截面的几何性质【PPT课件】

附录 截面的几何性质 A、 为与截面的几何形状和尺寸大小有关的几何量，称为 截面的几何性质 。 本章将介绍这些几何性质的定义和计算方法。 拉压： 扭转： 弯曲： z z y I、 、 截面的静面矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 平行移轴公式 目 录 一、截面的静面矩（静矩） 特点： 1、静面矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的 位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静面矩不同。 2、静面矩的数值可正可负，也可以为零。 3、静面矩的单位： 定义： 截面的静面矩和形心位置 AA 截面对 截面对 z y O dA z y 面图形的形心位置 图示为均质等厚薄板，厚度为 ，面积为 A，单位体积的重量为 。设重心为 坐标为 z W W A 为 薄 板 的 总 重 量 ， 将 带 入 上 式（ a） （ b） （ a） （ b） 平面图形的形心坐标公式 ,y A ,y Az A(y AS z d A z AS y d A (推论： ( 1 ) 0 , 则 轴 必 过 截 面 的 形 心 ；( 2 ) , 0若 轴 过 截 面 的 形 心 则 。即： I、 1 y A y AI I I I I z z S 由 此 可 见因为整个矩形截面对 I I I 0z z S I I I I I z z S 故 得例 I、 对其结果进行分析。 2 4 43 8 3 41b h 23 323 321384h b h 例 半径为 z，并确定其形心坐标。 222b y R y解： 取对称轴为 形心必位于 d A b y d y 222 R y d y根据定义： z AS y d A 2202 y d y 2 2 2 20 R R y d R y 323 R22 / 3/2 43R 23d三、组合截面的静面矩和形心位置 组合截面对于某一轴的静面矩就等于该截面的各组成部分对于同一轴的静面矩的代数和，即： 其中： 别代表第 (1 1 2、组合截面的形心坐标公式 中： z、 11 11 100 20 140 20 图示 例 A 1i C 2 0 0 0 1 0 2 8 0 0 9 02 0 0 0 2 8 0 0 解： 1 、两个矩形截面组成。 121212y A 5 6 .7 m m22 0 1 0 0 2 0 0 0 m m102 0 1 4 0 2 8 0 0 m m2 0 7 0 9 0 m m求图示截面对 y、 z y O R 解法 1： 220y A y R y y 2 2 201 y y313R31 3 理 可 得321431 34 2 2 2 2012RR y d R y 练习： y 3同 理 ： z y O r dr rdy A 2200s in d 331 R200s in d r r 惯性矩、惯性积和惯性半径 一、惯性矩与惯性积 惯性矩定义 2 （ 3）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位为 （ 2）惯性矩恒为正值 2 截面对 A截面对 z y O dA z y A（ 1）惯性矩不仅与截面的形状尺寸有关，还与所选坐标轴的位 置有关，同一截面对不同坐标轴惯性矩不同。 惯性积定义 特点 : (1)其值可正、可负，可零。 dy z AA截面对 y、 (2)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为 (3)若截面有一个对称轴，则截面对包含此对称轴的任意一对正交坐标轴的惯性积必为零。 称轴） 0z y O dA z y 性半径 。 工程中常把惯性矩表示为截面的面积与某一长度平方的乘积 , 即 2i或 、惯性半径（下册用到） 惯性半径的常用单位为米（ m）或毫米（ 2 i(截面对其所在平面内任一点的极惯性矩 于该截面对过此点的一对正交坐标轴的惯性矩之和。 三、极惯性矩 定义 2p 22 z Az y O dA z y A 22 z Ap I即（ （ 表明： 112p 求矩形截面对其对称轴 z和 例 ： d A b d y2z AI y d A 2y AI z d A d A h d z四、常用截面惯性矩公式 2/2y d y 312 22 31221即321即 02 图示圆截面对其形心轴 z、 例 解： 432d2 64 方法二：（定义） I y d A 2 2 22 y d y44R 464d 464 于空心圆： 44( 1 )64 例 计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴 z 23 2:3hb y b y h得 23y 23 b y d y y d 2z AI y d A /3 232 / 323y y d 3363 22 / 323y d 363即3 3001 2 1 2 3300112b h 31231201?1?11?