积分学【PPT课件】

积分法 原 函 数 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 不定积分 积分学 基本积分表 d x ()1( 是常数 ) )1(1)2(1 |( 1 1)4( a r c ta n 1 1)5( a r cs x d ( x d xs i n)7( c xd xx t e c)10( xd xx c s c)11( x)12( Ce x c o s)8( e c si n)9( s c co t x)13( c o s|a n)16( d x |s i n|o t)17( )ta n(s e c|e c)18( )c o t(c s c|s c)19( a r c t a 0( 22 |1)22( 22 a r c s i 3( 22|)(|4(2222 |1)21( 22 4( chx 5( ( ;)(.2 (l n.3 )1(co s)( si n.5 )(.6 ;s t a x 1 )(a r c ta 第一类换元法 常用代换 : .,)( .s i n,)( n,)( 令倒置代换第二类换元法 被积函数正、余弦函数多项式 指数函数多项式 反三角函数多项式 对数函数多项式 后面画红线者拖到 c i n 或两者都可分部积分法 分部积分公式 d v 几种特殊类型函数的积分 （ 1）有理函数的积分 定义 两个多项式的商表示的函数称有理函数 . 11101110)()(其中 m 、 n 都 是 非 负 整 数 ； , 10 及, 10 都 是 实 数 ，并 且 00 a ， 00 b 定系数法 四种类型分式的不定积分 ;d x ;)(1()( d x ;a r c ta Mx ()()2(2)(222此两积分都可积 ,后者有递推公式 令 2ta n 212s i 2211co ux a r c t a n212 co s,( s i n 222 1211,12（ 2） 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为 )c o s,( s i n 3） 简单无理函数的积分 讨论类型 : ),( n ),( 解决方法 : 作代换去掉根号 ;令;n 令问题 1: 曲边梯形的面积 问题 2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿 )()()( 定积分 牛顿 莱布尼茨公式 如果 )( , 连续，则积分上限的函 数 )()( 在 , 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数是 )()()( )( 定理 定理（原函数存在定理） 如果 )( , 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 )()( 就是)( , 的一个原函数 （微积分基本公式） 如果 )( 连续函数 )( 区间 , 的一个原函数，则 )()()( .)()( 也可写成 牛顿 莱布尼茨公式 .,:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明 )()()(换元公式 （ 1）换元法 （ 2）分部积分法 分部积分公式 v ，则上的奇、偶函数且连续分别为，若 ,)()( ，0d)( 2d)(为常数，则为周期的连续函数，是以若 ( d)(d)(两个重要性质 广义积分 (1)无穷限的广义积分 a ( (l i 广义积分 收敛 ； 当 极 限 不 存 在时，称广义积分 发散 . b ( ()无界函数的广义积分 ba ( ba )(l i m 0当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收敛 ； 当 极 限 不 存 在时，称广义积分 发散 . ba ( ba ( ba ( ca ( bc ( ca (li m 0 bc )(微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用中的常用公式 定积分的应用 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 ba (1 )(2 ba ()( 12A a b a b )(21d)(r 2 r)(1 r ()(21 2122极坐标情形 (2) 体积 x x y o ( )( ba (x a )( ) 平面曲线的弧长 bx 21A曲线弧为 )()()( (),( 在 , 上 具 有 连 续 导 数弧长 )()(22)( B曲线弧为 C曲线弧为 )( )(弧长 )()(22(4) 旋转体的侧面积 x x y o )( ,0)( ba (1)(2 2侧(5) 细棒的质量 o x )( x(6) 转动惯量 a b o2)( 为线密度x(7) 变力所作的功 )(a bx x (8) 水压力 )()( 为比重(9) 引力 l (.0( 为引力系数G(10) 函数的平均值 (1(11) 均方根 (1 2定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 重积分 上连续，在区域若 ,(，)()( 21 连续，且 )(),( 21 有( )( )(21d),(d xg 2(上连续，在区域若 ,(，)()( 21 连续，且 )(),( 21 则有( )( )(21d),(d )3(o 其中 ，：其中 o .)s i n,c ()(21 r 1)s i n,co s(Dr d r ,:1 D ).