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文档简介
4.2.1 实际问题中导数的意义一、学习要求:导数在实际生活中的应用二、学习目标能运用导数方法求解有关利润最大,用料最省,效率最高等最优化问题,体会导数在解决实际生活问题中的作用。三、重点难点 用导数方法解决实际生活中的问题四、要点梳理解应用题的基本程序是:读题 建模 求解 反馈(文字语言) (数学语言) (导学应用) (检验作答)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤: 分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系;注意的范围。 利用导数求函数的极值和函数的最值;给出数学问题的解答。 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。五、基础训练:1 周长为的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_。2 某产品的销售收入(万元)是产量(千台)的函数:,生产总成本(万元)也是产量(千台)的函数:,为使利润最大,应生产产品_台。 3 一轮船以千米/时的速度航行,每小时用煤吨,千米/时,才能使轮船航行每千米用的煤最少。4 设正三棱柱的体积为,那么其表面积最小时的底面边长为_。5 某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益与年产量的关系是:,则总利润最大时,每年生产的产品是_个单位。六、典型例题例1 用长为18的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为,问:该长方体长,宽,高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 例2 经过点作直线分别交轴正半轴,轴正半轴于两点,设直线的斜率为,的面积为(1) 求关于的函数关系式;(2) 求的最小值以及相应的直线的方程。变式:有一隧道既是交通拥挤地段又是事故多发地段。为了保证安全,交通部门规定:隧道内的车距正比于车速的平方与自身长的积,且车距不得小于半个车身长。而当车速为60时,车距为个车身长。在交通繁忙时,应规定车速为多少时可以使隧道的车流量最大。例3 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处,已知,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道,设排污管道的总长为。(1) 按下列要求写出函数关系式: 设将表示成的函数关系式; 设,将表示成的函数关系式。ABCDPO(2)请你选用(1)中的一个函数关系式确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。七、反思感悟八、千思百练:1 有一长为16米的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为_。2 一个膨胀中的球形气球,其体积的膨胀率为,则其半径增至时,半径的增长率是_。3 容积为256升的方底无盖水箱,它的高为_时最省材料4 一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积一定,当圆半径与矩形的高的比为_时,窗户周长最小。5 若一球的半径为,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为_。6 以长为10的线段为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为_。7用边长为48的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为_。8将水注入圆锥形容器中,其速度为,设圆锥形容器的高为,顶口直径为,求当水深为时,水面上升的速度。9 某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品可获利200元,如果生产出一件次品,则损失100元,已知该厂制造电子元件过程中,次品率与日产量的关系是:(1)求该厂的日盈利额(元)用日产量(件)表示的函数;(2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?10统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量(升)关于行驶速度(千米/时)的函数解析式可以表示为,已知甲乙两
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