北师大版八年级数学上册教案-pdf-06-第六章 证明（一） .pdf

第六章第六章 证明（一）证明（一） 课时安排 8 课时 目录目录 第六章 证明（一） . 1 6.1 你能肯定吗 . 1 6.2.1 定义与命题（一） . 5 6.2.2 定义与命题（二） . 10 6.3 为什么它们平行 . 14 6.4 如果两条直线平行 . 19 6.5 三角形内角和定理的证明 . 24 6.6 关注三角形的外角 . 30 回顾与思考 . 36 本章检测题 . 42 第一课时 课 题 6.1 你能肯定吗你能肯定吗 教学目标 （一）教学知识点 1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确. 2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. （二）能力训练要求 1.通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性. 2.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理. 教学重点 判定一个结论正确与否需进行推理. 教学难点 理解数学推理的重要性. 教学方法 自学、讨论、引导法. 教具准备 投影片四张 第一张：想一想，（记作投影片6.1 a） 第二张：做一做，（记作投影片6.1 b） 2011-10-10 10:40:33 共 45 页 第 1 页 第三张：做一做，（记作投影片6.1 c） 第四张：议一议，（记作投影片6.1 d） 教学过程 .巧设现实情境，引入新课 师在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界.在数学学习中，我们通过观 察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么 方法才能说明它的正确性呢？ 生需要推理证明. 师很好.从今天开始，我们来学习第六章：证明（一）. .讲授新课 师下面我们来动手画一画，然后归纳、总结（出示投影片6.1 a） 图 61 如图 61，四边形 abcd 四边的中点分别为 e、f、g、h.度量四边形 efgh 的边和 角，你会发现什么结论？ 生甲我画出四边形 abcd，找到四边形的中点 e、f、g、h 后，量了量四边形 efgh的边发现：ef=gh，eh=gf.角ehg=efg，hef=hgf. 生乙由此说明：四边形 efgh 是平行四边形. 师很好.如果改变四边形 abcd 的形状，你还能得到类似的结论吗？大家再来动手 画一画、量一量. 生丙我改变了四边形 abcd 的形状后，它们四边的中点所围成的四边形 efgh 仍 然是对边相等、对角也相等.即：四边形 efgh是平行四边形. 生丁老师，我看到周围同学画的四边形 abcd 的形状都与我的不一样，但连接这 四条边的中点 e、f、g、h所得到的四边形 efgh经测量知：它们都是平行四边形.所以由 此可得：任意四边形的四条边的中点所围成的四边形都是平行四边形. 师丙同学的结论，你能肯定吗？同学们来讨论一下. 师生共析好.在八年级上册我们已经知道：连接三角形的两边中点的线段是三角形 的中位线.由于 e、f、g、h 是四边形 abcd各边的中点，所以可把这个四边形变为两个三 角形.即：可以连接 ac，也可以连接 bd.把四边形 abcd 变为abc 与adc 或abd 与 bdc. 图 62 现在我们来连接 ac.如图 62. 在abc 中，ef 是abc 的中位线，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半”可得：ef 平行于 ac且等于 ac的一半. 同样，在adc 中，gh是adc的中位线，则 gh平行于 ac且等于 ac 的一半. 由“两直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行”可知：efgh.又因为： ef= 2 1 ac，gh= 2 1 ac，所以得 ef=gh.这样由平行四边形的判定：一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形.可以得到：四边形 efgh是平行四边形. 2011-10-10 10:40:33 共 45 页 第 2 页 即：连接 ac 师刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的 中点所组成的图形是平行四边形. 注：本题连接 bd 与连接 ac的推理过程一样. 通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证. 下面我们来做一做（出示投影片6.1 b） 当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值是质数吗？你能否得到结论：对于 所有自然数 n,n2n+11 的值都是质数？与同伴交流 生甲当 n=0时，n2n+11=11. 当 n=1时，n2n+11=11. 当 n=2时，n2n+11=13. 当 n=3时，n2n+11=17. 当 n=4时，n2n+11=23. 当 n=5时，n2n+11=31. 由此可知：当 n=0、1、2、3、4、5 时，代数式 n2n+11 的值都是质数. 生乙这样我们就可以得到结论：对于所有自然数 n,n2n+11 的值都是质数. 师你一定能肯定吗？ 师好，下面我们再来做一做（出示投影片6.1 c） 图 63 如图 63，假如用一根比地球赤道长 1 m 的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球 赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？ 与同伴进行交流. 生甲能放进一颗红枣，也能放进一个拳头. 生乙不行. 师同学们讨论得很精彩，但都不能肯定，那么怎样才能肯定呢？ 