方差分析和试验设计.doc

目 录一、试验设计的概念-1（一）试验设计的基本概念-11.试验设计在产品质量形成过程中的重要性-12.试验设计与质量管理-13.试验设计常用术语-1（二）试验设计的基本类型-4二.方差分析-5（一）单因素方差分析-61.单因素方差分析的方法-62.等试验次数的单因素方差分析-73.不等试验次数的单因素方差分析-9（二）双因素方差分析-111.有重复试验的双因素方差分析-112.无重复试验的双因素方差分析-15三、单因子优选法-17（一）平分法-17（二）黄金分割法-18（三）均分法-19（四）分数法-20四、正交试验设计-20（一）概述-201.概念-202.正交试验设计的优点-213.正交试验设计的用途-21（二）正交表-211.正交表的表示方法及其各种符号的含义-212.正交表的类型-223.正交表的特点-22（三）正交试验设计的应用程序-231.用正交表安排试验-232.试验结果的直观分析-24（四）有交互作用的正交试验设计-261.交互作用正交表法-262.活动水平法-28（五）水平数不等的正交试验设计-311.直接选用混交表-312.拟水平法-32（六）多指标的正交试验设计-331.综合平衡法-332.综合评分法-36（七）正交试验的方差分析、贡献率分析及过程平均-381.等水平正交试验的方差分析-382.水平不等正交试验的方差分析-41（八）易出现问题及注意事项-43第十三节 方差分析和试验设计一、试验设计的概念（一）试验设计的基本概念1.试验设计在产品质量形成过程中的重要性产品质量的好坏在很大程度上是由设计所决定的。为了提高产品质量、实现产品的设计要求，在产品质量的形成过程中，从确定产品的市场需求、开发设计、工艺试验、采购供应、生产制造、检验、市场预测等阶段，都离不开试验。在激烈的市场竞争中，谁的产品捷足先登，谁就能首先强占市场；谁的产品质量好、价格便宜，谁就能占有较大的市场份额。进行试验研究最需要的是时间和经费，产品越新、越复杂、质量要求越高，通过试验进行科学判断并保证产品试验一次成功的必要性就越大。在新产品的开发设计过程中，各阶段的各种试验是产品可靠性早期报警的一种重要手段。同时各种试验也是客观评价产品设计的方法。试验的结果和资料是设计评审的内容和依据之一。因次试验设计是产品质量形成过程中质量管理的重要一环。2.试验设计与质量管理试验设计就是根据试验目标，对试验的方案及试验数据的分析所作的计划和安排，并按安排进行试验的过程。设计试验的目的是如何又快、又好、又省地进行课题研究，并取得好的效果，高的效益，实现试验的高效化。要达此目的，通常要解决以下四个问题：一是在产品质量形成的什么阶段进行试验，试验的对象是什么；二是采用什么试验装置和测试方法；三是如何选择产品质量的特性值；四是试验设计方法如何选择。以上四个问题中，前三个问题属于专业技术问题，应由相应的专业技术加以解决。而对试验设计方法的研究，则属于通用技术，是质量管理的范畴。质量管理中的试验方法虽然千差万别，但共同的特点是根据试验的目的，分析试验因素对所试验质量特性的影响，寻找适宜的试验条件组合。质量管理中所研究的试验设计方法，一般具备两个性质：一是试验是从诸因素中有意识地选出若干因素，通过试验研究它们对质量特性的影响；二是试验过程中各因素的取值和试验结果（即质量特性值）是有波动的，即在相同的条件下重复试验的因素和结果是不完全相同的。一个好的试验设计可以通过少量试验次数获得较多的信息，尽快达到试验目的。3.试验设计常用术语指标。指标就是试验要考察的结果（质量特性值），一般用x、y、z表示。能够用定量（或计量）、计数表示的试验指标叫定量指标，如纯度、精度、硬度、合格率、合格数、收率等；不能用数量表示的试验指标叫定性指标，如颜色、舒适度、美观度等。因子和水平。因子又叫因素，是指对试验指标可能产生影响的原因。因子是在试验中加以考察的重点影响因素。一般用a、b、c、d等表示。水平又叫位级，是指因子在试验中所处的状态或条件。常用a1、a2等表示。试验中任何一项选取因子及水平的工作是一个实际问题，应根据现有生产工艺、专业理论知识，加以确定。因素的确定对于确定的因素要能够定量控制，应根据专业生产技术的要求进行选取，如果在试验中漏掉了重要的因素，就不可能得到最优结果。因此对凡是可能起作用，或情况不明，或意见有分歧的因素都可以安排在试验中进行考察。