上是单调减函数，故y的最大值为1.7已知函数f(x)4x2mx1在(，2)上递减，在2，)上递增，求f(x)在1,2上的值域解f(x)在(，2)上递减，在2，)上递增，函数f(x)4x2mx1的对称轴方程x2，即m16.又1,22，)，且f(x)在2，)上递增f(x)在1,2上递增，当x1时，f(x)取得最小值f(1)4m121；当x2时，f(x)取得最大值f(2)162m149.f(x)在1,2上的值域为21,49二、能力提升8某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x(其中销售量单位：辆)若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元 B60万元C120万元 D120.25万元答案C解析设公司在甲地销售x台，则在乙地销售(15x)台，公司获利为Lx221x2(15x)x219x30(x)230，当x9或10时，L最大为120万元9当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)答案C解析令f(x)x22x(0x2)(x22x1)1(x1)21图象如下：f(x)最小值为f(0)f(2)0.而ax22x恒成立，a0.10已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是_答案(1,3解析由题意知f(x)在1，a上是单调递减的，又f(x)的单调减区间为(，3，11时，f(x)在1,1上单调递减，故f(x)minf(1)32a；当1a1时，f(x)在1,1上先减后增，故f(x)minf(a)2a2；当a2xm恒成立，求实数m的取值范