2016新人教a版高中数学必修一1.3.2奇偶性学案

1.3.2奇偶性学习目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题知识链接1关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数2如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形3. 观察函数f(x)x和f(x)的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案图象关于原点对称预习导引1偶函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数(2)图象特征：图象关于y轴对称2奇函数(1)定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数(2)图象特征：图象关于原点对称3奇偶性的应用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0)0.(2)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是增函数，且有最小值M.(3)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则有f(x)在(0，)上是增函数解决学生疑难点要点一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx214(2)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数(2)f(x)ax2bxc是偶函数，f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx.g(x)a(x) 3c(x)g(x)，g(x)为奇函数要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如下图所示，则使函数值y0的x的取值集合为_答案(2,0)(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如下图所示由图象知，使函数值y0时此函数为增函数，又该函数为奇函数3函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)的解析式为()Af(x)x1 Bf(x)x1Cf(x)x1 Df(x)x1答案B解析设x0，则x0.f(x)x1，又函数f(x)是奇函数f(x)f(x)x1，f(x)x1(x0)4已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是()A0 B1C2 D4答案A解析由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.5若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.答案4解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数，则a40，即a4.1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3(1)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性一、基础达标1已知yf(x)，x(a，a)，F(x)f(x)f(x)，则F(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数答案B解析F(x)f(x)f(x)F(x)又x(a，a)关于原点对称，F(x)是偶函数2设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1C1 D3答案A解析f(x)是奇函数，f(1)f(1)3.3若函数f(x)为奇函数，则a等于()A. B. C. D1答案A解析函数f(x)的定义域为x|x，且xa又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，a.4设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)答案A解析f(x)是偶函数，则f(2)f(2)，f(3)f(3)，又当x0时，f(x)是增函数，所以f(2)f(3)f()，从而f(2)f(3)f()5已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D答案B解析f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab.6偶函数f(x)在区间0，)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为_答案1,0，1，)解析偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为1,0，1，)7已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解设x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.二、能力提升8已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意得|2x1|2x12xx0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上为减函数且f(x)在2,2上为奇函数，f(x)在2,2上为减函数，即解得1m.因此实数m的取值范围是.三、探究与创新12已知f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1,3时，f(x)的最大值为m，最小值为n，求mn的值解x0时，f(x)x23x2，且f(x)是奇函数，当x0时，x0，则f(x)x23x2.故当x0时，f(x)f(x)3xx22.当x时，f(x)是增函数；当x时，f(x)是减函数因此当x1,3时，f(x)maxf，f(x)minf(3)2.m，n2，从而mn.13设函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值与最小值(1)证明令xy0，得f(0)f(0)f