大学理论力学课件 第11章 动能定理.pdf

第十一章 第十一章 动能定理 动能定理 第十一章 第十一章 动能定理动能定理 功是代数量 功是代数量 功是代数量功是代数量 11-1 力的功 11-1 力的功 11-1 力的功11-1 力的功 常力在直线运动中的功 常力在直线运动中的功 常力在直线运动中的功 常力在直线运动中的功 单位 j（焦耳） 1 j = 1 nm 单位 j（焦耳） 1 j = 1 nm 单位 j（焦耳） 1 j = 1 nm单位 j（焦耳） 1 j = 1 nm s f s f w r r = = cos s f s f w r r = = cos cos wfs = cos wfs = 元功 元功 元功元功 d wfr = r r d wfr = r r 即 即 即 即 变力在曲线运动中的功 变力在曲线运动中的功 变力在曲线运动中的功变力在曲线运动中的功 22 11 12 d mm mm wwf r = = r r 22 11 12 d mm mm wwf r = = r r 2 1 m m 2 1 m m 力 力 在 在 路程上的功为 路程上的功为 力 力 在 在 路程上的功为路程上的功为 dddd xyz ff ifjf k rxiyjzk =+ =+ r r rr r rr r dddd xyz ff ifjf k rxiyjzk =+ =+ r r rr r rr r 记 记 记记 2 1 12 (ddd ) m mxyz wfxfyfz = + 2 1 12 (ddd ) m mxyz wfxfyfz = + 则 则 则则 f r ) ( 2 1 12 i i i z z g m w = ) ( 2 1 12 i i i z z g m w = 1、重力的功 1、重力的功 1、重力的功 1、重力的功 质点系 质点系 质点系质点系 i i c z m mz = i i c z m mz = 由 由 由 由 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。 ) ( 2 1 12 c c z z mg w = ) ( 2 1 12 c c z z mg w = 得 得 得得 ) ( d 2 1 12 2 1 z z mg z mg w z z = = ) ( d 2 1 12 2 1 z z mg z mg w z z = = mg f f f y y x = = = 0 mg f f f y y x = = = 0 2、弹性力的功 2、弹性力的功 2、弹性力的功2、弹性力的功 弹簧刚度系数弹簧刚度系数k( (n/ /m) ) 弹簧刚度系数弹簧刚度系数k( (n/ /m) ) 0 () r fk rl e = r r 0 () r fk rl e = r r 弹性力 弹性力 弹性力 弹性力 弹性力的功为 弹性力的功为 弹性力的功为弹性力的功为 2 1 12 1 d a a wfr n = r r 2 1 12 1 d a a wfr n = r r 2 1 0 ()d a r a k rl er = rr 2 1 0 ()d a r a k rl er = rr 2 11 ddd()d()d 22 r r errr rrr rrr = r rrrr r 2 11 ddd()d()d 22 r r errr rrr rrr = r rrrr r 因 因 因因 0 2 2 0 1 1 , l r l r = = 0 2 2 0 1 1 , l r l r = = 式中 式中 式中式中 r l r k w r r d ) ( 0 12 2 1 = r l r k w r r d ) ( 0 12 2 1 = 得 得 得得 ) ( 2 2 2 2 1 12 = k w ) ( 2 2 2 2 1 12 = k w 即 即 即 即 弹性力的功也与路径无关 弹性力的功也与路径无关 弹性力的功也与路径无关弹性力的功也与路径无关 1 2 12 d z wm = 1 2 12 d z wm = 3. 3. 定轴转动刚物体上作用力的功 定轴转动刚物体上作用力的功 3. 3. 定轴转动刚物体上作用力的功定轴转动刚物体上作用力的功 ) ( 1 2 12 = z m w ) ( 1 2 12 = z m w 则 则 则则 = z m = z m 若 若 常量 常量 若 若 常量常量 ddd tt wfrf sfr = r ddd tt wfrf sfr = r 由 由 由由 r f m t z = r f m t z = 得 得 得得 d z wm = d z wm = 从角 从角 转动到角 转动到角 过程中力 过程中力 的功的功为 为 从角 从角 转动到角 转动到角 过程中力 过程中力 的功的功为为 1 1 2 2 f r f r i mi m i f r i f r 作用在 作用在 点的力 点的力 的元功为 的元功为 作用在 作用在 点的力 点的力 的元功为 的元功为 力系全部力的元功之和为 力系全部力的元功之和为 力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为 d()d i icci ww frmf = =+ rr r d()d i icci ww frmf = =+ rr r 4. 4. 平面运动刚体上力系的平面运动刚体上力系的功功 4. 4. 平面运动刚体上力系的平面运动刚体上力系的功功 2 1 ddd() n iiiiciici i wfrfrfrxx = =+ rrrr rrr 2 1 ddd() n iiiiciici i wfrfrfrxx = =+ rrrr rrr 其中 其中 其中其中 dcosd()d iiciicci frfmmf = rr r dcosd()d iiciicci frfmmf = rr r icic vvv =+ rrr icic vvv =+ rrr ddd icic rrr =+ rrr ddd icic rrr =+ rrr 由 由 两端乘两端乘dt,有 ,有 由 由 由 由 两端乘 两端乘 两端乘两端乘d dt t, , , ,有 有 有有 dd icc frm =+ r r dd icc frm =+ r r 其中其中: 为力系主失为力系主失, 为力系对质心的主矩为力系对质心的主矩. 