课时训练19 空间向量与空间角

课时训练19空间向量与空间角一、综合题1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为,直线l1,l2所成的角为,则().A.=B.=-C.cos=|cos|D.cos=|cos|答案:D2.已知A,P,平面的一个法向量n=,则直线PA与平面所成的角为().A.30B.45C.60D.150答案:C解析:设直线PA与平面所成的角为,则sin=|cos|=.=60.3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为().A.B.C.D.答案:D解析:如图,建立坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,.cos=.4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为().A.60B.90C.105D.75答案:B解析:取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.cos=0.AB1与C1B所成的角为90.5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是().A.120B.45C.135D.60来源:答案:B解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量为=(1,0,0),所以cosn,=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为().A.60B.90C.45D.以上都不对答案:B解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则来源:令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos=-1.所以=180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.7.在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为边长是1的正方形,PA=2,则AB与PC的夹角的余弦值为.答案:解析:由于()=1cos 45=1,又|=1,|=,cos=.8.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.答案:30解析:以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设OD=SO=OA=OB=OC=a,来源:则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,从而=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的一个法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.来源:所以=60.所以直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.9.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值.解:如图所示,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=AB=a,AC=b.连结BD,与AC交于点O,取AD的中点F,连结OF,OE,EF,AE,则A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),所以D(b,-a,0),P(0,0,a),所以E,O=(b,0,0).因为=0,所以.因为,所以=0,所以.因此EOF为平面EAC与平面ABCD所成的角.因为cos=,所以平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值为.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1DAN.(1)求cos;(2)求直线AD与平面ANM所成角的大小;(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的大小.解:(1)建立空间直角坐标系,如图.=(5,2,4),=(0,8,-4),=0+16-16=0,.cos=0.(2)A1DAM,A1DAN,A1D平面ANM,=(0,8,-4)是平面ANM的一个法向量.又=(0,8,0),|=4,|=8,=64,cos=.直线AD与平面ANM所成角