数理统计-假设检验【PPT课件】

上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 假设检验 假设检验 参数检验 非参数检验 数学期望 方差 ( (t 检验法 ) 2检验法 (单正态总体 ) (双正态总体 ) 分布 检验 独立性检验 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 1 假设检验的基本概念 2. 假设检验的相关概念 3. 假设检验的一般步骤 1. 假设检验的基本原理 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 1. 假设检验的基本原理 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不 知其参数的情况下 , 为了推断总体的某些性质 , 提出 某些关于总体的假设 . 假设检验就是根据 样本 对所提出的 假设 作出判断 : 是接受 , 还是拒绝 . 例如 ,提出总体服从泊松分布的假设 ; 0, .又 如 对 于 正 态 总 体 提 出 数 学 期 望 等 于 的 假 设 等 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 先提出假设 再根据一次抽样所得到的样本值进行计算 . 若导致小概率事件发生，则否认假设 否则，接受假设 （ 1）基本原理 小概率推断原理： 小概率事件 (概率接近 0的事件 )，在一次试验中，实际上可认为不会发生 . （ 2） 基本思想方法 采用 概率性质 的 反证法： 下面结合实例来说明假设检验的基本思想 . 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 例 1 某厂有一批产品，共有 200件，需检验合格才能出厂 . 按国家标准，次品率不得超过 3%. 今在其中随机地抽取 10件，发现其中有 2件次品，问：这批产品能否出厂 ? 问题： 次品率是否 3%? 解 用假设检验法， 步骤： 1 提出假设 03.0 2 设 否则次抽取的产品是次品第,0,1 iX i)10,2,1( i ( 1 , )iX b 21令 ( 1 0 , )Y b 抽取的 10件产品中的次品数 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 ( 2 ; )P Y p 1 ( 2 ; )P Y p 1 ( 0 ; ) ( 1 ; ) P Y p P Y p 0 p ( 1 0 , )Y b p)1(10)1(1 910 )( (90d)(d 8 )单 调 增 加3 在假设 算 时，当 p( 2 ; )P Y p)( 3.0(f ( 2 ; 0 . 0 3 )1(10)1(1 910 ( 2 ; )P Y p从 而 ( 2 ; )P Y p .2 是小概率事件故 Y 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 ( 2 ; )P Y p从 而 ( 2 ; )P Y p 4 作判断 .2 是小概率事件故 Y=2是小概率事件，而实际情况是：小概率事件竟然在一次试验中发生了，这违背了小概率原理，是不合理的，故应该 否定 原假设 认为产品的次品率 p 3% . 所以，这批产品不能出厂 . 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 某车间用一台包装机包装葡萄糖 , 包得的袋装糖重是一个随机变量 , 它服从 正态分布 其 均值 为 标准差 为 分析 : 例 2 某日开工后为检验包装机是否正常 , 随机地抽取它所包装的糖 9袋 , 称得净重为 (公斤 ): 问机器是否正常 ? 由长期实践可知 , 标准差较稳定 , ),0 1 2 问题 : 根据样本值判断 0 0 还是 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 1 提出两个对立假设 0 0 1 0: 0 . 5 : 2 , X 是 的 无 偏 估 计 量00 , | | , 若 为 真 则 不 应 太 大00| | , /衡 量 的 大 小 可 归 结 为 衡 量 的 大 小0 , 真 时0 ( 0 , 1 ) ,/)( 21 212221-P U u 0 当 很 小 时 ，21- 是 小 概 率 事 件O x y 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 001 - / 2/, 根 据 小 概 率 原 理 ， 可 以 认 为 如 果 为 真 ， 则 由一 次 试 验 得 到 满 足 不 等 式的 观 察 值 几 乎 不 会 发 生01 - / 2, /若 在 一 次 试 验 中 得 到 了 满 足 不 等 式01 - / 200, /, 若 出 现 观 察 值 满 足 不 等 式则 没 有 理 由 拒 绝 假 设 因 而 只 能 接 受00 察 值 ， 则 我 们 有 理 由 怀 疑 原 来 的 假 设 的正 确 性 ， 因 而 拒 绝 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 3 在假设 样本计算 0. 05 , 如 ： 若 取 定 1 - / 2 0 . 9 7 5 1 . 9 6 ,则/00 . 0 1 5 , ,9 0 . 5 1 1 , 0 1 - / 2 1 . 9 6 ,u 01 - / 2 0/当 时 ， 拒 绝 ；01 - / 2 0 , ./当 时 接 受于是拒绝假设 认为包装机工作不正常 . 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 2. 