如果有的试验需要的费用较大、时间较长、不可能多做试验时，也可以在试验计划中只考察主要因素。对于因测试技术不完备测不出数值的因素、虽能测出数值但不具备控制手段、不能把因素控制在指定水平上，或用专业技术知识能够肯定其作用不显著的因素，就不要将其安排在试验中。水平个数及其用量的确定对于水平的个数的确定，对某些因素来说是自然形成的，如“品种”、“产地”、“顺序”。而另一些因素具有连续变化的特点，如温度、时间、加入量、配比等，这些因素只有用量范围的限制并无水平个数的约束，究竟取几个水平应由试验的目的和性质而定。一般为了寻求试验指标随因素用量的变化趋势至少应取不少于3个水平，只有在特殊情况下取4个以上水平。对因素水平用量的选取，首先应根据专业技术知识估计因素用量的取值范围，再用均分法或类似的方法确定因素水平用量。因素水平的具体选择并不遵循特定的原则，应当由实际问题而定。为了能看出试验结果的差别，不同的水平应适当拉开。因子水平之间的搭配称为水平组合，或试验组合、工艺组合。偏差偏差又称离差。根据试验的目的，偏差可区分为：与目标值（x0）的偏差和与平均值（）的偏差。在质量管理中按引起偏差的原因又将偏差分为系统偏差和随机偏差。条件偏差：由于观测条件（或参试因素）不同引起试验结果的差异，称之为系统偏差（或条件偏差）；随机偏差：由于偶然因素的干扰而造成的试验结果的差异，称之为随机偏差。偏差平方和与自由度由于偏差的数值有正、负、零，为消除数值正、负的影响，常采用偏差平方和表征试验观测数据的分散程度，一般用st表示。偏差平方和有两种情况：有目标值时。st=（x1x0）2+（x2x0）2+（xnx0）2=，（i=1，2，n）式中，st为总偏差平方和，即总变差；n为独立的平方个数，称为自由度。无目标值，但存在平均值时。st=（x1）2+（x2）2+（xn）2=式中，st为偏差平方和；n为观测数据的个数。虽然式中平方个数为n，但其自由度为n1。这是因为n个偏差之间存在着关系式（x1）+（x2）+（xn）=0而失去了一个独立的平方和数据的缘故。因此，若自由度记为f，则对n个观测数据，与目标值x0的偏差平方和的自由度f=n；与平均值的偏差平方和的自由度f=n1。主效应和交互作用主效应：某因子各水平所在的水平组合试验观测值的平均值之间的诸差值，称为该因子的主效应（或效应）。交互作用：一个因子和另一个因子在不同水平上的主效应不同，则称这两个因子之间存在交互作用。例1.13-1 在四块面积相同的大豆试验田用不同方式施以氮肥、磷肥，大豆亩产的结果如表1.9-1。表1.13-1 农田施用氮肥、磷肥试验 单位： 磷肥氮肥aa1=0a2=3a1a2bb1=0150（1）190（a）40b2=4180（b）300（ab）120b1b230110施用磷肥的主效应：a =（ab+a-b-1）/2 =（300+190-180-150）/2=80施用氮肥的主效应；b =（ab+b-a-1）/2 =（300+180-190-150）/2=70交互作用的效应：ab =（ab-a-b+1）/2 =（300-190-180+150）/2=40以上说明单独施用磷肥的效应a1 a2=3300275250225200175150b2=4ypb1=0好于单独施用氮肥的效应，而同时施用磷肥和氮肥的效应存在着交互作用。为了直观表示两因素有无交互作用，对表1.13-1的数据作图如图1.13-1所示。若两条直线不平行，则说明两因素有交互作用，若两条直线平行，则说明两因素无交互作用。 图1.13-1 a和b交互作用图重复试验 重复试验是指在相同条件下进行若干次试验，以考察试验模式的真实性。随机化随机化就是在试验中，不同的水平组合的试验次序必须是随机的。（二）试验设计的基本类型1.单因子试验法 即在安排试验时，只考虑一个对试验目标影响的因子，其它因子保持不变，而在估计的包含最优试验点范围内寻求最合适的试验点，以得到优化试验目标的试验方法。下面将详细介绍单因子试验法的应用程序。2.多因子试验法全面试验法即对各因子各水平的所有水平组合都进行试验，比较试验结果后寻找最好的因子水平组合。若m个因子，每个因子有n个水平，则全面试验的次数为mn。例1.13-2 3因子3水平的27次全面试验设计见表1.9-2。