第十篇 第2讲 排列与组合

第2讲 排列与组合A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2012全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种 B18种 C24种 D36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有AA112(种)不同的排列方法答案A2A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A.24种 B.60种 C.90种 D.120种解析可先排C、D、E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A60(种)答案B3如果n是正偶数，则CCCC()A2n B2n1 C2n2 D(n1)2n1解析(特例法)当n2时，代入得CC2，排除答案A、C；当n4时，代入得CCC8，排除答案D.故选B.答案B4某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A.42 B.30 C.20 D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA12种排法；若两个节目不相邻，则有A30种排法由分类计数原理共有123042种排法(或A42)答案二、填空题(每小题5分，共10分)5(2013汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有_种情况解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有2213种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有2317种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有33763种情况答案636(2013西安模拟)从3，2，1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c的取值，问共能组成_个不同的二次函数解析a，b，c中不含0时，有A个；a，b，c中含有0时，有2A个故共有A2A294个不同的二次函数答案294三、解答题(共25分)7(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C120种选法(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C252种选法(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选有CC672种选法(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行所以有CCCC596种选法(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有CC种选法第2步，选2男1女补足5人有CC种选法第3步，为这3人安排工作有A方法由分步乘法计数原理，共有CCCCA12 600种选法8(13分)直线x1，yx，将圆x2y24分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法故共有CC(4CC)260种不同的涂色方法法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法由分类加法计数原理，共有CACCCACA260种不同的涂色方法B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()A576种 B720种C864种 D1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A种排法，所以共有A3A864种排法答案C2(2012山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有CCC64种，若2张同色，则有CCCC144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有CCCC192种，乘余2张同色，则有CCC72种，所以共有6414419272472种不同的取法故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3(2013深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有_种解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法因此，共有不同的出牌方法AAACAACA860(种)答案8604小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有_种解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法答案20三、解答题(共25分)5(12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有CCC6 936(种)；(4)方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有CCCCCCCC14 656(种)方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C(CC)14 656(种)6(13分)在m(m2)个不同数的排列p1p2pm中，若1ijm时pipj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列(n1)n(n1)321的逆序数为an.如排列21的逆序数a11，排列321的逆序数a23，排列4 3