假设检验的相关概念 (1) 原假设与备择假设 假设检验问题通常叙述为 : 00:H 11:H 备择假设 (2) 检验统计量 0 ./统 计 量 检 验 统 计 量用于检验假设的统计量，称为检验统计量 . 如：对于例 2, 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 （ 3） 显著性水平 00 为真拒绝原假设 (4) 拒绝域与临界点 拒绝域 拒绝原假设 , 组成的集合 . 拒绝原假设 临界点 (值 )： 拒绝域的边界点 (处的检验统计量的值 ). ：11 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 当原假设 观察值却落入拒绝域 , 而作出了拒 绝 称为 第一类错误 , 其发生的概率成为 拒真概率 . （ 5） 两类错误 假设检验的依据是 : 小概率事件在一次试验中很难 发生 , 但“很难发生”不等于“不发生” , 因而假设检验所作 出的结论有可能是错误的 . 这种错误有两类 : 0 0 0( ) ( ) ,P H H P X W 拒 绝 原 假 设 为 真 当原假设 而观察值却落入接受域 , 而作出了 接受 称为 第二类错误 , 其概率称为 受伪概率 . 0 0 1( | ) = ( ) ,P H H P X W 接 受 不 真 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 例：检验某种新药的疗效。 药未提高疗效； 药提高了疗效。 第一类错误： （ 弃真 ） 本来无效，但结论为有效，此时若推 广此药，对患者不利。 第二类错误： （ 存伪 ） 本来有效，但结论为无效，此时若不 推广此药，会带来经济上的损失。 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 假设检验的两类错误（概率） 实际情况 假设检验结论 拒绝 受 0为真 第 类错误 () 推断正确 (1-) 推断正确 (1- ) 第 类错误 ( ) 注意：拒绝 可能犯 型错误； 接受 可能犯 型错误错误。 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 假设检验的两类错误（概率） 实际情况 假设检验结论 拒绝 受 0为真 第 类错误 () 推断正确 (1-) 推断正确 (1- ) 第 类错误 ( ) 1 当样本容量 n 一定时 , 若减少犯第一类错 误的概率 , 则犯第二类错误的概率往往增大 . 2 若要使犯两类错误的概率都减小 , 除非增加样本容量 . 注 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 （ 6） 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯 第二类错误的概率的检验，称为显著性检验。 2001,/, xu u 如 果 则 称 与 的 差 异 是 显 著 的则 我 们 拒 绝2001, , xu u 反 之 如 果 ， 则 称 与 的 差 异 是不 显 著 的 则 我 们 接 受0. x 上 述 关 于 与 有 无 显 著 差 异 的 判 断 是 在 显著 性 水 平 之 下 作 出 的如例 2 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 0 0 1 0 1000 0 1 0: : , , , , : , : 在 备 择 假 设表 示 可 能 大 于 也 可 能 小 于 称 为 双 边 备 择假 设 形 如 的 假 设 检 验 称为 双 边 假 设 检 验（ 7） 双侧假设检验 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 （ 8） 单侧检验 (右侧检验与左侧检验 ) 0 0 1 0 : v s : . 形 如 的 假 设 检 验称 为 右 侧 检 验0 0 1 0 : v s : . 形 如 的 假 设 检 验称 为 左 侧 检 验右侧检验与左侧检验统称为 单侧检验 . 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 3. 假设检验的一般步骤 根据实际问题的要求，提出原假设 1 ； 选择适当的检验统计量，在 定 给定显著性水平 ，确定拒绝域 根据样本观察值计算统计量的值； 根据统计量值是否落入拒绝域 出拒绝或者 接受 判断。 它的概率分布； 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 2 正态总体参数假设检验 二、 假设检验与置信区间的关系 一、 单个正态总体均值的检验 四、 两个正态总体均值差的检验 三、 单个正态总体方差的检验 五、 两个正态总体方差比的检验 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 设 是来自 的样本，考虑关于 的检验问题。 (1) 0 0； (2) 0 0 121U 检验法 (2 已知 ) 原假设 择假设 验统计量 拒绝域 0 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 例 2一药厂生产的药品的某项指标服从正态分布 N(60， 42)机抽取容量为 30的样本， 算得样本均值为 否认为工艺革 新提高了药品该项指标的均值 ?(= 0 6 0 4 3 0 6 4 分析： 建立假设 : 解 : 00 10: 6 0: 6 0H v s H 计算统计量： 0 6 4 6 0 5 . 4 84 3 0 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 0 . 9 95 . 4 8 2 . 