第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系备课资料素材库

第4节 匀变速直线运动的速度与位移的关系人教版教参补充题1.A、B、C三点在同一直线上，一个物体自A点从静止开始做匀加速直线运动，经过B点时的速度为v，到C点时的速度为2v，则AB与BC两段距离大小之比是（ ）A.14B.13C.12D.11解析：由v2-v02=2ax1，知v2=2ax，2v2-v2=2ax2，则x1x2=13。图2-4-1答案：B2.如图2-4-1所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间t后进入一水平面，再经2t时间静止，则木块在斜面上与在水平面上位移之比为 ，加速度大小之比为 。解析：设木块在运动中最大速度为vm，则x1=vm2t，x2=vm22t，故x1x2=12；由vm=a1t=a22t，知a1a2=21。答案：12 213.有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为2 m/s2，制动时匀减速上升，加速度为-1 m/s2，楼高52 m，求：（1）若上升的最大速度为6 m/s，电梯升到楼顶的最短时间是多少？（2）如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间16 s，上升的最大速度是多少？解析：（1）当电梯先匀加速至最大速度，然后以最大速度匀速运动一段时间最后减速至零用时最少。加速阶段：时间t1=vma1=3 s，位移x1=vm2t1=9 m。减速阶段：时间t2=-vma2=6 s，位移x2=vm2t2=18 m。故匀速阶段用时t3=h-x1-x2vm=52-9-186 s4.17 s。则总时间t=t1+t2+t3=13.17 s。（2）当全程用时16 s时，设最大速度为v，加速阶段：t1=va1=v2，位移x1=v2t1=v24减速阶段:t2=-va2=v，位移x2=v2t2=v22故匀速阶段位移x3 =v（16-t1 -t2 ）=v 16-32v 且x1+x2+x3=52。即v24+v22+16v-32v2=52解得v=4 m/s。答案：（1）13.17 s （2）4 m/s4.一物体做匀变速直线运动，从某时刻开始计时，即t=0，在此后连续两个2 s内物体通过的位移分别为8 m和16 m，求：（1）物体的加速度大小。（2）t=0时物体的速度大小。解析：（1）由x=aT2，知a=xT2=16-822 m/s2=2 m/s2。（2）第1个2 s中间时刻速度vt2=v=82 m/s=4 m/s，故v0=vt2-at2=（4-21） m/s=2 m/s。答案：（1）2 m/s2 （2）2 m/s其他版本的题目广东教育版图2-4-21. 航天飞机着陆时速度很大，可用阻力伞使它减速（图2-4-2）。假设一架航天飞机在一条笔直的水平跑道上着陆，刚着陆时速度为120 m/s，在着陆的同时立即打开阻力伞，加上地面的摩擦作用，产生大小为6 m/s2的加速度。这条跑道至少要多长？解析：v0120 m/s，vt0，a-6 m/s2据vt2-v022ax，得跑道长度xvt2-v022a0-12022-6 m1 200 m答案：1 200 m2.一列火车以10.0 m/s的速度下坡，在下坡路上得到0.20 m/s2的加速度，行驶到坡底端时速度增加到15.0 m/s。求这列火车经过这段下坡路所用的时间及这段坡路的长度。解析：设列车经过这段下坡路所用的时间为t，下坡路的长为x，根据匀变速直线运动规律可得vtv0+at，xv0t+12at2，vt2-v022ax取以上任意两式联立可解得t25 s，x312.5 m。答案：25 s 312.5 m3.某驾驶员手册规定：一辆具有良好制动器的汽车如果以22 m/s的速度行驶，能在57 m的距离内被刹住；如果以13 m/s的速度行驶，相应的制动距离为24 m。假定驾驶员的反应时间以及使用制动器后汽车的加速度对于这两种速度都相同。（1）求驾驶员的反应时间。（2）求制动后汽车的加速度大小。解析：设刹车加速度为a，驾驶员反应时间为t，由v2-v02=2ax，则v1t+-v122a=x1v2t+-v222a=x2将v1=22 m/s，v2=13 m/s，x1=57 m，x2=24 m代入，解式得t=0.76 s，a=-6 m/s2，即加速度大小为6 m/s2。答案：（1）0.76 s （2）6 m/s2图2-4-34.某高速公路边的交通警示牌有如图2-4-3所示的标记，其意义是指车辆的瞬时速度不得超过120 km/h。若车辆驾驶员看到前车刹车后也相应刹车，反应时间是1 s，假设车辆刹车的加速度相同，安全距离是两车不相碰所必须保持的距离的2倍，则车辆行驶在这条公路上的安全距离是多少米？解析：由题意知安全距离x=2v0t=21203.61 m67 m。答案：67 m5.轻轨列车共有6节，每节长度相同。某乘客在站台上的车头位置，当列车从静止开始做匀加速直线运动时，他发现第1节车厢经过他面前所花的时间是6 s，那么全部列车经过他面前需多长时间？