2016新人教a版高中数学必修一第三章 函数的应用学案

【三维设计】2015高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教A版必修1_3.1函数与方程31.1方程的根与函数的零点函数的零点提出问题如图为函数f(x)在4,4上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)0的根的个数？提示：方程f(x)0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x3，1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标导入新知1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点化解疑难函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数例如函数f(x)x1，当f(x)x10时，仅有一个实数根x1，所以函数f(x)x1有一个零点1，由此可见函数f(x)x1的零点是一个实数1，而不是一个点(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点函数零点的判断提出问题函数f(x)x24x3图象如图问题1：函数的零点是什么？提示：1,3.问题2：判断f(0)f(2)与f(2)f(4)的符号提示：f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(0)f(2)0，f(2)f(4)0.导入新知函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根化解疑难对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0.则可判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个(3)当函数yf(x)的图象在a，b上是连续的曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点求函数的零点例1(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是xlog23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是x3.类题通法函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点活学活用判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)解：(1)令x24x40，解得x2，所以函数的零点为x2.(2)令0，解得x1，所以函数的零点为x1.(3)令4x50，则4x50，即方程4x50无实数根，所以函数不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数的零点为x0.判断函数零点所在的区间例2(1)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如下表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)(2)函数f(x)lg x的零点所在的大致区间是()A(6,7)B(7,8)C(8,9) D(9,10)解析(1)利用f(a)f(b)0，f(1)40，在(3，1)内必有根，又由f(2)40，在(2,4)内必有根故选A.(2)f(6)lg 6lg 60，f(7)lg 70，f(8)lg 80，f(9)lg 910，f(9)f(10)0，f0，f0，f0，所以ff0，故函数的零点所在区间为，即方程xx的解x0属于区间.判断函数零点的个数例3(1)函数f(x)ln x的零点的个数是()A0 B1C2 D3(2)判断函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数(1)在同一坐标系中画出yln x与y的图象，如图所示，函数yln x与y的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2.答案C(2)解法一：f(0)10210，f(x)在(0,2)上必定存在零点，又f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点类题通法判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法：法一：直接求出函数的零点进行判断；法二：结合函数图象进行判断；法三：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0，f(2)1ln 2ln0，所以f(3)f(2)0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，所以函数没有零点，故选A.答案A易错防范1函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f(x)x的图象不是连续的若忽视该特征，易由f(1)0，得出错误的答案B.2零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2，所以函数f(x)有2个零点随堂即时演练1下列图象表示的函数中没有零点的是()解析：选A观察图象可知A中图象表示的函数没有零点2函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析：选C因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(2)e240，f(1)e130，f(0)10，f(2)e20，所以f(0)f(1)0，故函数的零点所在的一个区间是(0,1)3已知函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：由题意知，方程x2axb0的两根为2、3，即a5，b6，方程bx2ax16x25x10的根为、，即为函数g(x)的零点答案：，4方程ln x82x的实数根x(k，k1)，kZ，则k_.解析：令f(x)ln x2x8，则f(x)在(0，)上单调递增f(3)ln 320，零点在(3,4)上，k3.答案：35求函数f(x)log2xx2的零点的个数解：令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点课时达标检测一、选择题1已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选Df(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)0 Ba0Ca0 Da0解析：选B函数yx2a存在零点，则x2a有解，所以a0.4已知f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，的大小关系可能是()Aab BabCab Dab解析：选C，是函数f(x)的两个零点，f()f()0.又f(x)(xa)(xb)2，f(a)f(b)20.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在，之间，只有C满足5已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B在同一平面直角坐标系中画出函数y2x和函数y的图象，如图所示，由图可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x01.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，所以由函数图象可知，f(x1)0.二、填空题6函数f(x)ln xx22x5的零点个数为_解析：令ln xx22x50得ln xx22x5，画图可得函数yln x与函数yx22x5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.答案：27若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_解析：f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)与函数yxa的图象有两个交点，由图象可知当0a1时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，当直线yxa与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点所以a1.