表1.13-2 3因子3水平的全面试验 c bac1c2c3b1b2b3b1b2b3b1b2b3a1a1b1c1a1b2c1a1b3c1a1b1c2a1b2c2a1b3c2a1b1c3a1b2c3a1b3c3a2a2b1c1a2b2c1a2b3c1a2b1c2a2b2c2a2b3c2a2b1c3a2b2c3a2b3c3a3a3b1c1a2b2c1a2b3c1a3b1c2a3b2c2a2b3c2a3b1c3a2b2c3a2b3c3全面试验的优点是可找到最好的因子水平组合，缺点是试验的次数太多，因此很少采用。单因子轮换法只改变一个因子的水平而其它因子则固定在一个水平上，比较试验结果找到该因子的最好水平后将其固定，再用此法轮换试验寻找其它因子的最好水平。例1.13-3 3因子3水平的单因子轮换法设计见表1.9-3。表1.13-3 3因子3水平的单因子轮换试验abc试号试验条件试验结果试号试验条件试验结果试号试验条件试验结果1a1b1c14a2b1c17a2b3c12a2b1c1最好5a2b2c18a2b3c2最好3a3b1c16a2b3c1最好9a2b3c3单因子轮换法的优点是可用较少的试验次数找到好的因子水平组合，缺点是因子水平组合不充分，当因子水平组合有交互作用时，可能不是最好因子水平组合。双因子试验设计将在方差分析中介绍。拉丁方设计法拉丁方设计法是英国著名统计学家费歇于30-40年代发明的。拉丁方是一个含有m行和m列，有m2个2因子2水平组合单元的方阵，拉丁方设计法就是在这个方阵中再安排另一个含有m个水平因子的设计方法。通常将该因子称为处理数。拉丁方设计法的使用条件是：行数、列数和处理数都必须相等；行数、列数和处理数因子之间必须无交互作用；处理数因子列的排列，在换行、换列时，水平的间隔差为1，本行、本列的顺序连续。例1.13-4 为检查3种型号的洗衣机，在3种水温的条件下，使用3种（a、b、c）不同洗涤剂时的洗涤效果，用拉丁方设计的试验方案如表1.13-4。表1.13-4 例1.13-4洗涤效果的拉丁方试验设计 区组2 方区组1 案洗衣机水温11a1b1c22b2c2a33c3a3b拉丁方设计法可有条件的安排3个因子的试验，可用较少的试验次数找到好的因子水平组合；缺点是当因子和水平增加时，试验次数急剧增多，使试验周期过长，甚至次数多的无法使用，而且当有交互作用时不能使用。正交试验设计法。将在本章详细介绍。二.方差分析产品质量的波动是永恒的，但波动是异常波动还是正常波动是可以区分的。在进行质量决策时，我们根据试验或观测得到的数据结果，分析是哪一种或哪几种因素对质量特性的差异有显著影响？各种因素之间有无交互作用？对于这些问题的回答，方差分析可提供强有力的统计分析方法。方差分析是分析试验数据异常性质的一种数理统计方法。为了确定试验因素的作用，把系统误差和随机误差用偏差平方和的形式予以区分和比较，这就是方差分析的实质。（一）单因素方差分析所谓单因素方差分析，是指除了某一个因素外，其它因素均保持不变（或控制在一定范围内）时，分析这个因素的变化对质量指标是否有显著影响。1.单因素方差分析的方法设在一个试验中只考察一个因子a，它有m水平，在每一个水平下进行k次重复试验，其结果用yi1，yi2，yij，yik表示，i=1，2，j，m。其数据表如表1.13-5所示。表1.13-5 单因素试验数据试验次数水平1， 2， j， ka1a2aiamy11，y12，y1j，y1ky21，y22，y2j，y2ky i1，y i2，yij，y i kym1，ym2，ymj，ymk引起数据波动的原因有两个：一是由于因子a的水平不同，使各个水平下指标的试验数据不同，用组间偏差平方和表示，称为因子a的偏差平方和：令 ct=sa=；二是由于存在随机误差，即使同一水平下获得的数据也有差异，这是由于存在随机原因引起的误差，可用组内偏差平方和表示：se=；可以证明有如下平方和分解式： st= sa+ se=。其自由度为：fa=m-1，fe=mk-m=m（k-1），ft= fa+ fe= mk-1。为了判断因素a对试验结果有无显著影响，可以检验假设h0：“1=2=m”。构造统计量f： f=如果h0成立，f服从自由度为（m-1），（mk-1）的f分布。给定显著水平，查f分布表可得f（m-1），（mk-1）之值。