尝试用多种方法求解，总结出最快捷的解决办法并与同学进行交流，请写出你的交流成果和心得。解析：方法一：设车不动，人加速运动，每节车长L，加速度为a，则L=12at126L=12at22比较得t2= 6t1=6 6 s。方法二：由比例法知，第1节车厢用时为6 s，则第2节为（ 2-1）6 s，第3节为（ 3- 2）6 s，第6节用时（ 6- 5）6 s，则总时间为6 6 s。来源:答案：6 6 s6.由于扳道工的失误，有两列客运列车都以72 km/h的速度在同一条铁路线上相向而行。已知列车刹车时能产生的最大加速度为0.4 m/s2，为了避免车祸的产生，两列列车的驾驶员至少要在两列车相距多远处同时刹车？解析：v=72 km/h=20 m/s，每列列车的刹车距离xv22a20220.4 m500 m，故至少相距1 000 m处时刹车。答案：1 000 m7.经检测，汽车A以20 m/s的速度在平直公路上行驶时，紧急制动后4.0 s停下。现在汽车A在平直公路上以20 m/s的速度行驶，发现前方18 m处有一货车B正以6 m/s的速度同向匀速行驶。因该路段只能通过一辆车，司机立即制动。关于能否发生撞车事故，某同学的解答过程是：“设汽车A制动后4.0 s的位移为x1，货车B在这段时间内的位移为x2，则：A车的位移x1=vAt=40 m；B车的位移x2=vBt=24 m；两车位移差为40 m-24 m=16 m18 m，故两车相撞。8.一辆汽车沿平直公路从甲站开往乙站，起步阶段的加速度为2 m/s2，加速行驶5 s后匀速行驶2 min，然后刹车，匀减速滑行50 m后正好停在乙站。求这辆汽车从甲站到乙站的平均速度。解析：第一阶段的位移x112a1t1212252 m25 m，末速度v=a1t1=25 m/s=10 m/s第二阶段的位移x2vt210260 m1 200 m第三阶段位移x350 m，时间t32x3v25010 s10 s故平均速度vx1+x2+x3t1+t2+t325+1200+505+120+10 m/s9.4 m/s。答案：9.4 m/s9.下表是国家制定的机动车运行技术标准之一。机动车的类型各检验项目的速度限值v/（kmh-1）来源:空载检验的制动距离x1/m满载检验的制动距离x2/m20302030总质量12 t的汽车4.49.5轻便及二、三轮摩托车4.0转向盘式拖拉机5.46.0 请仔细分析表中的信息，思考 讨论下列问题。（1）表中哪些数据表示速度，哪些数据表示制动距离？两种数据怎样配合？（2）总质量在4.5 t12 t之间的汽车空载时的制动加速度不得小于什么数值？答案：（1）“20”“30”表示速度，其余数据表示制动距离。利用v22ax，可求出制动加速度的最小值。（2）由于v20 km/h509 m/s，据v22ax，知av22x509223.8m/s24.06 m/s2，故制动加速度不得小于4.06 m/s2。山东科技版图2-4-41.如图2-4-4所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速。求汽车加速行驶了18 m时的速度。解析：由v2-v02=2ax，得v= v02+2ax= 82+2118 m/s=10 m/s。答案：10 m/s2.按照规定，汽车应慢速通过隧道。某汽车在过隧道前将速度从25 m/s减小到10 m/s，然后匀速通过100 m长的隧道，整个过程总共用了15 s时间。求汽车减速时的加速度。解析：汽车匀速通过隧道用时t1=x隧v=10010 s=10 s，由题意知减速时间t=t总-t1=5 s，故减速时的加速度a=v-v0t=10-255 m/s2=-3 m/s2，即减速时的加速度大小为3 m/s2，方向与初速度方向相反。答案：-3 m/s2图2-4-53. 两个物体A、B从同一地点同时出发，沿同一直线运动，其速度图象如图2-4-5所示。由图象可知，A、B出发后将相遇几次？除此之外，你还能由该图象提出什么问题？你能解决这些问题吗？答案：由A、B从同一地点同时出发，且v-t图象与t轴包围的面积表示位移可知图2-4-6 行驶中的汽车t=2 s时，xA=xB=10 m，A、B相遇；t=6 s时，xA=xB=30 m，A、B第二次相遇；还可提出：t=1 s和t=4 s时，A、B速度相等。4.如图2-4-6所示，一辆汽车正在笔直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色交通信号便踩下刹车。此后，汽车开始匀减速运动，设汽车做匀减速直线运动的加速度为5 m/s2。开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？解析：设v0的方向为正方向，由题意可知v0=72 km/h=20 m/s，a=-5 m/s2，t=2 s根据公式x=v0t+12at2可得前2 s内汽车行驶的距离x1= 202+12-522 m=30 m再根据公式vt2-v02=2ax可得从开始制动到完全停止汽车行驶的距离x2=vt2-v022a=0-2022-5 m=40 m答案：30 m 40 m教育科学版1.