2016新人教a版高中数学必修一第三章 函数的应用章末复习提升

【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 函数的应用章末复习提升 新人教A版必修11对于函数yf(x)，xD，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)，xD的零点2方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数的零点的存在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0.(1)函数yf(x)在区间a，b内若不连续，则f(a)f(b)0与函数yf(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)(2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点不一定使f(a)f(b)0成立，若yf(x)为单调函数，则一定有f(a)f(b)0.4二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验5解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：题型一函数的零点与方程的根的关系及应用根据函数零点的定义，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有根，有几个根从图形上说，函数的零点就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视例1已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案C解析如图所示，是y2x与ylogx的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是在(0，a)区间上，y2x的图象在ylogx的图象的下方，从而2x0logx0，即f(x0)2x0logx00.跟踪演练1设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析设g(x)x322x，则g(0)4，g(1)1，g(2)7，g(3)26 ，g(4)63 ，显然g(1)g(2)0，于是函数g(x)的零点在(1,2)内，即yx3与yx2的图象的交点在(1,2)内题型二函数模型及应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果例2某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解(1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得直线方程为Pt2；从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)，(30,5)，求得方程为Pt8，故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：P(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，即Qt40,0t30，tN.(3)由以上两问，可知y当0t20，t15时，ymax125，当20t30，y随t的增大而减小在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元跟踪演练2甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明： (1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由解(1)由题图可知，直线y甲kxb，经过(1,1)和(6,2)可求得k0.2，b0.8.y甲0.2(x4)故第二年甲鱼池的产量为1.2万只同理可得y乙4(x)故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.231.2(万只)(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只(3)设第x年规模最大，即求y甲y乙0.2(x4)4(x)0.8x23.6x27.2的最大值当x22时，y甲y乙0.843.6227.231.2(万只)最大即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只题型三转化与化归思想转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的例3已知关于x的方程ax22(a1)xa10，试问当a为何值时，方程的两根都大于1.解设方程的两根为x1，x2，方程的两根都大于1，则x110，x210，故矛盾故不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.跟踪演练3当a为何值时，函数y7x2(a13)xa2a2的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1,2)上？解已知函数对应的方程为7x2(a13)xa2a20，函数的大致图象如图所示根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)上，另一个在(1,2)上，则：即解得2a1或3a4.1.对于零点性质要注意