其中其中: 为力系主失为力系主失, 为力系对质心的主矩为力系对质心的主矩. r f r r f r c m c m 当质心由 当质心由 ,转角由 ,转角由 时,力系的功为 时,力系的功为 当质心由 当质心由 ,转角由 ,转角由 时,力系的功为时,力系的功为 2 1 c c 2 1 c c 2 1 2 1 即即:平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作 等于刚体上所受各力作 功的代数和功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功 之和之和. 即即:平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作 等于刚体上所受各力作 功的代数和功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功 也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功 之和之和. 22 11 12 dd c rcc c wfrm =+ r r 22 11 12 dd c rcc c wfrm =+ r r 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、2、c c点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 2、2、c c点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。 11-2 11-2 质点和质点系的动能 质点和质点系的动能 11-2 11-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 2 2 1 i i m t = 2 2 1 i i m t = 2、质点系的动能 2、质点系的动能 2、质点系的动能 2、质点系的动能 1、质点的动能 1、质点的动能 1、质点的动能1、质点的动能 2 2 1 m t = 2 2 1 m t = 单位：j（焦耳） 单位：j（焦耳） 单位：j（焦耳）单位：j（焦耳） = = i c i m v v m t i 2 2 2 1 2 1 = = i c i m v v m t i 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 i i i i i i r m r m v m t = = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 i i i i i i r m r m v m t = = = （1）平移刚体的动能 （1）平移刚体的动能 （1）平移刚体的动能 （1）平移刚体的动能 （2）定轴转动刚体的动能 （2）定轴转动刚体的动能 （2）定轴转动刚体的动能（2）定轴转动刚体的动能 2 2 1 z j t = 2 2 1 z j t = 即 即 即即 2 2 1 c mv t = 2 2 1 c mv t = 即 即 即即 2 2 2 ) ( 2 1 2 1 md j j t c p + = = 2 2 2 ) ( 2 1 2 1 md j j t c p + = = 即即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和. 即即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和与绕质心转动的动能之和. 2 2 2 1 2 1 c c j mv t + = 2 2 2 1 2 1 c c j mv t + = 得 得 得 得 速度瞬心为速度瞬心为p 速度瞬心为速度瞬心为p （3）平面运动刚体的动能 （3）平面运动刚体的动能 （3）平面运动刚体的动能（3）平面运动刚体的动能 上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动. 上面结论也适用于刚体的任意运动上面结论也适用于刚体的任意运动. dd tr = r r dd tr = r r d d mf t = r r d d mf t = r r 将 将 两端点乘 两端点乘 , , 将 将 两端点乘 两端点乘 , , 2 1 dd(),d, 2 mmfrw = r rr r 2 1 dd(),d, 2 mmfrw = r rr r 由于 由于 由于由于 11-3 11-3 动能定理 动能定理 11-3 11-3 动能定理动能定理 1、质点的动能定理 1、质点的动能定理 1、质点的动能定理1、质点的动能定理 w m = ) 2 1 ( d 2 w m = ) 2 1 ( d 2 因此 因此 因此因此 dd mfr = r rr r dd mfr = r rr r 得 得 得 得 上式称为质点上式称为质点动能定理动能定理的微分形式，即质点动能的增 的微分形式，即质点动能的增 量等于作用在质点上力的元功。 量等于作用在质点上力的元功。 上式称为质点上式称为质点动能定理动能定理的微分形式，即质点动能的增 的微分形式，即质点动能的增 量等于作用在质点上力的元功。量等于作用在质点上力的元功。 