要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一 步、有根有据地进行推理. 那大家来想一想、议一议（出示投影片6.1 d） （1）在数学学习中，你用到过推理吗？举例说明. （2）在日常生活中，你用到过推理吗？举例说明. 生甲在数学学习中，我们曾用到过推理.如：判定一个四边形是不是平行四边形； 生乙还有判定一个四边形是否是梯形. 生丙在日常生活中，我们也常用到推理.如：某同学的笔丢了.然后通过推理，说明 2011-10-10 10:40:33 共 45 页 第 3 页 另一同学拿了. 师同学们举出了许多的例子，说明不论在日常生活中，还是在数学学习中，要判 断一件事情或一个结论正确与否，必须进行一步一步有根有据地推论. 下面我们来通过练习熟悉本节课的内容. .课堂练习 （一）课本 p174随堂练习.1、2、3. 1.图 64中两条线段 a 与 b 的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 图 64 答案：a与 b的长度相等. 图 65 2.图 65 中三条线段 a、b、c,哪一条线段与线段 d 在同一直线上？请你先观察，再用 三角尺验证一下. 答案：线段 b与线段 d 在同一直线上. 3.当 n 为正整数时，n2+3n+1 的值一定是质数吗？ 答案：经验证：当 n 为正整数时，n2+3n+1 的值一定是质数. （二）课本 p175 读一读：“费马的失误”. （三）看课本 p173175，然后小结. .课时小结 本节课主要研究了：要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理. .课后作业 （一）课本 p176习题 6.1 1、2、3. （二）1.预习内容 p177180 2.预习提纲 （1）定义的概念是什么？ （2）命题的概念是什么？ .活动与探究 1.有没有这样的质数，当它加上 10 和 14时仍为质数.若有，求出来；若没有，请证明. 过程这是一个找符合条件的质数问题.由于质数分布无一定规律，因此从最小的质 数试验起.希望能找到所求的质数，然后再加以逻辑的证明. 结果因为 2+10=12,2+14=16,所以质数 2不适合. 因为 3+10=13，3+14=17，所以质数 3 符合要求. 因为 5+10=15，5+14=19，所以质数 5 不合要求. 2011-10-10 10:40:34 共 45 页 第 4 页 因为 7+10=17，7+14=21，所以质数 7 不适合. 因为 11+10=21，11+14=25，所以质数 11 不适合. 从上面的观察，3 合乎要求，但符合条件的质数是否只有 3 呢？这必须加以证明.证明 除了 3 以外的所有正整数加上 10 和 14 均不能是质数.为此把正整数按模 3 同余分类.即：3k 1,3k+1（k为正整数）. 因为（3k1）+10=3k+9=3（k+3）是合数，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数，所 以 3k1和 3k+1 这两类整数中的质数加上 10 和 14后不能都是质数. 因此，在 3k1 和 3k+1两类整数中的质数加上 10和 14 后当然不能都是质数. 对于 3k 这类整数，只有在 k=1 时，3k才是质数，其余均为整数. 所以所求的质数只有 3. 板书设计 6.1 你能肯定吗 一、画任意四边形 二、做一做 n2n+11 的值是质数 要判断一个数学结论是否正确，必须有根有据地推理. 三、议一议 四、课堂练习 读一读 五、课后作业 第二课时 课 题 6.2.1 定义与命题（一）定义与命题（一） 教学目标 （一）教学知识点 1.定义的意义 2.命题的概念 （二）能力训练要求 1.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性. 2.从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题. （三）情感与价值观要求 通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系. 教学重点 命题的概念 教学难点 命题的概念的理解 教学方法 引导发现法 教具准备 投影片一张 第一张：做一做（记作投影片6.2.1 a） 电脑制作：p177178的实例. 教学过程 .巧设现实情境，引入新课 师随着时代的发展，电脑逐渐走进我们的生活，上过网或懂电脑的同学都知道什 2011-10-10 10:40:34 共 45 页 第 5 页 么是“黑客”.下面我们来看一段对话（电脑演示 p177） 小亮和小刚正在津津有味地阅读我们爱科学. 小亮说： 小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便， 但” 小亮说：“” 小刚说：“” 小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.” 坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着： 一人说：“这黑客是个小偷吧？” 另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.” 一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.” 另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.” （学生听后，大笑） 师同学们为什么笑呢？ 生甲旁边那两个人的概念不清. 生乙“黑客”“因特网”等都是电脑中的专用名词. 师同学们说得都很好.由此可知：人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共 同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义. 这节课我们就要研究：定义与命题 .