答案：(1，)三、解答题9已知函数f(x)2xx2，问方程f(x)0在区间1,0内是否有解，为什么？解：因为f(1)21(1)20，而函数f(x)2xx2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间1,0内有零点，即方程f(x)0在区间1,0内有解10已知二次函数f(x)x22ax4，在下列条件下，求实数a的取值范围(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内解：(1)因为方程x22ax40的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2a.(2)因为方程x22ax40的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)52a.(3)因为方程x22ax40的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得a.31.2用二分法求方程的近似解二分法提出问题在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”问题1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？提示：应猜400与800的中间值600.问题2：通过这种方法能猜到具体价格吗？提示：能导入新知1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)2用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b)的中点c.第三步，计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步化解疑难利用二分法求方程近似解的过程图示二分法的概念例1(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()Ayx7By5x1Cylog3x Dyxx(2)以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()解析(1)A解方程x70，得x7B解方程5x10，得x0C解方程log3x1，得x1D无法通过方程xx0得到零点(2)根据二分法的思想，函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点答案(1)D(2)C类题通法二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用活学活用已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4 D4,3解析：选D图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.用二分法求函数的零点例2求函数f(x)x25的负零点(精确度0.1)解由于f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.1250.484 4(2.25，2.125)2.18750.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50.1，所以函数的一个近似负零点可取2.25.类题通法利用二分法求函数零点应关注三点(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算活学活用证明函数f(x)2x3x6在区间1,2内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)解：由于f(1)10，又函数f(x)在1,2内是增函数，所以函数在区间1,2内有唯一零点，不妨设为x0，则x01,2下面用二分法求解.(a，b)(a，b) 的中点f(a)f(b)f()(1,2)1.5f(1)0f(1.5)0(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1,1.25)1.125f(1)0f(1.125)0(1.125,1.25)1.187 5f(1.125)0f(1.187 5)0因为|1.187 51.25|0.062 50.1，所以函数f(x)2x3x6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.用二分法求方程的近似解例3用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.68750.75|0.06250.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解类题通法用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解活学活用求方程lg x3x的近似解(精确度0.1)解：分别画函数ylg x和y3x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等因此，这个点的横坐标就是方程lg x3x的解由函数ylg x与y3x的图象可以发现，方程lg x3x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内设f(x)lg xx3，利用计算器计算得：f(2)0x1(2,3)；f(2.5)0x1(2.5,3)；f(2.5)0x1(2.5,2.75)；f(2.5)0x1(2.5,2.625)；f(2.562 5)0x1(2.562 5,2.625)；因为2.6252.562 50.062 50.1，所以此方程的近似解可取为2.625.典例用二分法求方程f(x)0在0,1内的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一个近似解为_(精确度0.1)解析因为|0.750.687 5|0.062 50.1，所以区间0.687 5,0.75内的任何一个值都可作为方程的近似解答案0.75(答案不唯一)易错防范1由于f(0.625)0，故在区间(0.625,0.75)内也存在零点，但|0.750.625|0.1，所以不符合精确度0.1的要求，解决本题时极易忽视此条件而导致解题错误2利用二分法求方程的根，在计算到第几步时，区间(an，bn)的长度应小于精确度活学活用用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060根据此数据，可得方程3xx40的一个近似解(精确度0.1)为_解析：由表中数据可知：f(1.562 5)f(1.556 2)0.而|1.562 51.556 2|0.006 30.1.零点x0(1.556 2,1.562 5)可取零点为1.556 2(或1.562 5)答案：1.556 2或(1.562 5)随堂即时演练1下列函数不宜用二分法求零点的是()Af(x)x31Bf(x)ln x3Cf(x)x22x2 Df(x)x24x1解析：选C因为f(x)x22x2(x)20，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点2用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()A2,1 B1,0C0,1 D1,2解析：选Af(2)30，f(2)f(1)0，故可以取区间2,1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算A.3已知二次函数f(x)x2x6在区间1,4上的图象是一条连续的曲线，且f(1)60，由零点存在性定理可知函数在1,4内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)_.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)f(2.5)2.522.562.25.答案：2.254用二分法求方程x32x50在区间2,3内的实数根时，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_解析：f(2)0，下一个有根区间是(2,2.5)答案：(2,2.5)5求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1)解：设f(x)x22x1.f(2)10.