高中数学人教b版必修二同步教案：1.1.7柱、锥、台和球的体积3 _第1页
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人教B版 数学 必修2：柱、锥、台和球的体积(1)教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音gng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504526年祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的缀术他推导球体积公式的方法非常巧妙根据中国算书九章算术中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体V1底面OABC是一个正方形，边长为r(图2-18)高取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2-h2另取一个边长为r的正方体V2(图2-19)，连结OD，OC，OA，锥体O-ABCD记作V3，V2-V3是正方体OD挖去锥体O-ABCD剩下的几何体下面来证明V1=V2-V3设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形PTSM，面积等于r2，截V3的截面是正方形QTRN，面积等于h2(因为QT=OT=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形PQNRSM，它的面积等于r2-h2比较V1与V2-V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2-h2，因此体积相等，即V1=V2-V3祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等积为V4(是未知数)和V1比较，在高h处的截面积CEF是以a为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做 “卡瓦列利原理”(Cavalierisches，Prinzip)卡瓦列利米兰Milan(现意大利城市)人在他的名著连续不可分几何中提出这一原理，这本书出版于1635年（二）长方体的体积（三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等（五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式（七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为 (2)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥B-EFG的体积是平行六面体体积的 (3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为 棱锥的体积是 (5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则 AV1V2=1 BV1V2=21CV1V2=41 DV1V2=81课堂练习：教材第33
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