讲授新课 师在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，也就是给他们下定义（definition）. 如：“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共 和国公民”的定义. 大家还能举出一些例子吗？ 生甲“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的 定义. 生乙“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程 叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义. 生丙“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是“平行四边形”的定义. 生丁“角是由两条具有公共端点的射线组成的图形”是“角”的定义. 师同学们举出了这么多例子.说明定义就是对名称和术语的含义加以描述，作出明 确的规定. 接下来，我们来做一做（出示投影片6.2.1 a） 如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中 a、b、c、d、e、 f、g、h、i、j、k 处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污 染. 2011-10-10 10:40:34 共 45 页 第 6 页 图 66 如果 b处工厂排放污水，那么_处便会受到污染； 如果 c处受到污染，那么_处便受到污染； 如果 e处受到污染，那么_处便受到污染； 如果环保人员在 h 处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么 想的？与同伴交流. 生甲如果 b处工厂排放污水，那么 a、b、c、d处便会受到污染. 生乙如果 b处工厂排放污水，那么 e、f、g 处也会受到污染的. 生丙如果 c处受到污染，那么 a、b、c处便受到污染. 生丁如果 c处受到污染，那么 d 处也会受到污染的. 生戊如果 e处受到污染，那么 a、b 处便会受到污染. 生己如果 h 处受到污染，我认为是 a 处的那个工厂或 b 处的那个工厂排放了污水. 因为 a处工厂的水向下游排放，b处工厂的污水也向下游排放. 师很好.同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事 情作出判断的句子，就叫做命题. 即：命题是判断一件事情的句子.如： 熊猫没有翅膀. 对顶角相等. 大家能举出这样的例子吗？ 生甲两直线平行，内错角相等. 生乙无论 n 为任意的自然数，式子 n2n+11 的值都是质数. 生丙内错角相等. 生丁任意一个三角形都有一个直角. 生戊如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 生己全等三角形的对应角相等. 师很好.大家举出许多例子，说明命题就是肯定一个事物是什么或者不是什么，不 能同时既否定又肯定，如： 你喜欢数学吗？ 作线段 ab=a. 平行用符号“”表示. 这些句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它们就不是命题. 一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题. 接下来我们做练习来熟悉掌握命题的概念. .课堂练习 （一）课本 p180随堂练习 1、2. 1.你能列举出一些命题吗？ 答案：能.举例略. 2.举出一些不是命题的语句. 答案：如：画线段 ab=3 cm. 2011-10-10 10:40:34 共 45 页 第 7 页 两条直线相交，有几个交点？ 等于同一个角的两个角相等吗？ 在射线 oa 上，任取两点 b、c.等等. （二）看课本 p177180，然后小结. .课时小结 本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性.在具体实例中，了解了命题 的概念. 命题：判断一件事情的句子. .课后作业 （一）课本 p180习题 6.2 1、2 （二）1.预习内容 p181185 2.预习提纲 （1）命题的组成是什么？ （2）命题的分类. （3）公理、定理、证明的定义. .活动与探究 1.现有正方形纸若干：假设正方形纸面积为 1，你会折满足下列条件的正方形吗？ （1）折面积为 2 1 的正方形 （2）折面积为 3 1 的正方形 （3）折面积为 5 1 的正方形 （4）折面积为 7 1 的正方形 （5）折面积为 9 1 的正方形 过程让学生在折纸过程中，体会数学的快乐、灵活，从而培养他们的动手、动脑 能力. 结果解：（1）折面积为 2 1 的正方形 方法：如图 将正方形两次对折，得到各边中点 e、f、g、h. 连 he、ef、fg和 gh. 则正方形 efgh即为所求. 图 67 注：图、的方法可折得面积为 4 1 、 8 1 的正方形. （2）折面积为 3 1 的正方形. 方法：如图 2011-10-10 10:40:34 共 45 页 第 8 页 将正方形对折，得折痕 ef. 将 bc 折至 bg，使 g在 ef上，得折痕 bh，则以 ch为边长的正方形即为所求. 证明：易知gbc为正三角形，hbc=30. ch=bctan30= 3 3 ,所以 s正方形=ch2= 3 1 . 图 68 （3）折面积为 5 1 的正方形. 方法：如图 将正方形两次对折，得各边中点 e、f、g、h. 以 af、hc、ed和 bg为折痕，交点为 o、p、q、r. 则正方形 opqr即为所求. 证明：易证：af= 2 5 ) 2 1 (1 22 =+. 又abfapb. 所以 ab af ap ab = 即 1 2 5 1 = ap 则：ap= 5 2 op= 5 5 5 1 2 = ap 故： s正方形=op2= 5 1 （4）折面积为 7 1 的正方形 方法：如图 先参照（2）中折法，折出 ce= 3 3 取 ce 中点 f，再折 eg=ef. 