()( 21 r（）极坐标系下 重积分的应用 (1) 体积 的体积为之间直柱体与区域在曲面 ,(),(设 ).,( 曲面 ;1 22 d x d (2) 曲面积 当薄片是均匀的，重心称为形心 . ,1 其中,),(),(.),(),(设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 上 的 闭 区 域 D ，在点 ),( 的 面 密 度 为 ),( ，假定 ),( 在D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 的 重 心 为(3) 重心 薄片对于 薄片对于 ,),(2Dx .),(2Dy 设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 上 的 闭 区 域 D ，在点 ),( 的 面 密 度 为 ),( ，假定 ),( 在D 上 连 续 ， 平 面 薄 片 对 于 x 轴和 y 轴 的 转 动 惯 量 为(4) 转动惯量 薄片对 轴上单位质点的引力 一 平 面 薄 片 ， 占 有 上 的 闭 区 域 D ，在点 ),( 的 面 密 度 为 ),( ，假定 ),( 在D 上 连 续 ， 计 算 该 平 面 薄 片 对 位 于 z 轴上的点),0,0(0 的 单 位 质 点 的 引 力 )0( a, ,)(),(23222 ,)(),(23222 .)(),(23222 为引力常数 f(5) 引力 1(1 ),(2 1 )(2 ),( ,),(:),(:2211,),( 作直线过点 穿出穿入，从从 21 .),(),(),(),(21 x d 三重积分的计算 截面法的一般步骤：( 1 ) 把积分区域 向某轴 （ 例 如 z 轴 ） 投 影 ， 得 投影区间 ,21( 2 ) 对 ,21 用过 z 轴且平行 x o y 平面的平面去截 ，得截面( 3 ) 计算二重积分 x d ,(其结果为 z 的函数 )( ( 4 ) 最后计算单积分21)( 得 三 重 积 分 值 ,( 21),(zd x d .,s i n,co ( ) 柱面坐标 .),s i n,c ,( dr ,.c o s,s i ns i n,c o ss i ns dd r dx dy ,( .s i n)c os,s i ns i n,c i n( 2 ) 球面坐标 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 计算 联系 曲线积分 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 (l i m),( L ,(),( ),(),(l i 联系 d yP d x co s( 计 算 ),(三代一定 )( ,(),(二代一定 (与方向有关 ) 格林公式 定理（格林公式） 函数上的是平面区域设 1),(),( 函数）函数称为（一阶偏导数都连续的 逐段光滑的简单闭曲由光滑的边界 的正方向是人沿此并约定 D在其左侧，则方向前进时区域 d yP d )( 与路径无关的四个等价命题 条件 在 单 连 通 开 区 域 D 上 ),(),( 有连续的一阶偏导数 , 则以下四个命题成立 . L Q d yP d 路径无关内在)1( C yP d x 闭曲线,0)2(Q d yP d 使内存在在 ),()3(,)4( 内在等 价 命 题 定积分 曲线积分 二重积分 计算 计算 各种积分之间的联系 曲面面积的计算法 S ,( d x d ),( ),( 21),(y),( 是已知例 )(co s co s)(的一个原函数是解：由于 )(co s x)(c o s即xx co s)co s(co s)(Cx xx x 2)co s(21co 例 解 )()()()(322原式.)()()()()( 32 ( )()()()( )( 22 )( )()( )( xf )()(21 2 x d s i nc o s 计算例04 s i nc o i nc o s 解：22s i nc o i nc o x d 20o s i ns i 2002 x54例 .)1(i n212128 2121 )10原式 210021 )1l n ()1l n (所围平面图形与直线求曲线例 12222积。轴旋转所的旋转体的体绕 积分变量解：我们以 ,1)(1 22 截面面积为 b b )(1 22旋转体的体积为 b 2 )(12 032 232 38 例 计算广义积分 解 21s 211s i bb i nl i x 21i m 2c o o sl i m 1解 围成由其中计算 2,1, 22122 21 12)( 21 3 )( 21,1: 围立体的体积与求曲面例 222 13 解 将此两曲面的交线222213向 影为0122投影区域这正是该立体在 积分区域 ( 22 ( 22 22( 22 10220d)22(d 写出积分 ,( 的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),(2 10 x . 1 在 极 坐 标 系 下s o 1r ,直线方程为 c i r ,( .)s i n,c 01c o r 计算三重积分 z d x d y d z ，其中 为三个坐标面及平面 1 围成的闭区域 . 解 10 x d z1|),( z )1)(1(21x d 原式 102)1(21曲面上介于平面求圆柱面 0)0(22 0(22 面积微元 2 2面积2s i