3 3 根据显著水平 =正态分布临界值表； 做出统计判断 所以拒绝 受 可以认为工艺革新提 高了药品该项指标的 均值 。 查表得： 0 . 9 9 2 . 3 3u 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 （二） 方差未知时正态 总体均值 的 t 检验 设总体 ， 为抽自总体 样本，方差 未知，则 2 ( , ) 12, , , ( 1 ) ( , / )X N n( 2 ) ( 1 ) 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 检验步骤为： （ 1）建立假设 0 0 1 0:H v s H （ 2）在 造检验统计量 0 ( 1 )X （ 4）统计判断： 1 / 2 ( 1 )t t n ，拒绝 受 1 / 2 ( 1 ) ,t t n接受 绝 （双侧） 00(|(3 ) , H 拒 绝 为选 定 , 根 据 确 定 拒 绝 域真000( | ) ( )/, H P 拒 绝 为 真1 / 2 ( 1 )k t n故 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 关于 的检验 0 0 0 0 0 12( 1 )t t n( 1 )t t n1 ( 1 )t t nt 检验法 (2 未知 ) 原假设 择假设 验统计量 拒绝域 0 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 例 3 正常人的脉搏平均为 72（次 /,现测得 20 例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏 (次 /均值 是 准差是 四乙基铅中毒患者的脉 搏服从正态分布，问四乙基铅中毒患者的脉搏是否 与正常人不同？（ = 0 7 2 ; 2 0 ; 6 3 . 5 0 ; 5 . 6 0n X S 分析： 建立假设 解 : 0 0 1 0: 7 2 : 7 2H v s H 双侧 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 计算统计量： 0 6 3 . 5 0 7 2 6 . 7 8 85 . 6 0 2 0 根据显著水平 = 查表得： 1 0 . 0 5 / 2 ( 2 0 1 ) 2 . 0 9 3t 1 0 . 0 5 / 26 . 7 8 8 ( 2 0 1 ) 2 . 0 9 3 Q 做出统计判断 0 0 9 3以拒绝 受 0 7 2 ; 2 0 ; 6 3 . 5 0 ; 5 . 6 0n X S 分析： 四乙基铅中毒患者的脉搏与正常人不同 . 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 二、假设检验与置信区间的关系 这里用的检验统计量与置信区间所用的枢轴量 是相似的。这不是偶然的，两者之间存在非常 密切的关系。 设 是来自正态总体 的样本，现 在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。 考虑双侧检验问题 : 1 , ( , )N 0 0 1 0:H v s H 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 它可以改写为 1 / 2 0 1 / 2( 1 ) ( 1 ) t n X t 并且有 0( ) 1 ,若让 0 在 (- )内取值，就可得到 的 1- 置 信区间： 这里 0并无限制 . 1 / 2 ( 1 )sX t 0 1 / 2| | ( 1 ) t 则水平为 的检验接收域为 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 00:H 关于 的水平为 的显著性检验。 是一一对应的。 类似地， “参数 的 1- 置信上限” 与 “关于 00:H 的单侧检验问题的水平 的检验 ” 反之若有一个如上的 1- 置信区间，也可获得 00:H “ 正态均值 的 1- 置信区间” 与 “关于 的双侧检验问题的水平 的检验” 参数 的 1-置信下限与另一个单侧检验也是一一对应的。 是一一对应的。 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 三、均值未知，单个正态 总体方差 的 检验 2设总体 ， 为抽自总 体 体均值 和方差 未知，则 2 ( , ) 12, , , 2 2 2 20 0 1 0: v s : (1) 提 出 假 设( 2 ) :确 定 检 验 统 计 量 , 及 拒 绝 域 形 式00( 3 ) ( | ) , H 选 定 , 根 据 拒 绝 为 真 确 定 拒 绝 域220 20( 1 )( 1 )为 真 时 ,22122200( 1 ) ( 1 )n s n 拒 绝 域 形 式 : 或2212220000( 1 ) ( 1 ) ( )( | ) ( PH n S n 拒 绝 为 真双侧检验 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 0( 4 ) , 样 本 信 息 计 算 观 测 值 决 定 是 否 接 受2212220000( 1 ) ( 1 ) ( )( | ) ( PH n S n 拒 绝 为 真22122200( ) , ( 1 ) (1)22)n S n 取 2212 1( 1 ) ( 1 )k n k n 故 222222 1000( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )n s n 的 拒 绝 域 : 或 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 