高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）学案 新人教a版必修4

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)【学习要求】1了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期3掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性【学法指导】1在函数的周期定义中是对定义域中的每一个x值来说，对于个别的x0满足f(x0T)f(x0)，并不能说T是f(x)的周期例如：既使sinsin 成立，也不能说是f(x)sin x的周期2判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 2正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k) ，cos(x2k) 知ysin x与ycos x都是 函数， 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.3正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数ysin x与余弦函数ycos x的定义域都是 ，定义域关于 对称(2)由sin(x) 知正弦函数ysin x是R上的 函数，它的图象关于 对称(3)由cos(x) 知余弦函数ycos x是R上的 函数，它的图象关于 对称.探究点一周期函数的定义一般地，对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期(1)证明函数ysin x和ycos x都是周期函数答sin(x2)sin x，cos(x2)cos x，ysin x和ycos x都是周期函数，且2就是它们的一个周期(2)满足条件：f(xa)f(x)(a为常数且a0)的函数yf(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由答f(xa)f(x)，f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)f(x2a)f(x)函数yf(x)是周期函数，且2a就是它的一个周期探究点二最小正周期如果非零常数T是函数yf(x)的一个周期，那么kT(kZ且k0)都是函数yf(x)的周期(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(kZ，且k0)一定也是周期例如，正弦函数ysin x和余弦函数ycos x的最小正周期都是 ，它们的所有周期可以表示为： (2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期请你写出符合上述特征的一个周期函数： .(3)证明函数的最小正周期常用反证法下面是利用反证法证明2是正弦函数ysin x的最小正周期的过程请你补充完整证明：由于2是ysin x的一个周期，设T也是正弦函数ysin x的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有 .令x，代入上式，得sinsin 1，又sin ，所以 .另一方面，当T(0,2)时， ，这与 矛盾故2是正弦函数ysin x的最小正周期同理可证，余弦函数ycos x的最小正周期也是2.探究点三函数yAsin(x)(或yAcos(x)(A0)的周期证明是函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)的最小正周期答由诱导公式一知：对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(0)是周期函数，就是它的一个周期由于x至少要增加个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，是函数f(x)Asin(x)的最小正周期同理，函数f(x)Acos(x)也是周期函数，最小正周期也是.探究点四正、余弦函数的奇偶性正弦曲线余弦曲线从函数图象看，正弦函数ysin x的图象关于 对称，余弦函数ycos x的图象关于 对称；从诱导公式看，sin (x) ，cos(x) 均对一切xR恒成立所以说，正弦函数是R上的 函数，余弦函数是R上的 函数【典型例题】例1求下列函数的周期(1)ysin (xR)；(2)ycos(1x)(xR)；(3)y|sin x| (xR)解(1)方法一令z2x，xR，zR，函数f(z)sin z的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数f(z)sin z(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数ysin (xR)的周期是.方法二ysin(xR)的周期为.(2)设f(x)cos(1x)，则f(x)cos(x1)cos(x1)2cos(x2)1cos(x2)1cos(x1)f(x2)f(x)，从而函数ycos(1x)(xR)的周期是2.(3) 作出y|sin x|(xR)的图象由图象可知，y|sin x|(xR)的周期为.小结对于形如函数yAsin(x)，0时的周期求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解跟踪训练1求下列函数的周期：(1)ycos 2x；(2)ysin；(3)y|cos x|.例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值解f(x)的最小正周期是，ffff(x)是R上的偶函数，ffsin .f.小结解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内跟踪训练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f 的值例3判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).小结判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(x)与f(x)之间的关系跟踪训练3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)cosx2sin x；(2)f(x).1函数ysin(4x)的周期是()A2 B C D2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2x