若ff（m-1），（mk-1），则否定h0，并可认为因素a对试验结果有显著影响；若ff（m-1），（mk-1），则接受h0，并可认为因素a对试验结果无显著影响。最后，将以上过程归纳为方差分析表，见表1.13-6。表1.13-6 方 差 分 析 表方差来源偏差平方和自由度均方和（v）f比值显著性因子a误差e总计tsa=se=st=fa= m-1fe=k（m-1）ft= mk-1va= sa/fa ve=se/f f=f（m-1），（mk-1）若对=0.1判定为显著，则在“显著性”栏内对应的f比值标志“*”号；若对=0.05判定为显著，则在“显著性”栏内对应的f比值标志“*”号；若对=0.01判定为显著，则在“显著性”栏内对应的f比值标志“*”号。2.等试验次数的单因素方差分析例1.135 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解三个工厂生产的零件的强度有无明显差异，以确定供应方，现分别从每个工厂随机抽取四个零件测定其强度，试验数据如表1.13-7所示，试问三个工厂的零件的强度是否相等。表1.13-7 例1.135的试验数据及处理结果试验数据水平零 件 强 度（）2甲乙丙103 101 98 110113 107 108 11682 92 84 864124443441697441971361183364251448838301401200485216121492方差分析的步骤：（1）计算、（）2、2及其总和，并填入报表13-7中。（2）计算st、sa、se。因m=3，k=4，n=34=12，可计算得：ct=12002/12=120000st=121492-120000=1492，ft= n-1=12-1=11；sa=485216-120000=1304，fa=m-1=3-1=2；se=1492-1304=188，fe= ft- fa=11-2=9；（3）列方差分析表，计算均方和、f比，并填入方差分析表，如表1.13-8所示。表1.13-8 例1.135的方差分析表方差来源偏差平方和自由度均方和（v）f比显著性因子a误差e总计tsa=1304se=188st=1492fa=2fe=9ft=11va = sa/fa=652ve= se/fe=20.9f=31.21*f0.01（2，9）=8.02；（4）判断。查f分布表得，f0.01（2，9）=8.02；由于ff0.01（2，9），所以说因子a对试验结果有高度显著，这表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。（5）计算纯波动与贡献率。由以上分析可以看出，方差分析法实际上就是f检验法。日本的田口玄一博士提出了贡献率的概念，并主张显著性检验时以贡献率的大小作定量分析，而不能断然作出显著与否的结论。由于因子的偏差平方和（s因）中除了因子a所引起的波动平方和外还包括一部分随机误差引起的波动平方和，应将其扣除。扣除后的偏差平方和称为纯波动偏差平方和，简称纯波动。因子的纯偏差平方和用s表示，s因=s因-f因ve， 本例s a=sa-fave=1304-220.9=1262.2；se=st-sa=ftve， 本例se=ftve=1120.9=229.9。贡献率就是纯波动偏差平方和在总波动偏差平方和中所占的比例，并记为（%）。因子的贡献率因=s因/st，本例a=sa/st=1262.2/1492=84.60%；误差的贡献率e= se/st，本例e= se/st=229.9/1492=15.40%。贡献率分析法，就是在方差分析表中增加纯波动和贡献率两栏便得到贡献率分析表。见表1.13-9。表1.13-9 例1.135的贡献率分析表来源sfvfs（%）因子a误差e13041882965220.931.21*1262.2229.984.6015.40t1492111492.1100.00（6）过程平均的估计。进行了显著性检验以后，若要求希望了解在因素a在各种水平下的质量特性值y的期望值（即过程平均）的估计情况，可根据概率知识进行的点估计：的以1-为置信水平的区间估计为：（）区间半径为：=本例给定显著水平=0.05，由于各水平的数据个数相等则各水平的区间半径i也相等，且为： 甲=乙=丙=；各工厂过程平均的i的95%区间估计值分别为：甲厂：（412/4-5，412/4+5）=（98，108）；乙厂：（444/4-5，444/4+5）=（106，116）；丙厂：（344/4-5，344/4+5）=（81，91）。