在区间(2,3)内，方程x22x10有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，f(2.5)0.250，2x02.5；再取2与2.5的平均数2.25，f(2.25)0.437 50，2.25x02.5；如此继续下去，有f(2.375)0x0(2.375,2.5)；f(2.375)0x0(2.375,2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，方程x22x1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.课时达标检测一、选择题1下列关于函数f(x)，xa，b的命题中，正确的是()A若x0a，b且满足f(x0)0，则x0是f(x)的一个零点B若x0是f(x)在a，b上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C函数f(x)的零点是方程f(x)0的根，但f(x)0的根不一定是函数f(x)的零点D用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：选A使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；f(x)0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确2用二分法求图象是连续不断的函数f(x)在x(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)0，f(1.25)0，f(1.25)0，所以f(1.5)f(1.25)0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容分别为()A(0,0.5)，f(0.25) B(0.1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.25) D(0,0.5)，f(0.125)解析：选Af(0)0，f(0)f(0.5)0，故f(x)的一个零点x0(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算ff(0.25)4若函数f(x)x3x22x2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似解(精确度0.04)为()A1.5 B1.25C1.375 D1.437 5解析：选D由参考数据知，f(1.406 25)0.054，f(1.437 5)0.162，即f(1.406 25)f(1.437 5)0，且1.437 51.406 250.031 250，f()()0，f(1)10，f(2)()220，显然有f(0)f()0.二、填空题6某方程有一无理根在区间D(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分_次后，所得近似值可精确到0.1.解析：由10，n14，即n5.答案：57在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称_次就可以发现这枚假币解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币答案：48某同学在借助计算器求“方程lg x2x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)lg xx2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x1.8.那么他再取的x的4个值依次是_解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)答案：1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查多少个接点？解：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在故一般最多只需检查3个接点10判断函数f(x)2x31的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度0.1)解：f(0)10，即f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点，又f(x)在(，)上是增函数，f(x)只有一个零点x0(0,1)取区间(0,1)的中点x10.5，f(0.5)0.750，f(0.5)f(1)0，即x0(0.5,1)取区间(0.5,1)的中点x20.75，f(0.75)0.156 250，f(0.75)f(1)0.f(0.75)f(0.875)0.f(0.75)f(0.812 5)0，即x0(0.75,0.812 5)，而|0.812 50.75|1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，使得当xx0时，就有logaxxn1，n0)化解疑难对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳图象的变化随着x的增大逐渐加快增大随着x的增大逐渐减慢增大随n值的不同而不同考查函数模型的增长差异例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_解析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化故填y2.答案y2类题通法常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型幂函数yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间活学活用今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tBvlogtCv Dv2t2解析：选C从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例2 函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，1x12,9x210，x16x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，f(6)x2时，f(x)g(x)，f(2 011)g(2 011)又g(2 011)g(6)，f(2 011)g(2 011)g(6)f(6)类题通法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数活学活用函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x).函数模型的选取例3某汽车制造商在2013年初公告：公司计划2013年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201020112012产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2010、2011、2012、2013定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？解建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c42，则g(x)x42，故g(4)44244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系类题通法不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题活学活用某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y3，y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象(图略)观察图象可知，在区间5,100上，y0.2x，y1.02x的图象都有一部分在直线y3的上方，只有ylog5x的图象始终在y3和y0.2x的下方，这说明只有按模型ylog5x进行奖励才符合学校的要求典例下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()AyexBy100ln xCyx100 Dy1002x解析指数爆炸式形如指数函数又e2，ex比1002x增大速度快答案A易错防范1影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数