12 2 1 2 2 2 1 2 1 w m m = 12 2 1 2 2 2 1 2 1 w m m = 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过 程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过 程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 积分之积分之,有 有 积分之积分之,有有 2、质点系的动能定理 2、质点系的动能定理 2、质点系的动能定理2、质点系的动能定理 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量, 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量, 等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量, 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量, 等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 由 由 由由 i i i w m = ) 2 1 ( d 2 i i i w m = ) 2 1 ( d 2 = i i i w m ) 2 1 ( d 2 = i i i w m ) 2 1 ( d 2 求和 求和 求和求和 = i w t d = i w t d 得 得 得得 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过 程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部 程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部 力在这段过程中所作功的和. 力在这段过程中所作功的和. 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过 程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部 程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部 力在这段过程中所作功的和. 力在这段过程中所作功的和. 积分之积分之,有 有 积分之积分之,有有 = i w t t 1 2 = i w t t 1 2 3、理想约束 3、理想约束 3、理想约束3、理想约束 光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束 光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束 的约束力作功等于零的约束力作功等于零. 光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束 光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束 的约束力作功等于零的约束力作功等于零. 称约束力作功等于零的约束为理想约束称约束力作功等于零的约束为理想约束. 称约束力作功等于零的约束为理想约束称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可. 对理想约束对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可在动能定理中只计入主动力的功即可. 内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零. 内力作功之和不一定等于零内力作功之和不一定等于零. 例例111 已知已知:m, h, k, 其它质量不计其它质量不计. 例例111 已知已知:m, h, k, 其它质量不计其它质量不计. max max 求求: 求求: 解解: 解解: , 0 , 0 2 1 = = t t , 0 , 0 2 1 = = t t max 2 max 2 ) ( 0 0 k h mg + = max 2 max 2 ) ( 0 0 k h mg + = kmgh g m k k mg 2 1 2 2 max + + = kmgh g m k k mg 2 1 2 2 max + + = 例11-2 例11-2 已知：轮已知：轮o 的的r 1 、m 1 1 ,质量分布在轮缘上; 均 ,质量分布在轮缘上; 均 质轮质轮c 的的r 2 2 、 、m 2 2 纯滚动, 初始静止 ; 纯滚动, 初始静止 ; , ,m 为常力偶。 为常力偶。 例11-2 例11-2 已知：轮已知：轮o 的的r 1 、m 1 1 ,质量分布在轮缘上; 均 ,质量分布在轮缘上; 均 质轮质轮c 的的r 2 2 、 、m 2 2 纯滚动, 初始静止 ; 纯滚动, 初始静止 ; , ,m 为常力偶。 为常力偶。 求:轮心求:轮心c 走过路程走过路程s时的速度和加速度 时的速度和加速度 求:轮心求:轮心c 走过路程走过路程s时的速度和加速度时的速度和加速度 s gsin m m w 2 12 = s gsin m m w 2 12 = 0 1 = t 0 1 = t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 r m m r m t + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 r m m r m t + + = 轮轮c与轮与轮o共同作为一个质点系 共同作为一个质点系 轮轮c与轮与轮o共同作为一个质点系 共同作为一个质点系 解解: 解解: 1 r s = 1 r s = ) 3 2 ( ) ( 2 2 1 1 1 2 m m r s sin