取 bc 中点 m，折出 mnbg，n 为折痕 bg 与 mn 的交点，则以 bn 为边长的正方 形即为所求. 证明：eg=ef=fc= 6 3 cg= 2 3 ，bg= 2 7 ) 2 3 (1 22 =+ 由bnmbcg.得 bg bc bm bn =. 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 9 页 即： 2 7 1 2 1 = bn bn= 7 7 s正方形=bn2= 7 1 图 69 （5）折面积为 9 1 的正方形 方法：如图. 将正方形对折，得折痕 ef. 以 ac、be为折痕，交点为 p. 过点 p 折出平行于 ad的折痕 mn. 则以 am为边长的正方形即为所求. 证明：由paepcb.得 2 1 = ce ae pc ap mb am 所以 am= 3 1 s正方形=am2= 9 1 板书设计 6.2.1 定义与命题 一、定义 二、做一做 三、命题：判断一件事情的句子 四、课堂练习 五、课时小结 六、课后作业 第三课时 课 题 6.2.2 定义与命题（二）定义与命题（二） 教学目标 （一）教学知识点 1.命题的组成：条件和结论. 2.命题的真假. 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 10 页 3.了解数学史. （二）能力训练要求 1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果，那么”的形式；能判 断命题的真假. 2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法. 3.通过对欧几里得原本的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价 值. （三）情感与价值观要求 1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立 统一体. 2.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣. 教学重点 找出命题的条件（题设）和结论. 教学难点 找出命题的条件和结论. 教学方法 讲练相结合法. 教具准备 投影片四张 第一张：想一想（记作投影片6.2.2 a） 第二张：做一做（记作投影片6.2.2 b） 第三张：想一想（记作投影片6.2.2 c） 第四张：公理（记作投影片6.2.2 d） 教学过程 .巧设现实情境，引入课题 师上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？ 生判断一件事情的句子，叫做命题. 师好.下面大家来想一想：（出示投影片6.2.2 a） 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ （1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等. （2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形. （3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等. （4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形. （5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形. 师大家观察后，分组讨论. 生甲这五个命题都是用“如果，那么”的形式叙述的. 生乙每个命题都是由已知得到结论. 生丙这五个命题的每个命题都有条件和结论. 师很好.这节课我们继续来研究命题. .讲授新课 师大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论 （conclusion）两部分组成. 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 一般地，命题都可以写成“如果，那么”的形式.其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论. 如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件， 那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论. 有些命题没有写成“如果，那么”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的 余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成 “如果，那么”的形式. 如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 11 页 等”. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知”或者“若”等形式表 述，命题的结论部分，有时也可用“求证”或“则”等形式表述. 下面我们来做一做（出示投影片6.2.2 b） 1.下列各命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果 ab,bc,那么 a=c; （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； （4）菱形的四条边都相等； （5）全等三角形的面积相等. 生甲第一个命题的条件是：两个角相等，结论是：它们是对顶角. 生乙第二个命题的条件是：ab,bc,结论是：a=c. 生丙第三个命题的条件是：在两个三角形中，有两角和其中一角的对边对应相等. 结论是：这两个三角形全等. 