可根据以上的强度估计值及本厂的需要，选择供应方。3.不等试验次数的单因素方差分析不等试验次数的单因素方差分析与等试验次数的单因素方差分析的步骤基本一致，只是计算公式略有不同。令 ct=st=sa=se=ft=n-1，fa=m-1，fe=n-m式中，n=k1+k2+km，为试验数据的总个数。当k1=k2=km时，上述公式就与等试验次数的单因素方差分析的公式一致了。例1.13-6 有四种产品：a1国外同类产品，a2本厂产品，a3国内甲厂同类产品，a4国内乙厂同类产品。在四种产品中分别抽取2件、10件、6件和6件，作了300小时的连续磨损老化试验，得到用下式算出的变化率数据y=，见表1.13-10，据此判断各种产品的变化率有无显著差异。表1.13-10 例1.136的变化率数据及处理结果（单位：%）数据水平变 化 率2a1a2a3a412 1420 18 19 17 15 16 13 18 22 1726 19 26 28 23 25 24 25 18 22 27 24261751471403383063360232673403121365133144881027010426解：（1）计算、ti2/k、2及其总和，并填入表1.13-10中。（2）计算ct、st、sa、se。ct=4882/24=8363st=10426-8363=503，ft= n-1=24-1=23；sa=（=346fa=m-1=4-1=3；se= st-sa=503-346=157，fe= ft- fa=23-3=20；（3）计算均方和、f比、并填入方差分析表，如表1.13-11所示。（4）判断。表1.13-11 例1.136的方差分析表方差来源偏差平方和自由度均方和（v）f比显著性因子a误差e总计t34615750332023115.3 7.8514.7* * *f0.05（3，20）=3.10，f0.01（3，20）=4.94查f分布表得f0.01（3，20）=4.94；由于ff0.01（3，20），所以说因子a是高度显著的，这表明四种产品的300小时连续磨损老化试验的变化率有明显的差异。（5）贡献率分析。见表1.13-12。sa=sa-fave=346-37.85=322.45；se= st- sa=180.55。a=sa/st=1262.2/1492=84.60%；e= se/st=229.9/1492=15.40%。表1.13-12 例1.136的贡献率分析表来源sfvfs（%）因子a误差e346157320115.37.8514.7*322.45180.5564.1135.89t50323503100本例给定显著水平=0.05，由于各水平的数据个数不等，则各水平的区间半径i也不等，分别为： 1=2=3=4=各工厂工序平均的i的95%区间估计值分别为：a1：（26/2-4.13，26/2+4.13）=（8.9，17.1）a2：（175/10-1.8，175/10+1.8）=（17.5，19.3）a3：（147/6-2.4，147/6+2.4）=（22.1，26.0）a4：（140/6-2.4，140/6+2.4）=（20.9，25.7）（二）双因素方差分析双因素方差分析，是同时考察两个因素对试验结果的影响。其基本思路与单因素方差分析相似，关键问题在于偏差平方和的分解。1.有重复试验的双因素方差分析双因素方差分析与一般方差分析的方法基本相同，但为了考察两个因子的交互作用的显著性，必须进行各水平组合的重复试验后才能得到答案。设影响试验指标的有两个因子a、b，因子a有n个水平a1、a2、an；因子b有m个水平b1、b2、bm。取得试验数据的方法是在a的n个水平与b的m个水平的每种组合下各进行了k次试验，k=1，2，r。其数据记录于表1.13-13中。表1.13-13 有交互作用双因素试验数据表bab1b2bjbma1y111，,y11ky121，,y12k y1j1，,y1jk y1m1，,y1mka2y211，,y21ky221，,y22ky2j1，,y2jky2m1，,y2mkaiyi11，,yi1yi21，,yi2kyij1，,yijkyim1，,yimkanyn11，,yn1kyn21，,yn2kynj1，,ynjkynm1，,ynmk若yijk表示试验在因素水平组合为aibj条件下作k次重复试验时得到的观测值。