2018届高三数学（理）高考总复习：板块命题点专练（十二） Word版含解析

板块命题点专练（十二） 命题点 向量法求空间角及应用 命题指数： 难度：中 题型：解答题 1 (2015全国卷 )如图 ， 长方体 1 16， 10， 8， 点 E， 1 4过点 E， 与此长方体的面相交 ， 交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求直线 所成角的正弦值 解： (1)交线围成的正方形 (2)作 垂足为 M， 则 4， 8 因为四边形 所以 10 于是 6， 所以 10 以 的方向为 建立如图所示的空间直角坐标系D 则 A(10,0,0)， H(10,10,0)， E(10,4,8)， F(0,4,8)， (10,0,0)， (0，6,8) 设 n (x， y， z)是平面 则 n 0，n 0，即 10x 0， 6y 8z 0，所以可取 n (0,4,3) 又 ( 10,4,8)， 故 |n， | |n |n| | 4 515 所以 515 2 (2014全国卷 )如图 ， 四棱锥 P 底面 平面 (1)证明： 平面 (2)设二面角 D 为 60， 1， 3， 求三棱锥 E 解： (1)证明：连接 ， 连接 因为平面 所以 又 所以 因为 平面 面 所以 平面 (2)因为 平面 平面 所以 如图 ， 以 的方向为 | |为单位长 ， 建立空间直角坐标系 A 则 D(0， 3， 0)， E 0， 32 ， 12 ， 0， 32 ， 12 设 B(m,0,0)(m0)， 则 C(m， 3， 0)， (m， 3， 0) 设 (x， y， z)为平面 则 C 0，E 0，即 3y 0，32 y12z 0，可取 3m， 1， 3 又 (1,0,0)为平面 由题设 | 12， 即 33 412， 解得 m 32 因为 所以三棱锥 E 2 三棱锥 E 13 12 3 32 12 38 3 (2016山东高考 )在如图所示的圆台中 ， 圆 的直径 ， 母线 (1)已知 G， C， 求证： 平面 (2)已知 122 3， 求二面角 F 的余弦值 解： (1)证明：设 ， 连接 在 因为点 G， E， 所以 又 所以 在 因为 H， B， 所以 又 I， B， 所以平面 平面 因为 平面 所以 平面 (2)法一： 连接 ， 则 平面 又 且 的直径 ， 所以 以 建立如图所示的空间直角坐标系 O 由题意得 B(0,2 3， 0)， C( 2 3， 0,0) 过点 M ， 所以 3， 可得 F(0， 3， 3) 故 ( 2 3， 2 3， 0)， (0， 3， 3) 设 m (x， y， z)是平面 由 m 0，m 0，可得 2 3x 2 3y 0， 3y 3z 0. 可得平面 m 1， 1， 33 因为平面 n (0,0,1)， 所以 m， n mn|m|n| 77 ， 所以二面角 F 的余弦值为 77 法二： 如图 ， 连接 ， 过点 M ， 则有 又 平面 所以 平面 可得 3 过点 N ， 连接 可得 从而 的平面角 又 的直径 ， 所以 5 62 从而 422 ， 可得 77 所以二面角 F 的余弦值为 77 4 (2016天津高考 )如图 ， 正方形 ， 四边形 平面 平面 点 2 (1)求证： 平面 (2)求二面角 O 的正弦值； (3)设 且 23求直线 解： 依题意 ， 平面 如图 ， 以 分别以 ， ， 的方向为 依题意可得 O(0,0,0)， A( 1,1,0)， B( 1， 1， 0)， C(1， 1， 0)，D(1,1,0)， E( 1， 1,2)， F(0,0,2)， G( 1,0， 0) (1)证明： 依题意 ， (2,0,0)， (1， 1,2) 设 (平面 则 D 0，F 0，即 20，20，不妨取 1， 可得 (0,2,1) 又 (0,1， 2)， 可得 0 又因为直线 面 所以 平面 (2)易证 ( 1,1,0)为平面 依题意 ， (1,1,0)， ( 1,1,2) 设 (平面 则 F 0，F 0，即 0， 20， 不妨取 1， 可得 (1， 1,1) 因此有 ， | 63 ， 于是 ， 33 所以 ， 二面角 O 的正弦值为 33 (3)由 23得 25因为 (1， 1,2)， 所以 25 25， 25，45 ， 进而有 H 35， 35， 45 ， 从而 25， 85， 45 因此 ， | 721 所以直线 21 5 (2016全国甲卷 )如图 ， 菱形 ， 5，6， 点 E， D， 54， 将 D 10 (1)证明： D H 平面 (2)求二面角 B D A 解： (1)证明：由已知得 又由 得 故 因此 从而 D H 由 5， 6， 得 4 由 得 14 所以 1， D H 3 于是 D 32 12 10 D 故 D H 又 D H 而 H， 所以 D H 平面 (2)如图 ， 以 的方向为 建立空间直角坐标系 H 则 H(0,0,0)， A( 3， 1,0)， B(0， 5,0)， C(3， 1,0)， D (0,0,3)， 故 (3， 4,0)， (6,0,0)， (3,1,3) 设 m (平面 的法向量 ， 则 m 0，m 0即 340，330，所以可取 m (4,3， 5) 设 n (平面