2,均 值 未 知 时 方 差 的 单 边 检 验2 2 2 20 0 1 0: v s : ( ) (1) 提 出 假 设 右 侧 检 验210 )H H ( 即 拒 绝 时 , 样 本 方 差 的 观 测 值 往 往 偏 大 绝 域 形 式 : ( 2 ) :确 定 检 验 统 计 量 , 及 拒 绝 域 形 式220(): 1检 验 统 计 量 2 22( 1 ) ( 1 )nS n 220( 1 )或 者00( 3 ) ( | ) , H 选 定 , 根 据 拒 绝 为 真 确 定 拒 绝 域 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 22 000( | ) ( ) P 拒 绝 为 真221200( 1 )( 1 ) n 拒 绝 域 : 220220( 1 )() 2200, H 为 真 即22220( 1 ) ( 1 )n S n S22220( 1 ) ( 1 ) n S n 22022( 1 )()c 21 ( 1 ) 故 00( 3 ) ( | ) , H 选 定 , 根 据 拒 绝 为 真 确 定 拒 绝 域 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 221 / 2 ( 1 )n 22 ( 1 )n221 ( 1 )n 检验法 原假设 择假设 验统计量 拒绝域 2220( 1 )关于 2 的检验 2220 22022/2 ( 1 )n220 220220 220 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 四、两个正态总体均值差的假设检验 0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H 双 侧 检 验0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H 右 侧 检 验2221121222 2 1 212 ( , ) , ( , ) . , , . . . , , . .,., Y N X X S Y 总 体 总 体 设为 总 体 的 样 本 , 为 总 体 的 样 本 , 这 两 个 样 本相 互 独 立 . 分 别 为 总 体 的 样 本 均 值 分 别 为的 样 本 方 差 , 为 混 合 样 本 方 差 , 给 定 显 著 性 水 平 为,0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H 左 侧 检 验12 的 点 估 计 量 为 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 2212 , 1. 两 总 体 方 差 已 知221212( , )X Y N 2212:)( 检 验 统 计 量0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H a. 双 侧 检 验21 uW u 拒 绝 域0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H b. 左 侧 检 验Wu u 拒 绝 域0 1 2 1 1 2: 0 : 0 c. 右 侧 检 验1 Wu u 拒 绝 域 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 2212 222. 两 总 体 方 差 =, 但 未 知1211()( 2 )m 11: ()检 验 统 计 量0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H a. 双 侧 检 验212) (t t m 拒 绝 域0 1 2 1 1 2: 0 : 0H v s H b. 左 侧 检 验 () 2W t t m n 拒 绝 域0 1 2 1 1 2: 0 : 0 c. 右 侧 检 验1 ( 2)t t m 拒 绝 域 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 例 某厂铸造车间为 提高铸件的耐磨性 而 试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为 8和 9的样本，测得其硬度为 镍合金： 合金： 根据经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变。 试在显著性水平 = 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 解：用 X 表示镍合金的硬度， Y 表示铜合金的硬 度，则由假定， 21 ( , ) ,22 ( , ) 要检验的假设是： 0 1 2 1 1 2:H v s H 经计算， 8922117 3 . 3 9 , 6 8 . 2 7 5 6 , ( ) , ( ) 91 9 1 . 7 9 5 8 1 . 1 5 5 2y x x y y 从而 1 9 1 . 7 9 5 81( 9 1 . 1 5 5 2 4 . 3 422893) 2 . 4 2 3 44 . 3 4 2 37 3 . 3 9 6 8 . 2 7 5 61189t查表知 0 . 9 5 ( 1 5 ) 1 . 7 5 3 1 ,t 由于 0 . 9 5 (1 5 )拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。 上页 下页 返回 结束 数学与统计学院 五、两个正态总体方差比的假设检验 2221121222 2 1 212 ( , ) , ( , ) . , , . . . , , . .,., Y N X X S Y 总 体 总