gr m m c + = ) 3 2 ( ) ( 2 2 1 1 1 2 m m r s sin gr m m c + = ) 3 2 ( 4 2 1 2 2 m m s sin g m m c + = ) 3 2 ( 4 2 1 2 2 m m s sin g m m c + = ) (a) (a 2 2 1 1 , r r c c = = 2 2 1 1 , r r c c = = 1 2 12 t t w = 1 2 12 t t w = c c c c sin g m r m m m ) 3 2 ( 2 1 2 1 2 1 = + c c c c sin g m r m m m ) 3 2 ( 2 1 2 1 2 1 = + 1 2 1 1 2 ) 3 2 ( ) ( 2 r m m sin r g m m c + = 1 2 1 1 2 ) 3 2 ( ) ( 2 r m m sin r g m m c + = 式(a)是函数关系式， 式(a)是函数关系式， 两端对两端对t求导,得 求导,得 式(a)是函数关系式， 式(a)是函数关系式， 两端对两端对t求导,得求导,得 求求:冲断试件需用的能量 冲断试件需用的能量 求求:冲断试件需用的能量冲断试件需用的能量 = 70 1 = 70 1 = 29 2 = 29 2 例例11-3 11-3 冲击试验机冲击试验机m=18kg,=18kg, l=840=840mm, 杆重不计， , 杆重不计， 在 在 时静止释放，冲断试件后摆至 时静止释放，冲断试件后摆至 例例11-3 11-3 冲击试验机冲击试验机m=18kg,=18kg, l=840=840mm, 杆重不计， , 杆重不计， 在 在 时静止释放，冲断试件后摆至时静止释放，冲断试件后摆至 j w k 92 . 78 = j w k 92 . 78 = 得冲断试件需要的能量为 得冲断试件需要的能量为 得冲断试件需要的能量为得冲断试件需要的能量为 = ) cos 1 ( 0 0 1 mgl = ) cos 1 ( 0 0 1 mgl 0 , 0 2 1 = = t t 0 , 0 2 1 = = t t k w mgl ) cos 1 ( 2 k w mgl ) cos 1 ( 2 解解: 解解: 例例114 已知已知:均质圆盘均质圆盘r,m,f=常量常量,且很大且很大,使使o向右 向右 运动运动, f, 初静止。 初静止。 例 例 例例11 11 4 4 已知 已知 已知已知: :均质圆盘 均质圆盘 均质圆盘均质圆盘r,m,f r,m,f= =常量 常量 常量常量, ,且很大 且很大 且很大且很大, ,使 使 使使o o向右 向右 向右 向右 运动 运动 运动运动, , f f, , 初静止。 初静止。 初静止。 初静止。 求求:o走过走过s路程时路程时、 求 求 求求: :o o走过 走过 走过走过s s路程时 路程时 路程时路程时 、 、 、 r = 0 r = 0 0 1 = t 0 1 = t 圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为c c , , 圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为c c , , 2 0 2 2 2 0 2 4 3 ) 2 ( 2 1 2 1 m mr m t = + = 2 0 2 2 2 0 2 4 3 ) 2 ( 2 1 2 1 m mr m t = + = 解: 解: 解:解: 1 2 t t w = 1 2 t t w = 2 0 4 3 2 m mgfs fs = 2 0 4 3 2 m mgfs fs = ) (a) (a ) 2 ( 3 2 0 mgf f m s = ) 2 ( 3 2 0 mgf f m s = = mgfs fs w 2 = mgfs fs w 2 tn fpf rrr 、 、 tn fpf rrr 、 、 均不作功均不作功. 均不作功均不作功. 注意: 注意: 注意:注意: , s f w d , s f w d 1、摩擦力1、摩擦力fd d 的功的功 s是力在空间的位移，不是 是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移. 受力作用点的位移. 1、摩擦力1、摩擦力fd d 的功的功 s是力在空间的位移，不是 是力在空间的位移，不是 受力作用点的位移.受力作用点的位移. , , 0 0 r a r = = , , 0 0 r a r = = 将式(a)两端对将式(a)两端对t求导,并利用 求导,并利用 将式(a)两端对将式(a)两端对t求导,并利用求导,并利用 ) 2 ( 3 2 0 mgf f m a = ) 2 ( 3 2 0 mgf f m a = 得 得 得得 ()2 ddd s wff sf rfsf s r = ()2 ddd s wff sf rfsf s r = 不作功的力可不考虑不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算因此亦可如下计算: 不作功的力可不考虑不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算因此亦可如下计算: r s r f r f s f f f w t t ) ( ) ( d d + = r s r f r f s f f f w t t ) ( ) ( d d + = fs mg fs s f fs 2 2 = = d fs mg fs s f fs 2 2 = = d 2 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点o 简化，即 简化，即 2 2、亦可将力系向点、亦可将力系向点o 简化，即简化，即 2 1 ,o o 求: 求: 转过转过角的角的、 求: 求: 转过转过角的角的、 2 1 o o 例11-5:已知: 例11-5:已知: , , 均质;杆均质;杆m均质, =均质, =l , , m=常量,纯 =常量,纯 滚动,处于水平面内,初始静止. 