一辆汽车由A站出发，前5 min做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，3 min后停在B站。已知A、B两站相距2.4 km，求汽车在这段路程中的最大速度。解析：汽车在加速和减速阶段的平均速度均为最大速度vm的一半，则x=vm2t总，即2 400=vm2480，得vm=10 m/s。答案：10 m/s2.根据我国机动车运行安全的技术标准，一辆满载时总质量在3.5 t12 t 之间的大型汽车，如行驶速度为30 km/h，其制动距离必须在8.0 m以内。则该车的制动系统产生的加速度至少是多大？若该车制动加速度不变，当它以60 km/h的速度行驶时，它的制动距离为多少米？注：制动距离是指，机动车在一定的初速度下紧急制动（脚接触制动踏板或手触动制动手柄）时起，至机动车停止时止，机动车驶过的距离。解析：（1）由v2-v02=2ax知a=v2-v022x=0-303.6228 m/s2-4.34 m/s2（“-”号表示加速度方向与初速度方向相反）。（2）当以60 km/h速度行驶时，制动距离x=v2-v022a=0-603.6224.34 m32 m或根据- 303.62=2a8和- 603.62=2ax，两式对比得x32 m。答案：4.34 m/s2 32 m图2-4-73.为了测定某辆轿车在平直公路上启动时的加速度（轿车启动时可近似看做是匀加速运动），某人采用在同一底片上多次曝光的方法拍摄了一张照片（如图2-4-7所示）。如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，则这辆轿车的加速度约为（ ）A.1 m/s2B.2 m/s2C.3 m/s2D.4 m/s2解析：由车长4.5 m知：两次曝光时间间隔内车的位移分别为x1=12 m，x2=19.5 m，则由x=aT2知x2-x1=aT2，得a=1.875 m/s22 m/s2。答案：B图2-4-84.如图2-4-8所示是在测定匀变速直线运动加速度的实验中打点计时器打出的纸带，图中A、B、C、D、E、F等是按时间先后顺序标出的计数点（每两个计数点间有4个实验点未画出），现用刻度尺量出AB、EF的长度分别为2.40 cm和0.80 cm，则小车的加速度大小是 m/s2，方向是 。解析：由xm-xn=m-naT2得AB-EF=4aT2，又T=0.1 s。则a=2.4-0.810-240.01 m/s2=0.4 m/s2，方向由F到A。答案：0.4 由F到A上海科技教育版1.国家对某型号汽车运行的安全技术标准如下：汽车载重标准为4.5 t质量12 t空载检测的制动距离（车速20 km/h）3.8 m满载检测的制动距离（车速30 km/h）8.0 m试问：该型号的汽车空载和满载时的制动加速度应该满足什么要求？解析：空载时：v0=20 km/h=509 m/s，vt=0，x3.8 m。令x=3.8 m，又知减速时a10，则0- 5092=2a13.8解得a1-4.1 m/s2由题意知，x3.8 m，故加速度大小a4.1 m/s2。满载时：v0=30 km/h=253 m/s，vt=0，x8.0 m。同理可求得a4.34 m/s2。答案：空载时，a4.1 m/s2；满载时，a4.34 m/s22.在大型的航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射器。已知某型号的战斗机在100 m的跑道上得到30 m/s2的加速度而成功起飞，求该战斗机起飞的速度和加速运动的时间。解析：由vt2-v02=2ax得起飞速度vt= 2ax= 230100 m/s77.5 m/s。加速运动的时间t=va=77.530 s2.6 s。图2-4-9答案：77.5 m/s 2.6 s3.如果物体从某时刻起改做匀减速直线运动，则汽车制动后到停止的滑行过程中，它的v-t图象应该怎样画？答案：如图2-4-9所示。4.一列货车以v1=28.8 km/h的速度在平直铁路上行驶，由于调度失误，其后方有一列客车以v2=72 km/h的速度在同一铁轨上驶来。在相距x0=600 m处客车司机发现货车后立即紧急制动。为使两车不相撞，客车的制动加速度至少多大？解析：设制动加速度为a时，后方列车刚好追上前方列车，此时两车速度均为8 m/s，则有v1=v2+at，x1=v1t，x2=v2t+12at2，x2=x1+x0联立代入数值解得a=-0.12 m/s2图2-4-10答案：0.12 m/s25.如图2-4-10所示，甲、乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以速度20 m/s做匀速运动，乙车原来速度为4 m/s，从距甲车128 m处以大小为1 m/s2的加速度做匀加速运动，问：乙车经多少时间能追上甲车？解析：设经时间t乙车追上甲车。在这段时间内甲、乙两车位移分别为x甲=v甲t=20t，x乙=v乙t+12at2=4t+12t2追上时的位移条件为x乙=x甲+x0，即4t+12t2=20t+128整理得：t2-32t-256=0，解得t1=38.6 s39 s，t2-6.6 s（舍去）。答案：39 s上海科技教育版教参补充题1.