每一个组合k次重复试验结果的平均值，记为：=因子an个水平k次重复试验结果和的平均值，记为：，因子bm个水平组合k次重复试验结果和的平均值，记为：，因子a与因子b各个水平组合各k次重复试验结果和的平均值，记为：，数据总的偏差平方和分解式：st=sa+sb+sab+se各项偏差平方和计算式为：令,ct=， 则 st =ctsa =sb=se =sab= st-sa-sb-se=各项平方和的自由度分别为：ft =mnr-1，fa =n-1，fb =m-1fab=（n-1）（m-1），fe=mn（r-1）且有： ft = fa+ fb + fab + fe。将上面的结果整理为方差分析表（见表1.13-14），进行方差分析和过程平均估计。表1.13-14 等重复试验的双因素方差分析表来源sfvf比s（%）ababesasbsabsen-1m-1（n-1）（m-1）mn（r-1）va= sa/ favb= sb/ fbsab/ fabve= se/fefa= va/ vefb= vb/ vefab= vab/vea= sa- faveb= sb- fbvesab- f abvee= ftvea=a/ stb=b/ stab/ ste=e/ sttstmnr-1st100例1.13-7 对某种工具钢进行淬火试验，取时间（a）3个水平，温度（b）4个水平，对a、b的各种组合均做了两次试验，测得淬火后钢的硬度如表1.13-15所示（各结果均减去了60）。试问因素a、b及交互作用ab对硬度的影响是否显著。表1.13-15 例1.13-7 的试验数据表 b ab1 b2 b3 b4()22a1a2a3-13 -10 3 5 -3 -2 -10 -7（-23） （8） （-5） （-17） 5 2 11 12 3 4 -8 -7 （7） （23） （7） （-15）9 10 6 5 2 0 -10 -8（19） （11） （2） （-18）-37221413694841969078528103 42 4 -50-120492569()29 1764 16 250042892939 714 78 8382569解：（1）计算各类波动平方和及自由度。ct=st =ct=（-13）2+（-10）2+（-10）2+（-8）2-0.04=1307-0.04=1306.96sa =256.09sb =se =1307-=22.50sab= st-sa-sb-se=1306.96-256.09-714.79-22.50=313.58ft =mnr-1=432-1=23，fa =n-1=3-1=2，fb =m-1=4-1=3，fab=（n-1）（m-1）=23=6，fe=mn（r-1）=43（2-1）=12（2）方差分析。见表1.13-16。表1.13-16 例1.13-7的方差分析及贡献率表来源sfvfs（%）因子a因子bab误差e256.09714.97313.5822.5023612128.05238.2652.281.8868.22*126.73*27.88*252.93709.15302.3043.1819.3154.2623.133.30t1306.96231306.96100.00f0.01（2，12）=6.93；f0.01（3，12）=5.95, f0.01（6，12）=4.82（3）最佳条件及工序平均估计：最佳条件的选取方法是：显著因素或显著交互作用选取最优水平，不显著因素或不显著交互作用，原则上可任选，选时应考虑其对其它质量特性的影响，或从省时、经济性等原则。本例，a、b、ab均显著，故均应选取最优水平和最优水平组合。由表1.13-15可看出，a取a2、b取b2时硬度最大，且在水平组合a2b2下硬度最大（23）。故最佳条件为a2b2。最佳条件下工序平均的估计a.点估计：佳=+显著因素及显著交互作用的效应本例，=60+b.区间估计：以1-为置信区间估计为：（佳-，佳+）=式中ve*= se+不显著因素及不显著交互作用波动均方和；f e*= f e+不显著因素及不显著交互作用波动自由度之和；n e=本例，n e=取=0.05，则95%的区间估计为：（71.5-，71.5+）=（71.5-2.11，71.5+2.11）=（69.39，73.61）2.