滚动,处于水平面内,初始静止. 例11-5:已知: 例11-5:已知: , , 均质;杆均质;杆m均质, =均质, =l , , m=常量,纯 =常量,纯 滚动,处于水平面内,初始静止.滚动,处于水平面内,初始静止. 2 1 o o 1 r 1 m , 0 1 = t , 0 1 = t 2 2 1 ) 2 3 3 ( 2 1 l m m + = 2 2 1 ) 2 3 3 ( 2 1 l m m + = 研究整个系统 研究整个系统 研究整个系统研究整个系统 ) , ( 1 1 01 1 01 r l r l = = = ) , ( 1 1 01 1 01 r l r l = = = 2 2 1 1 2 01 1 2 2 2 ) 2 ( 2 1 2 1 ) 3 ( 2 1 r m m ml t + + = 2 2 1 1 2 01 1 2 2 2 ) 2 ( 2 1 2 1 ) 3 ( 2 1 r m m ml t + + = 解解: 解解: m w = m w = = w t t 1 2 = w t t 1 2 2 2 1 ) 2 3 3 ( 2 1 l m m m + = 2 2 1 ) 2 3 3 ( 2 1 l m m m + = ) (a) (a 2 1 ) 9 2 ( 12 l m m m + = 2 1 ) 9 2 ( 12 l m m m + = 2 1 ) 9 2 ( 6 l m m m + = 2 1 ) 9 2 ( 6 l m m m + = 式(a)对任何式(a)对任何均成立,是函数关系,求导得 均成立,是函数关系,求导得 式(a)对任何式(a)对任何均成立,是函数关系,求导得 均成立,是函数关系,求导得 注意:轮、接触点注意:轮、接触点c不是 不是 理想约束,其摩擦力理想约束,其摩擦力fs尽管在空间 尽管在空间 是移动的,但作用于速度瞬心,故不 是移动的,但作用于速度瞬心,故不 作功. 作功. 注意:轮、接触点注意:轮、接触点c不是 不是 理想约束,其摩擦力理想约束,其摩擦力fs尽管在空间 尽管在空间 是移动的,但作用于速度瞬心,故不 是移动的,但作用于速度瞬心,故不 作功.作功. 0 1 = t 0 1 = t ab ab c l c c 2 3 = = ab ab c l c c 2 3 = = l l b ob b ab = = , l l b ob b ab = = , ob ab = ob ab = 例11-6:均质杆例11-6:均质杆ob= =ab= =l, , m在铅垂面内;在铅垂面内;m=常 =常 量,初始静止,不计摩擦. 量,初始静止,不计摩擦. 例11-6:均质杆例11-6:均质杆ob= =ab= =l, , m在铅垂面内;在铅垂面内;m=常 =常 量,初始静止,不计摩擦.量,初始静止,不计摩擦. = 2 ) cos 1 ( 2 l mg m w = 2 ) cos 1 ( 2 l mg m w 解: 解: 解: 解: 求:当求:当a a运动到运动到o点时, 点时, 求:当求:当a a运动到运动到o点时,点时, ？ = a ？ = a l ab a 2 = l ab a 2 = 2 2 2 1 c ob ab m t t t = + = 2 2 2 1 c ob ab m t t t = + = 1 2 t t w = 1 2 t t w = ) cos 1 ( 3 2 1 = mgl m m l ab ) cos 1 ( 3 2 1 = mgl m m l ab l ab a 2 = l ab a 2 = 2 2 3 4 ab ml = 2 2 3 4 ab ml = 2 0 2 2 1 2 1 ob ab c j j + + 2 0 2 2 1 2 1 ob ab c j j + + d w p t = d w p t = 11-4 功率、功率方程、机械效率 11-4 功率、功率方程、机械效率 11-4 功率、功率方程、机械效率11-4 功率、功率方程、机械效率 d d t r pff vfv t = r rr r d d t r pff vfv t = r rr r 1、功率：单位时间力所作的功称功率 1、功率：单位时间力所作的功称功率 1、功率：单位时间力所作的功称功率1、功率：单位时间力所作的功称功率 即即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 即即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 由 由 ,得 ,得 由 由 ,得,得 d wfr = r r d wfr = r r z z m t m t w p = = = d d d z z m t m t w p = = = d d d 单位w（瓦特）,单位w（瓦特）,1 1w=1=1j/s 单位w（瓦特）,单位w（瓦特）,1 1w=1=1j/s 作用在转动刚体上的力的功率为 作用在转动刚体上的力的功率为 作用在转动刚体上的力的功率为作用在转动刚体上的力的功率为 2、功率方程 2、功率方程 2、功率方程2、功率方程 = = = = n i i n i p t w t t 1 1 2 d d d = = = = n i i n i p t w t t 1 1 2 d d d 称称功率方程功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,等于作 等于作 用于质点系的所有力的功率的代数和用于质点系的所有力的功率的代数和. 称称功率方程功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,等于作 等于作 用于质点系的所有力的功率的代数和用于质点系的所有力的功率的代数和. 