广东省广州市2009年普通高中毕业班综合测试数学文科2009.3

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数 学（文 科） 2009.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。 考试用时120分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式, 其中是锥体的底面积, 是锥体的高.如果事件、互斥，那么.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数的最小正周期为 AB.C.D. 2已知全集R，集合，则 A B C D 3已知i（1i）（i为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限4某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至 14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元5已知过、两点的直线与直线平行，则的值为A. B. C. D. 6已知R且，则下列不等式中成立的是 A B C D.7阅读图2的程序框图( 框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“:=”)，若输出的值等于,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A? B. ? C. ? D. ? 8如果命题“且”是假命题，“非”是真命题，那么 A命题一定是真命题 B命题一定是真命题 C命题一定是假命题 D命题可以是真命题也可以是假命题 9.已知平面内不共线的四点满足，则： A. B. C. D. 10在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为A B C D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11. 椭圆的离心率为 .12已知数列的前项和为，对任意N都有，则的值为 ，数列的通项公式 . 13. 一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图3所示，则该几何体的侧面积为 cm. （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为_ .15.（几何证明选讲选做题）已知是圆（为圆心）的切线，切点为，交圆于两点，则线段的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)某校高三级要从3名男生和2名女生中任选3名代表参加学校的演讲比赛.（1）求男生被选中的概率；（2）求男生和女生至少有一人被选中的概率.17. (本小题满分14分)已知的内角所对的边分别为且. (1) 若, 求的值;(2) 若的面积 求的值.18. (本小题满分14分)如图4，是圆柱的母线，是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上异于的任意一点， （1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积的最大值 19. (本小题满分14分)设点、是抛物线上不同的两点，且该抛物线在点、处的两条切线相交于点，并且满足.(1) 求证：；(2) 判断抛物线的准线与经过、三点的圆的位置关系，并说明理由20(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人人数为名（N）.（1）设完成型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；（2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？21. (本小题满分14分)已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且.(1) 求证: 数列是等比数列;(2) 设是数列的前项和, 问是否存在常数,使得对任意N都成立,若存在, 求出的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2009年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共10小题，每小题5分，满分50分 题号12345678910答案BABCBDADDC二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中1415题是选做题，考生只能选做一题第12题第一个空2分，第二个空3分11 12； 13 14 151三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分） （本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解能力）解：从3名男生和2名女生中任选3名代表的可能选法是：；共10种. （1）男生被选中的的情况共有6种，于是男生被选中的概率为. （2）男生和女生至少有一人被选中的情况共有9种，故男生和女生至少有一人被选中的概率为. 16（本小题满分14分） （本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1), 且, . 由正弦定理得， . (2) . . 由余弦定理得， . 18（本小题满分14分） （本小题主要考查空间中线面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：是底面圆周上异于、的一点，且为底面圆的直径， 2分平面，平面，. 4分平面,平面,平面 6分（2）解法1:设,在Rt 中，（0x2， 故（0x2, 即 ,当，即时，三棱锥的体积的最大值为 解法2: 在Rt 中，, . 当且仅当时等号成立，此时. 三棱锥的体积的最大值为. 19（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、直线、导数等基础知识和数学探究，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：由，得，则， 抛物线在点，处的切线的斜率分别为，. ，. 抛物线在点，处两切线相互垂直. （2）解法1：，. 经过三点的圆的圆心为线段的中点，圆心. 抛物线的准线方程为，点到直线的距离为， 经过三点的圆的半径，由于，且，则，.即， .抛物线的准线与经过三点的圆相切 解法2：由（1）知抛物线在点处的切线斜率为， 又 切线所在的直线方程为： 即. 同理可得, 切线所在的直线方程为：. 由,得点的横坐标,纵坐标,即. ，. 经过三点的圆的圆心为线段的中点，圆心.抛物线的准线方程为，点到直线的距离为， 经过三点的圆的半径, .抛物线的准线与经过三点的圆相切 20（本小题满分12分）（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，则完成型零件加工所需时间N，且. （2）生产150件产品，需加工型零件150个， 则完成型零件加工所需时间N，且.设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.令，即，解得. 所以，当时，；当时，.故. 当时，故在上单调递减，则在上的最小值为（小时）； 当时，故在上单调递增，则在上的最小值为（小时）； ，在上的最小值为.答：为了在最短时间内完成生产任务，应取. 21（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力） (1)证法1: 是关于的方程N的两根, 由,得, 故数列是首项为,公比为的等比数列.