生丁第四个命题的条件是：菱形的四条边.结论是：都相等. 生戊丁同学说得不对.这个命题可改写为：如果一个四边形是菱形，那么这个四边 形的四条边都相等.显然，这个命题的条件是：一个四边形是菱形.结论是：这个四边形的四 条边都相等. 生己第五个命题可改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等. 则这个命题的题设是：两个三角形全等.结论是：这两个三角形的面积相等. 师同学们分析得很好.能够经过分析，准确地找出命题的条件和结论.接下来我们来 思考（出示投影片6.2.2 b） 2.上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？ 师大家思考后，来分组讨论. 生甲第三个、第四个、第五个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的. 图 610 生乙我们讨论的结果是与甲同学的一样.如图 610，1=2,从图形中可知1与 2不是对顶角.所以第一个命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角是错误的. 生丙第二个命题中的 a 取 6，b 取 3，c 取 2，这样可知：a 与 c是不相等的.所以第 二个命题是不正确的. 师很好.同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！我们 把正确的命题称为真命题（true statement），不正确的命题称为假命题（false statement）. 由大家刚才分析可以知道：要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子， 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例（counter example）. 注意：对于假命题并不要求，在题设成立时，结论一定 错误.事实上，只要你不能保证 结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个 “反例”就可以了. 那一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：（出示投影片6.2.2 c） 如何证实一个命题是真命题呢？ 生甲用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. 生乙这些方法往往并不可靠. 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 12 页 生丙能不能根据已经知道的真命题证实呢？ 生丁那已经知道的真命题又是如何证实的？ 生戊哦那可怎么办呢？ 师其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前 3 世纪，人们 已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（euclid,公元前 300 前 后）编写了一本书，书名叫原本（elements），为了说明每一结论的正确性，他在编 写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他 命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理 外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明 的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个 定理的前面. 原本问世之前，世界上还没有一本数学书籍像原本这样编排.因此，原本 是一部具有划时代意义的著作. 生老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实. 师对，我们这套教材有如下命题作为公理：（出示投影片6.2.2 d） 1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 5.三边对应相等的两个三角形全等. 6.全等三角形的对应边相等，对应角相等. 师同学们来朗读一次. 师好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理. 在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果 a=b,b=c,那么，a=c,这一 性质也看做公理，称为“等量代换”. 注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真 命题. （2）公理可以作为判定其他命题真假的根据. 好，下面我们通过“读一读”来进一步了解原本这套书，进而了解数学史. .课堂练习 1.课本 p185 读一读 2.看课本 p181185，然后小结. .课时小结 本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分 组成.命题分为真命题和假命题. 在辨别真假命题时.注意：假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须 通过推理得证. 大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题. .课后作业 （一）课本 p187 习题 6.3 1、2 （二）1.预习内容 p188190 2.预习提纲 （1）平行线的判定方法的证明 （2）如何进行推理 .活动与探究 将一个命题的条件与结论交换得到一个新命题，我们称这个命题为原命题的逆命题， 请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题. 1.凡直角都相等. 2.对顶角相等. 3.两直线平行，同位角相等. 