则 平行移轴公式 O y z z， C C C Cy z y z y z y I I I ： 、 、 ， 求 、 、2 a A2 b Az y a b A平行移轴公式 证明 :(第二式 ) 坐标关系： , y b z z a Az 222 Ay d A b y d A b d A 2()CA y b d A2 b A(1)两对平行轴中必须有一对为形心轴。 (2)在应用惯性积平行移轴公式时，注意 a、 b 的正负号。 注意： O a A2 b Az y a b A平行移轴公式 C C C Cy z y z y z y I I I ： 、 、 ， 求 、 、2 a A2 b Az y a b A反移轴公式 1 1y z y 、 、1 4h b h b33 4b h b h331 224222222 例 图示截面对形心轴 y、 解 ： (1) 计算三部分对 y、 z 轴的惯性矩 （ 2）计算截面的惯性矩 I I I I I Iz z z I I I I I I I I I I I Iy y y I I 4 II 464d 4 2 26 4 6 4d h d341 2 3 2h b d3 4 2 21 2 3 2 3 2b h d h d 3121244 例 求图示半圆截面对平行于底边的 z。 解： 整个圆截面对 ，则半圆对 464d14412 6 4 1 2 8 虽然 它们都不是半圆截面的形心轴，故不能直接移轴，即 12 228 12 2238 2 222 3 8d 12 22 223822 3 8d d 4 2 2 221 2 8 4 3 8zd d d 12300a100例 求图示截面对形心轴 z、 解： (1) 计算半圆对 14128112 b A故 12 a b A 半 1 22zI b A a b A 12 2zI a A a b A 4 2 2 28 0 1 0 0 8 0 2 1 0 0 1 7 8 01 2 8 8 8 643 4 . 6 8 1 0 m m2317380d1 I 矩半6312 3 4 1 0 8 0 2 0 012 641 2 2 . 7 1 0 m m2 I 矩半(2) 计算 3) 计算 38 0 2 0 0 8 021 2 8 1 2 641 0 . 5 4 1 0 m m643 4 . 6 8 1 0 m 半00a100例 求图示截面对水平 z(过形心 )轴的惯性矩。 解： 可以看成外面的大矩形对 形心坐标： 03 5 0 5 0 0 2 5 0 2 5 0 4 0 0 3 0 03 5 0 5 0 0 2 5 0 4 0 0 利用平行移轴公式，可得外面的大矩形对 同理可得里面的小矩形对 小所以 z I大 小zy1 8 3 .3 m m31 350 50012944 . 4 2 1 0 m m 23 5 0 5 0 0 ( 2 5 0 1 8 3 . 3 ) 大942 . 6 9 1 0 m m31 2 5 0 4 0 012 22 5 0 4 0 0 ( 3 0 0 1 8 3 . 3 ) 9 9 9 44 . 4 2 1 0 2 . 6 9 1 0 1 . 7 3 1 0 m m 练习 求图示截面对水平形心轴 z 的惯性矩。 解： 可以看成外面的大矩形对 形心坐标： 05 0 0 8 0 0 4 0 0 4 0 0 5 5 0 4 2 5 3 6 9 . 4 m 0 8 0 0 4 0 0 5 5 0 zy外面的大矩形对 利用平行移轴公式，可得 3 2 1 0 41 5 0 0 8 0 0 5 0 0 8 0 0 ( 4 0 0 3 6 9 . 4 ) 2 . 1 7 1 0 m 大里面的小矩形对 3 2 1 0 41 4 0 0 5 5 0 4 0 0 5 5 0 ( 4 2 5 3 6 9 . 4 ) 0 . 6 2 1 0 m 小所以 1 0 1 0 1 0 42 . 1 7 1 0 0 . 6 2 1 0 1 . 5 5 1 0 m mz I 大 小练习 求图示截面对水平形心轴 221 2 1 0 02 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0832 0 0 2 0 0 1 0 08 正 4 22001 0 2 . 3 1 0 0 2 0 0 2 0 012 半642 . 8 6 1 0 m m641 3 0 . 6 8 1 0 m zz I 正 半1 0 2 .3 m m641 3 3 . 5 4 1 0 m m则： y 100000000mm z224 2 2221 0 2 . 