“附着系数”是交通方面的一个专业术语，表示汽车轮胎在路面上附着的能力，附着系数越低，表示这种能力越差。当汽车制动（车轮滑动）时，能够产生的加速度的大小就等于自由落体加速度与滑动附着系数的乘积。下表是几种路面的平均滑动附着系数。试由下表分析，同一种路面，干路和湿路相比，哪种更容易停车？如果要求汽车具有相同的制动距离，那么，在干燥的沥青路面允许以最大速度60 km/h行驶的汽车，在压紧的雪地正常行驶时的速度不得超过多少？（不考虑反应时间）路面滑动附着系数沥青或混凝土（干）0.75沥青（湿）0.450.6混凝土（湿）0.7砾石0.55土路（干）0.65土路（湿）0.40.5雪（压紧）0.15冰0.07解析：由于干燥路面的附着系数更大，汽车制动时产生的加速度也更大，更易停车。在干燥的沥青路面上，汽车制动时产生的加速度的大小为a1=0.7510 m/s2=7.5 m/s2；在雪地上制动时能产生的加速度大小为a2=0.1510 m/s2=1.5 m/s2，v1=60 km/h16.7 m/s。制动距离x1=0-v02-2a1=16.7227.5 m18.6 m。在雪地上行驶时制动距离x2=x1=18.6 m。由0-v22=-2a2x2得允许的最大初速度v2= 2a2x2= 21.518.6 m/s7.5 m/s=27 km/h。答案：干燥路容易停车 27 km/h2.一辆汽车以90 km/h的速度在公路上正常行驶，在其前方约60 m（一般教室长度的67倍）处有一个小孩突然快速横穿公路，司机发现后立即采取紧急制动措施。小孩的速度约为2 m/s，要穿过的路宽为9 m。试查找有关资料，说明这个小孩的行为是否有危险。解析：司机的反应时间约为t0=0.7 s，制动时的加速度大小约为a=7 m/s2，v0=90 km/h=25 m/s。反应时间内的行车距离x0=v0t0=250.7 m=17.5 m，制动过程的行车时间t1=0-v0-a=257 s3.57 s，制动过程的行车距离为x1=v02t1=2523.57 m44.6 m，x=x0+x1=17.5 m+44.6 m=62.1 m。由此可知，汽车在停下来之前，已经到了小孩过公路的位置。汽车停止前运动的总时间t=t0+t1=0.7 s+3.57 s=4.27 s。小孩要穿过公路所需要的时间为92 s=4.5 s。由此可知，即使到汽车停下来时，小孩还不能安全越过公路。所以，这个小孩的行为很危险。答案：危险3.一个自行车运动员在到达终点前进入了冲刺阶段。冲刺时的初速度为11.5 m/s，并以0.5 m/s2的加速度加速行驶了7 s。求：（1）运动员加速行驶的末速度。（2）运动员加速后，将保持这个速度到达终点。已知他开始加速时距终点300 m，那么，这个加速过程将使他的成绩提高多少？（3）在这个运动员开始加速时，另一个运动员在他前面5 m处，并一直以11.8 m/s的速度匀速前进。当这个运动员到达终点时，超过那名运动员多远？解析：1vt=v0+at=11.5 m/s+0.57 m/s=15 m/s。（2）如果不加速，所用时间t1=30011.5 s26 s，加速过程的位移x1=v0t+12at2=11.57 m+120.572 m=92.75 m，加速之后的路程所用的时间为t2=300-92.7515 s13.8 s，所以，成绩提高了t1-t-t2=26 s-7 s-13.8 s=5.2 s。（3）在t+t2的时间内，原来前一名运动员前进的距离为11.8（7+13.8） m245 m，超越那名运动员的距离为300 m-5 m-245 m=50 m。答案：（1）15 m/s （2）5.2 s （3）50 m4.啄木鸟的头骨中有特殊的结构可以保护其大脑免受剧烈的冲击。啄木鸟在啄木时，它的头部的速度为0.6 m/s，并在2 mm的距离内停下来，假设这一过程是做匀减速运动。（1）计算这个减速运动的加速度。（2）计算这个减速过程持续的时间。（3）由于其头脑的特殊结构的缓冲，在这个减速过程中，它的大脑的移动距离为4.5 mm，求其大脑的加速度。解析：（1）由vt2-v02=2a1x1得a1=-v022x1=-0.6220.002 m/s2=-90 m/s2。（2）t=0-v0a=-0.6-90 s=6.710-3 s。（3）由vt2-v02=2a2x2得a2=-v022x2=-0.6224.510-3 m/s2=-40 m/s2。 a b 图2-4-11 图2-4-12答案：（1）-90 m/s2 26.710-3 s （3）-40 m/s25.某同学设计了一个实验：用焊有细钢针的音叉（固有频率为f0），熏有煤油灯烟灰的均匀金属片和刻度尺来测定物体下落的加速度。他的实验步骤有：（1）将熏有煤油灯烟灰的均匀金属片静止悬挂，调整音叉的位置，使音叉不振动时，针尖刚好能水平接触金属片，如图2-4-11所示。（2）轻敲音叉，使它振动，同时烧断悬线，使金属片自由下落。（3）从金属片上选取针尖划痕清晰的一段，从某时刻起，测出针尖每次经过平衡位置的坐标x1、x2、x3、。你认为该实验能够测出自由下落的加速度吗？如果“不能”，请说出理由。如果“能”，请简单说明实验原理。