2017年全国高考数学考前复习大串讲专题4.3高考中的立体几何问题(含答案)

题型一 求空间几何体的表面积与体积 例 1 (1)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 _. (2)如图，在棱长为 6 的正方体 E， F 分别在 1 4， 3，连结 几何体 体积为 _. 【答案】 (1)12 (2)66 故所求几何体 体积为 66. 【思维升华】 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . (2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差 【跟踪训练 1】 已知球 O 的直径 4， A， B， C 是球 O 球面上的三点， 正三角形，且 30，则三棱锥 P 体积为 _. 【答案】 9 34 题型二 空间点、线、面的位置关系 例 2 (2014课标全国 )如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 面 E 为 中点 . (1)证明： 面 (2)设二面角 D C 为 60， 1， 3，求三棱锥 E 体积 . 【解析】 (1)证明 连结 点 O，连结 因为 矩形，所以 O 为 中点 . 又 E 为 中点，所以 因为 面 面 所以 面 (2)解 因为 面 矩形， 所以 两垂直 . 如图， 三棱锥 E 体积 V 13 12 3 32 12 38 . 【思维升华】 高考对该部分的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一般以解答题的形式出现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有一定的要求，在试卷中也可能以填空题的方式考查空间位置关系的基本定理在判断线面位置关系中的应用 . 【跟踪训练 2】 (2015湖南 )如图，已知四棱台 底面分别是边长为 3 和 6 的正方形， 6，且 面 P， Q 分别在棱 . (1)若 P 是 明： (2)若 面 面角 余弦值为 37，求四面体 体积 . 【解析】 【方法一】 由题设知， 两垂直，以 A 为坐标原点， 在直线分别为 y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为 A(0,0,0)， ,0,6)， D(0,6,0)，,3,6)， Q(6， m,0)，其中 m m 6. (1)证明 若 P 是 P 0， 92， 3 ， 6， m 92， 3 ， 又 (3,0,6)，于是 18 18 0， 所以，即 【方法二】 (1)证明 如图 a，取 中点 R，连结 图 a 因为 梯形 P 是 中点，所以 是由 ， 以 P， R， B， C 四点共面 . 由题设知， 为 A， 所以 面 因为 面 以 面 点 M 作 点 N，连结 二面角 平面角，所以 37，即 37，从而 403 . 连结 面 面 P 知，平面 面 所以 又四边形 正方形，所以四边形 矩形，故 6. 设 t，则 6 过点 1E 点 E，则四边形 矩形，所以 6， 3，因此 3. 于是 63 2，所以 22t. 再由，得 36 403 ，解得 t 2，因此 4. 故四面体 体积 V 13S 13 12 6 6 4 24. 题型三 平面图形的翻折问题 例 3 (2015陕西 )如图 1，在直角梯形 ， 2 ， 1， 2， E 是 O 是 交点 起到 位置，如图 2. (1)证明： 面 (2)若平面 面 平面 平面 角的余弦值 . (2)由已知，平面 面 又由 (1)知， 所以 二面角 平面角， 所以 2 . 图 2 即平面 平面 角的余弦值为 63 . 【思维升华】 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况 折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化 . 【跟踪训练 3】 (2014广东 )如图 (1)，四边形 矩形， 面 1， 2，作如图 (2)折叠，折痕 ， F 分别在线段 ，沿 叠后，点 P 叠在线段 ，并且 (1)证明： 面 (2)求三棱锥 M 体积 . 题型四 线面位置关系中的存在性问题 例 4 (2014四川 )在如图所示的多面体中，四边形 (1)若 明：直线 面 (2)设 D， E 分别是线段 线段 是否存在一点 M，使直线 面 证明你的结论 . 由已知，点 O 为 连结 别为 所以 12 12 因此 连结 而四边形 平行四边形，则 因为直线 面 面 所以直线 面 即线段 存在一点 M(线段 中点 )，使直线 面 【思维升华】 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设 . 【跟踪训练 4】 如图，在三棱柱 边长为 4 的正方形 面 B 3， 5. (1)求证： 面 (2)求二面角 (3)证明：在线段 ，使得 求 【解析】 (1)证明 在正方形 ， 又平面 面 平面 面 面 面 题型五 空间向量与立体几何 例 5 (2015天津 )如图，在四棱柱 棱 面 1， 2， 5，且点 M 和 N 分别为 中点 . (1)求证： 面 (2)求二面角 (3)设 E 为棱 直线 平面 成角的正弦值为 13，求线段 长 . 【解析】 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(2， 0,0)， D(1，2， 0)， ,0,2)， ,1,2)， ,0,2)， ， 2,2)，又因为 M， N 分别为 中点， 得 M 1， 12， 1 ， N(1， 2,1). (3)解 依题意，可设 ，其中 0,1， 则 E(0， ， 2)，从而 ( 1， 2,1)，又 n (0,0,1)为平面 一个法向量， 由已知，得 | n | 11 2 2 2 12 13， 整理得 2 4 3 0，又因为 0,1，解得 7 2， 所以，线段 长为 7 2. 【思维升华】 用向量法解决立体几何问题，可使复杂问题简单化，使推理论证变为计算求解，降低思维难度，使立体几何问题“公式”化，训练的关键在于“归类、寻法” . 【跟