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 13 页 4.如果两数中有一个是正数，那么这两个数之和是正数. 过程让学生充分考虑，使他们能分清命题的题设和结论.写出逆命题的关键是分清 原命题的题设和结论，而判别真假则依赖于对知识的掌握. 结果解：（1）凡相等的角都是直.假命题 （2）相等的角是对顶角. 假命题 （3）同位角相等，两直线平行. 真命题 （4）如果两个数之和是正数，那么这两个数中必须有一个正数. 真命题 板书设计 6.2.2 定义与命题 一、命题的组成 条件：已知事项 结论：由已知事项推出的事项 一般地：命题常写成： “如果，那么” 二、做一做 三、命题的真假 假命题 真命题 四、公理五、读一读 六、课时小结 七、课后作业 第四课时 课 题 6.3 为什么它们平行为什么它们平行 教学目标 （一）教学知识点 1.平行线的判定公理. 2.平行线的判定定理. （二）能力训练要求 1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力. 2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理. 3.掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式. （三）情感与价值观要求 通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想. 教学重点 平行线的判定定理、公理. 教学难点 推理过程的规范化表达. 教学方法 尝试指导、引导发现与讨论相结合. 教具准备 投影片五张 第一张：定理（记作投影片6.3 a） 第二张：议一议（记作投影片6.3 b） 第三张：定理（记作投影片6.3 c） 第四张：想一想（记作投影片6.3 d） 第五张：小结（记作投影片6.3 e） 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 14 页 教学过程 .巧设现实情境，引入新课 师前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平 行呢？ 生甲在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线. 生乙两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 生丙同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 师很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的. 上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过 推理的方法证实. 我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第 三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何 证实呢？这节课我们就来探讨第三节：为什么它们平行. .讲授新课 师看命题（出示投影片6.3 a） 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 师这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所 以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式： 图 612 如图 612，已知，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互 补，求证：ab. 那如何证明这个题呢？我们来分析分析. 师生共析要证明直线 a 与 b 平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从 图中可以知道：1 与3是同位角，所以只需证明1=3，则 a与 b即平行. 因为从图中可知2 与3 组成一个平角，即2+3=180,所以：3=1802. 又因为已知条件中有2 与1 互补，即：2+1=180,所以1=1802,因此由等 量代换可以知道：1=3. 师好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符 号“”读作“因为”，“”读作“所以”） 证明：1与2 互补（已知） 1+2=180（互补的定义） 1+2=180 1=1802（等式的性质） 3+2=180（1 平角=180） 3=1802（等式的性质） 1=1802，3=1802 1=3（等量代换） 1=3 ab（同位角相等，两直线平行） 这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平 行的判定定理. 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 15 页 这一定理可简单地写成： 同旁内角互补，两直线平行. 注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定 理. （2）方括号内的“1+2=180”等，就是上面刚刚得到的“1+ 2=180”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略. （3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条 件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后 面的括号内. 好，下面大家来议一议（出示投影片6.3 b） 小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？ 