3 1 0 01 2 8 3 8 8 3d d d d d 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 、惯性矩和惯性积的转轴公式 1z 则截面对 已知： 求： 、 标关系： 1y 121y AI z d A 2c o s s i y d A2 2 2 2c o s s i n 2 s i n c o Az d A y d A y z d A 22c o s s i n s i n 2y z y I co s 1c o s 2 s 22y z y zy y I 22c o s s i n s i n 2y y z y I I 带入上式，整理得 2 1 c o s 2c o s 2 2 1 c o s 22 （ 1c o s 2 s 22y z y zz y I 11s c o s 22z y 同 理 可 得（ （ 111c o s 2 s 22y z y zy y I （ 1c o s 2 s 22y z y zz y I （ 将（ （ 相加，可得 式表明截面对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。 、截面的主惯性轴和主惯性矩 10 之后 由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然会有一对坐标轴的惯性积 00 0则 惯性轴 ，简称 主轴 。截面对主轴的惯性矩称之为 主惯性矩 。 0002ta n 2 0 0主轴位置： 0 0 0y（ 00s c o s 2200 02 21422y z y I I 02 21422y z y I I 主惯性矩： 02ta n 2 由 可 以 得 到2011 ta n 2 2 24z y I020ta n 21 ta n 2 2 224z y I（ （ 此时 恒大于 ，这是由于（ 中负号放在分子上所致。 01 1c o s 2 s 22y z y zy y I （ 1 设 时 有 极 值 ， 则 有 11s 2 c o s 2y z y I 012ta n 2 02t a n 2 而 10说明： 主惯性矩为极值惯性矩 由于截面对过同一点的任一对正交坐标轴的两惯性矩之和为一常数，故上述主惯性矩 是截面对过该点的所有坐标轴的惯性矩中之最大值，而 则为最小值。 0心主惯性轴 可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴 三、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 若 00 0，且交点与截面的形心重合 00称 为 惯形 心 主 性 矩常见截面形心主轴的位置 （简称 形心主轴 ） (1)有两个对称轴的截面 0心） )有一个对称轴的截面 (3)没有对称轴的截面，同样存在一对形心主轴。 (书例 (4)圆截面 z、 确定截面的形心位置，选取一对形心轴为参考轴； 求出截面对参考轴的惯性矩和惯性积； 由（ 解出 值，从而确定形心主轴 利用（ （ ，即可求得截面的形心主惯性矩。 0例 0 试确定图示 计算形心主惯性矩。 90 90 10 200 20 20 I (1) 确定截面的形心位置 由于 ，故 取通过形心 90 90 10 200 20 20 I )求截面对 y、 矩形 I 441 4 6 4 1 0 m m445 7 1 . 5 1 0 m m448 1 0 1 0 m m390 2012 29 0 9 0 2 0 320 9012 25 0 9 0 2 0 0 9 0 5 0 9 0 2 0 矩形 44 2 0 0 6 6 6 . 7 1 0 m 3 44 0 1 0 1 . 6 7 1 0 m 矩形 4I I I I 1 4 6 4 1 0 m 44I I I I 5 7 1 . 5 1 0 m 44I I I I 8 1 0 1 0 m my z y 整个截面对 y、 743 . 5 9 1 0 m m442 5 7 1 . 5 1 0 + 1 . 6 7 1 0 4 7 42 8 1 0 1 0 = 1 . 6 2 1 0 m 故 y、 442 1 4 6 4 1 0 6 6 6 . 7 1 0 741 . 1 4 1 0 m m090 90 10 200 20 20 I 4 6 4 1 0 m 44I 5 7 1 . 5 1 0 m 44I 8 1 0 1 0 m 02ta n 2 747 4 7 42 1 . 6 2 1 0 m 1 4 1 0 m m 3 . 5 9 1 0 m m 因为 分子分母都为负，说明 20应该在第三象限 02 1 1 6 . 4 5740 . 3 3 4 1 0 m m 0 2 21 422y z