在图中标出x2、x3、x4、x5、x6、x7的位置坐标（单位:mm），并尽可能准确地画出实验图线（图中x1=0）。答案：能。针尖振动过程中经过平均位置的时间间隔为t=12f0。因此，x=x3-x2-x2-x1=x4-x3-x3-x2=x5-x4-x4-x3=x6-x5-x5-x4=x7-x6-x6-x5=gt2，所以g=xt2，x2=4 mm；x3=10 mm；x4=18 mm；x5=28 mm；x6=40 mm；x7=54 mm。实验的图线如图2-4-12所示。补充资料一、“追及”“相遇”的特征“追及”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置。常见的情形有三种：1.做初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的做匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙。2.匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即v甲=v乙。此临界条件给出了一个判断此种追赶情况能否追上的方法，即可以通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析。具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲v乙，则追上；若v甲v乙，则追不上。如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小。3.匀减速运动的物体追同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种类似。两物体恰能“相遇”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相等。二、解“追及”“相遇”问题的思路1.根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图。2.根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程。注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。3.由运动示意图找出两物体位移间的关联方程。4.联立方程求解。三、追及和相遇问题的三种常用解法1.物理分析法:即通过对物理情景和物理过程的分析，弄清各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；找到临界状态和临界条件，再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据各物体的运动特点找出运动时间的关系。2.数学分析方法:因为在匀变速直线运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求解，思路有二:其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离yf（t），若对任何时刻t，均存在yf（t）0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得yf（t）0，则这两个物体可能相遇；其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）0，若方程f（t）0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f（t）0存在正实数解，则说明这两个物体可能相遇。3.图象分析法:其思路是用v-t图象求解，分别作出两个物体的v-t图象，利用图象分析比较速度v及间距的变化情况，该法是“物理分析法”的辅助方法。四、分析“追及”“相遇”问题应注意的几点：1.分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：（1）“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。（2）“两个关系”是时间关系和位移关系，其中通过画草图找到两物体位移之间数量关系，是解题的突破口。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动。3.仔细审题，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件。例1 平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5 m/s2的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200 m处以5 m/s的速度做同方向的匀速运动，问：（1）甲用多长时间能追上乙?（2）在追赶过程中，甲、乙之间的最大距离为多少?图2-4-13解析：（1）设甲经过时间t追上乙，则有x甲=12a甲t2，x乙=v乙t