图 613 图 614 生我认为他的作法对.他的作法可用图 614 来表示：cfe=45,bef=45.因 为bef 与fea 组成一个平角，所以fea=180bef=18045=135.而 cfe与fea是同旁内角.且这两个角的和为 180，因此可知：cdab. 师很好.从图中可知：cfe 与feb 是内错角.因此可知：“内错角相等，两直 线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程. 图 615 师生共析已知，如图 615，1 和2 是直线 a、b被直线 c截出的内错角，且 1=2. 求证：ab 证明：1=2（已知） 1+3=180（1平角=180） 2+3=180（等量代换） 2 与3互补（互补的定义） ab（同旁内角互补，两直线平行）. 这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：（出示投影片6.3 c） 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 这一定理可以简单说成： 内错角相等，两直线平行. 师刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下 2011-10-10 10:40:35 共 45 页 第 16 页 面大家来想一想（出示投影片6.3 d） 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？ 生甲已知，如图 616，直线 ac,bc. 求证：ab. 图 616 证明：ac,bc（已知） 1=902=90（垂直的定义） 1=2（等量代换） ba（同位角相等，两直线平行） 生乙由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平 行”的结论. 师同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理. .课堂练习 （一）课本 p190随堂练习 1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图 617 所示，其中 =10928,=7032,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由. 图 617 解：这三个四边形的形状是平行四边形. 理由是：=10928=7032（已知） +=180（等式的性质） abcd，adbc（同旁内角互补，两直线平行） 四边形 abcd是平行四边形（平行四边形的定义） （二）看课本 p188190，然后小结. .课时小结 这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表（出示投 影片6.3 e） 2011-10-10 10:40:36 共 45 页 第 17 页 由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应 用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角. 注意：1.证明语言的规范化. 2.推理过程要有依据. 3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证. .课后作业 （一）课本 p191习题 6.4 1、2 （二）1.预习内容 p192194 2.预习提纲 （1）直线平行的性质如何证明？ （2）总结归纳证明的一般步骤. .活动与探究 1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？能证明你的作法吗？ 过程通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤. 图 618 结果如图 618 所示. 用圆规和直尺能作出两条平行线. 因为在作图中，作=.而与是同位角.由“同位角相等，两直线平行” 可知：ab. 还可以作内错角，即：作一个角等于已知角，使所作的角与是内错角即可. 板书设计 6.3 为什么它们平行 一、平行线的判定方法 1.公理：同位角相等，两直线平行. 2.定理：同旁内角互补，两直线平行. 2011-10-10 10:40:36 共 45 页 第 18 页 图 619 已知：如图 619，1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且1 与2 互 补，求证：ab. 证明：1与2 互补（已知） 1+2=180（互补的定义） 1=1802（等式的性质） 3+2=180（1 平角=180） 3=1802（等式的性质） 1=3（等量代换） ab（同位角相等，两直线平行） 3.定理：内错角相等，两直线平行. 图 620 已知，如图 620，1 和2是直线 a、b被直线 c截出的内错角.且1=2. 求证 ab. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 第五课时 课 题 6.4 如果两条直线平行如果两条直线平行 教学目标 （一）教学知识点 1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤. （二）能力训练要求 1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能 力. 2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的 一般步骤. （三）情感与价值观要求 通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学 2011-10-10 10:40:36 共 45 页 第 19 页 生学习的积极主动性. 教学重点 证明的步骤和格式. 教学难点 理解命题、分清其条件和结论.正确对照命题画出图形.写出已知、求证. 