2017年全国高考考前复习大串讲专题1.4 函数与导数专题突破

专题一 高考中函数图象与性质的综合应用 题型一 分段函数求值问题 【 例 1】 设 f(x) t ， x0，f x 1， x0 ， 则 f43 f 43 的值等于 _. 【 答案 】 3 【 解析 】 f 43 12， f 43 f 13 1 f 23 2 52， f 43 f 43 3. 题型二 函数图象及性质的应用 【 例 2】 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f(x) 2x (1)求函数 f(x)的表达式并画出其大致图象； (2)若当 x a， b时， f(x) 1b， 1a 0， 若方程 f(x) m 有三个不同的实根，则实数 m 的取值范围为 _. (2)(2013 天津变式 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， ) 上单调递增 足 f( f(2 f(1)，则 a 的取值范围是 _. 【 答案 】 (1)( 14， 0) (2) 12， 2 【 解析 】 (1)作出函数 y f(x)的图象，如图所示 . 当 x0 时， f(x) x (x 12)2 14 14， 所以要使方程 f(x) m 有三个不同的实根， 则 14f(x) (或 ， g(x)在 2,3上为增函数， 故 g 4，g 1， 即 9a 6a 1 b 4，4a 4a 1 b 1， 解得 a 1，b 0， 当 f(t)0 恒成立 1 0 ， k 2 420)表示的曲线上，其中 k 与发射 方向有关 (1)求炮的最大射程 . (2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小 )，其飞行高度为 米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由 . 【 解析 】 (1)令 y 0，得 120(1 k2)0， 由实际意义和题设条件知 x0， k0， 故 x 2020k 1k 202 10，当且仅当 k 1 时取等号 . 所以炮的最大射程为 10 千米 . (2)因为 a0，所以炮弹可击中目标 存在 k0， 使 120(1 k2)关于 k 的方程 2064 0 有正根 判别式 ( 20a)2 4a2(64)0 a6. 所以当 a 不超过 6 千米时，可击中目标 . 专题 二 高考中导数的应用的问题 题型一 利用导数研究函数性质 【 例 1】 (2015 课标全国 ) 已知函数 f(x) ln x a(1 x) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围 【 思维升华 】 利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值已知 f(x)的单调性，可转化为不等式 f( x)0 或 f( x)0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析 【跟踪训练】 已知 a R，函数 f(x) ( ax)x R， e 为自然对数的底数 ) (1)当 a 2 时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若函数 f(x)在 ( 1,1)上单调递增，求 a 的取值范围 题型二 利用导数研究不等式问题 【 例 2】 已知 f(x) x， g(x) 3. (1)对一切 x(0 ， ) ， 2f(x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)证明：对一切 x(0 ， ) ，都有 ln x12 【 解析 】 (1) x(0 ， ) ，有 2x 3，则 a2ln x x 3x， 设 h(x) 2ln x x 3x(x0)， 则 h( x) x x 当 x(0,1) 时， h( x)0，且 x1 时， f(x) ln 1. 【 解析 】 (1) f( x)a x 1x ln 2 由于直线 x 2y 3 0 的斜率为 12，且过点 (1,1)， 故 f 1，f 12， 即 b 1，ba 1， b 1. (2)证明 由 (1)知 f(x) ln 1 1x， 所以 f(x) ln 1 11 2ln x 1x . 考虑函数 h(x) 2ln x 1x (x0)， 则 h( x) 2x 2x2x 2 所以当 x1 时， h( x)0，可得 11 x)0； 当 x(1 ， ) 时， h(x)0. 从而当 x0，且 x1 时， f(x) ln 10. 即 f(x)ln 1. 题型三 利用导数研究函数零点或图象交点问题 【 例 3】 设函数 f(x) ln x m R. (1)当 m e(e 为自然对数的底数 )时， f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x) f( x) 【 解析 】 (2)由题设 g(x) f( x) 1x x3(x0)， 令 g(x) 0，得 m 13x(x0) 设