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第三章 状态方程的解 3.1 线性时不变（LTI)系统齐次状态方程的解 3.2 矩阵指数 3.3 线性时不变系统非齐次状态方程的解 3.4 线性时不变系统的状态转移矩阵 3.5 线性时变系统状态方程的解 3.6 连续系统的时间离散化 3.7 线性离散系统状态方程的解 引言 对线性系统动态性能进行定量分析实质上是求 解其动态数学模型方程并分析解的性质，有传递函 数法和状态空间分析法两种方法。状态空间分析法 是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的 微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内 部状态关系的动态数学模型状态方程，运用矩 阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究 系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理 论的主要任务之一。 线性定常系统(LTI System)在输入u=0时，由初 始状态引起的运动称为自由运动，其可用式（3.1.2） 所示的齐次状态方程描述，即： （3.1.2） 式中 x(t) : 线性定常系统的n维状态向量； x(t0): n维状态向量在初始时刻t=t0的初值； A : 线性定常系统的nn维系统矩阵。 3.1 线性时不变（LTI)系统 齐次状态方程的解 其中控制输入u=0。它的解x(t)(其中tt0）称为自 由运动的解或零输入响应。 齐次状态方程： 1.若A为标量，有： 初始时刻 t0=0, 则 2.若A为方阵： 由1知，当A=a时，有指数函数: 类似的，对一般的矩阵A可以定义矩阵指数函数： 绝对一致收敛级数 称为矩阵指数矩阵级数注： 【结论1】 LTI系统的零输入响应xou(t),即系 统自治状态方程 的解具有如下表达式： （3.1.2） （3.1.4） 证明：设自治方程（3.1.2）的解为如下所示的向量 幂级数，即 将（1）代入式（3.1.2），得 若所设的解为真实解，则(2)式两边同幂次项系 数应相等，即 （1） （2） 将初始条件 代入式（1）,得 ， 则自治方程的解为 （3） 式（3）中，I为n阶单位矩阵。定义式（3）括号中 的n阶矩阵无穷级数为矩阵指数 ，即 式中,规定 。 则式（3.1.2）的解可用系统矩阵A的矩阵指数表达为 （3.1.4） 式（3.1.4）表明，线性定常系统在无输入作用 即当 时，任一时刻t的状态x(t)是由起始 时刻t0的初始状态x(t0)在(t-t0)时间内通过矩阵指数 演化而来的。鉴于此，将矩阵指数称为状态 转移矩阵，并记为 状态转移矩阵是现代控制理论最重要概念之一， 由此可将齐次状态方程的解表达为统一形式，即 它的物理意义是：自由运动的解仅是初始状态的 转移，状态转移矩阵包含了系统自由运动
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