无重复试验的双因素方差分析设影响试验指标的有两个因子a、b，因子a有n个水平a1、a2、an；因子b有m个水平。取得试验数据的方法是在a的n个水平与b的m个水平的每种组合下进行一次试验，其数据表如表1.13-17所示。由于不进行重复试验，交互作用与试验误差混杂，故无法分析交互作用的大小。表1.13-17 无交互作用双因素试验数据表数据 bab1 b2 bj bma1a2aiany11 y12 y1j y1my21 y22 y2j y2m yi1 yi2 yi j yi m yn1 yn2 yn j yn m ，fa=n-1令ct=，fb=m-1，ft=mn-1=，fe= ft fa- fb= mn-1-（n-1）+（m-1）=（n-1）（m-1）例1.13-8 为了考察蒸馏水的ph值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的ph值（因素a）取了4个不同水平，对硫酸铜溶液浓度（因素b）取了3个不同水平。假定不考虑它们的交互作用，在不同水平组合aibj下各测一次白蛋白与球蛋白之比（y），其结果列于表1.13-18。试检验两个因素对化验结果有无显著影响，并求各种条件下工序平均估计。表1.13-18 例1.13-8的试验数据表ba 数据b1b2b3a1a2a3a43.52.62.01.42.32.01.50.82.01.91.20.37.86.54.72.52.62.171.570.8360.8442.2522.096.2521.5414.377.692.699.56.65.421.5131.4346.292.381.651.351.7990.2543.5629.16162.9724.9512.189.1446.27（1）计算各种波动平方和及自由度ct=（21.5）2/（34）=38.52st=46.29-38.52=7.77， sa=（131.43/3）-38.52=5.29， sb=（162.97/4）-38.52=2.22， se=7.77-5.29-2.22=0.26ft=34-1=11，fa=4-1=3，fb=3-1=2，fe=11-3-2=6（2）方差分析。见表1.13-19。表1.13-19 例1.13-8的方差分析及贡献率表来源sfvfs（%）因子a因子b误差e5.292.220.263261.761.110.04340.9*25.8*5.162.130.4866.427.46.2t7.77117.77100f0.01（3，6）=9.78；f0.01（2，6）=10.92（3）各种条件下工序平均估计（以a1b1为例）：a1b1：=2.60+2.38-1.79=3.19取=0.05， （3.19-，3.19+）=则95%的区间估计为：（3.19-0.36，3.19+0.36）=（2.83，3.55）。三、单因子优选法单因子优选法较多，简单且常用的方法有平分法、黄金分割法、均分法和分数法。它们的用途一是在估计的包含最优试验点范围内寻求最合适的试验点，二是为使用正交试验设计法优选因素确定试验点。（一）平分法平分法又叫对分法、取中法。该法要求每次试验对试验点的选取都是上两次试验因素取值的中点。1.应用条件。平分法适用于有以往经验（有关参考资料）及每次试验后能解决下一次试验方向的试验。2.应用程序确定试验的期望目标值和试验因素的范围a，b；确定每次的试验点“（a+b）/2”并进行试验；比较试验点的试验结果与期望目标值的偏差，确定下次试验方向及试验点，直至取得最满意的试验结果。例1.13-9 某产品构成成分中，需要加入某种贵重稀缺材料以保证质量，现这种材料的加入量为16%，产品质量合格。为降低成本，问在保证质量的前提下，可否减少这种材料的加入量。解；由于成本对该材料的含量是单一因素，故可用平分法进行优选试验。y1=(0+16)/2=8%,试验后检测产品质量合格，舍去8%以上段；y2=(0+8)/2=4%,试验后检测产品质量不合格，舍去4%以下段；y3=(4+8)/2=6%,试验后检测产品质量合格，舍去6%以上段；y4=(4+6)/2=5%,试验后检测产品质量不合格，舍去5%以下段；y5=(5+6)/2=5.5%,试验后检测产品质量合格，决定停止试验。由以上可知，进行了5次优选试验，将贵重材料加入量由1