教学方法 尝试指导、引导发现与讨论相结合. 教具准备 投影片六张 第一张：议一议（记作投影片6.4 a） 第二张：想一想（记作投影片6.4 b） 第三张：符号语言（记作投影片6.4 c） 第四张：命题（记作投影片6.4 d） 第五张：证明的一般步骤（记作投影片6.4 e） 第六张：练习（记作投影片6.4 f） 教学过程 .巧设现实情境，引入新课 师上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关 系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是 真命题吗？ 这节课我们就来研究“如果两条直线平行”. .讲授新课 师在前一节课中，我们知道：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”这 个真命题是公理，这一公理可以简单说成： 两直线平行，同位角相等. 下面大家来分组讨论（出示投影片6.4 a） 议一议：利用这个公理，你能证明哪些熟悉的结论？ 生甲利用“两条直线平行，同位角相等”可以证明：两条直线平行，内错角相等. 生乙还可以证明：两条直线平行，同旁内角互补. 师很好.下面大家来想一想：（出示投影片6.4 b） （1）根据“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”.你能作出相关的图形吗？ （2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ （3）你能说说证明的思路吗？ 图 623 生甲根据上述命题的文字叙述，可以作出相关的图形.如图 623. 生乙因为“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”这个命题的条件是：两 条平行线被第三条直线所截.它的结论是：内错角相等.所以我根据所作的图形.如图 623， 把这个文字命题改写为符号语言.即： 已知，如图 623，直线 ab,1和2 是直线 a、b被直线 c截出的内错角. 求证：1=2. 师乙同学叙述得很好.（出示投影片6.4 c） （投影片为上面的符号语言）你能说说证明的思路吗？ 2011-10-10 10:40:36 共 45 页 第 20 页 生丙要证明内错角1=2，从图中知道1 与3 是对顶角.所以1=3，由此 可知：只需证明2=3即可.而2 与3是同位角.这样可根据平行线的性质公理得证. 师丙同学的思路清楚.我们来根据他的思路书写证明过程.哪位同学上黑板来书写 呢？ （学生举手，请一位同学来） 生丁证明：ab（已知） 3=2（两直线平行，同位角相等） 1=3（对顶角相等） 1=2（等量代换） 师同学们写得很好.通过证明证实了这个命题是真命题，我们可以把它称为定理.即 平行线的性质定理.这样就可以把它作为今后证明的依据. 注意：（1）在课本 p191中曾指出：随堂练习和习题中用黑体字给出的结论也可以作为 今后证明的依据.所以像“对顶角相等”就可以直接应用. （2）这个性质定理的条件是：直线平行.结论是：角的关系.在应用时一定要注意. 接下来我们来做一做由判定公理可以证明的另一命题（出示投影片6.4 d） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 师来请一位同学上黑板来给大家板演，其他同学写在练习本上. 图 624 生甲已知，如图 624，直线 ab,1 和2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内 角. 求证：1+2=180. 证明：ab（已知） 3=2（两直线平行，同位角相等） 1+3=180（1 平角=180） 1+2=180（等量代换） 图 625 生乙老师，我写的已知、求证与甲同学的一样，但证明过程有一点不一样，他应 用了直线平行的性质公理，我应用了直线平行的性质定理.（证明如下） 证明：ab（已知） 3=2（两直线平行，内错角相等） 1+3=180（1 平角=180） 1+2=180（等量代换） 师同学们证得很好，都能学以致用.通过推理的过程得证这个命题“两条平行线被 第三条直线所截，同旁内角互补”是真命题.我们把它称为定理，即直线平行的性质定理， 以后可以直接应用它来证明其他的结论. 到现在为止，我们通过推理得证了两个判定定理和两个性质定理，那么你能说说证明 2011-10-10 10:40:37 共 45 页 第 21 页 的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳. 师生共析好，我们来共同归纳一下（出示投影片6.4 e） 证明的一般步骤： 第一步：根据题意，画出图形. 先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出 符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达. 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写 在求证中. 第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已 知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了. 师接下来我们来做一练习，以进一步巩固证明的过程. .课堂练习 （一）补充练习（出示投影片6.4 f） 图 625 1.证明邻补角的平分线互相垂直. 已知：如图 625，aob、boc互为邻补角，oe 平分aob，of 平分boc. 求证：oeof. 证明：oe 平分aob. of 平分boc（已知） eob= 2 1 aob bof= 2 1 boc（角平分线定义） aob+boc=180（1 平角=180） eob+bof= 2 1 （aob+boc）=90（等式的性质） 即eof=90 oeof（垂直的定义） （二）看课本 p192194，然后小结 .课时小结 这节课我