无用 有用 输入 p p p t t = d d 无用 有用 输入 p p p t t = d d 或 或 或或 d d t ppp t =+ 无用 输入有用 d d t ppp t =+ 无用 输入有用 3、机械效率 3、机械效率 3、机械效率3、机械效率 机械效率 机械效率 机械效率机械效率 输入 有效 p p = 输入 有效 p p = 有效功率 有效功率 有效功率有效功率 t t p p d d + = 有用 有效 t t p p d d + = 有用 有效 多级转动系统 多级转动系统 多级转动系统多级转动系统 n l 2 , 1 = n l 2 , 1 = 例11-7 已知: 例11-7 已知: 例11-7 已知:例11-7 已知: 5.4, p = kw 输入 5.4, p = kw 输入 % 30 = 输入 无用 p p % 30 = 输入 无用 p p min / r 42 , mm 100 = = n d min / r 42 , mm 100 = = n d 若 若 ，求，求f的最大值。 的最大值。 若 若 ，求，求f的最大值。的最大值。 min / r 112 = n min / r 112 = n 求:切削力求:切削力f f的最大值 的最大值 求:切削力求:切削力f f的最大值的最大值 解: 解: 解:解: kw 78 . 3 = = 无用 输入 有用 p p p kw 78 . 3 = = 无用 输入 有用 p p p 有用 有用 p dn n d f f p 60 30 2 = = = 有用 有用 p dn n d f f p 60 30 2 = = = kn 19 . 17 min) / r 42 )( m 1 . 0 ( ) kw 78 . 3 (sec)( 60 = = f kn 19 . 17 min) / r 42 )( m 1 . 0 ( ) kw 78 . 3 (sec)( 60 = = f 当 当 当当 min / r 112 = n min / r 112 = n kn 45 . 6 min) / 112 )( m 1 . 0 ( ) kw 78 . 3 (sec)( 60 = = r f kn 45 . 6 min) / 112 )( m 1 . 0 ( ) kw 78 . 3 (sec)( 60 = = r f 时 时 时时 例例118 已知 已知 ：m . l0 .k . r . j 例例118 已知 已知 ：m . l0 .k . r . j 求求:系统的运动微分方程。 系统的运动微分方程。 求求:系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。 r s = r s = 解解: 解解: 2 d d 2 1 = t s m t 2 d d 2 1 = t s m t 2 2 d d 2 1 + = t s r j m 2 2 d d 2 1 + = t s r j m t s ks p t s mg p d d , d d = = 弹性力 重力 t s ks p t s mg p d d , d d = = 弹性力 重力 2 d d 2 1 + t j 2 d d 2 1 + t j d d t pp t =+ 重力弹性力 d d t pp t =+ 重力弹性力 t s ks t s mg t s t s r j m d d d d d d d d 2 2 2 = + t s ks t s mg t s t s r j m d d d d d d d d 2 2 2 = + ks mg t s r j m = + 2 2 2 d d ks mg t s r j m = + 2 2 2 d d , 0 x s + = , 0 x s + = kx kx k mg t x r j m = = + 0 2 2 2 d d kx kx k mg t x r j m = = + 0 2 2 2 d d 0 d d 2 2 2 = + + kx t x r j m 0 d d 2 2 2 = + + kx t x r j m 令 令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg= =k , , 以平衡位置为原点 以平衡位置为原点 令 令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg= =k , , 以平衡位置为原点以平衡位置为原点 0 0 0 0 11-5 势力场.势能.机械能守恒定律 11-5 势力场.势能.机械能守恒定律 11-5 势力场.势能.机械能守恒定律11-5 势力场.势能.机械能守恒定律 1.1.势力场 势力场 1.1.势力场势力场 ( ) 0 0 d ddd m m m xyz m vfr fxfyfz = =+ r r ( ) 0 0 d ddd m m m xyz m vfr fxfyfz = =+ r r 势力场势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关, :场力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关.与路径无关. 势力场势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关, :场力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关.与路径无关. 2.2.势能 势能 2.2.势能势能 0 m 0 m 称势能零点 称势能零点 称势能零点称势能零点 ( ) , , ff x y z = rr ( ) , , ff x y z = rr 力场 力场 力场力场 （1）重力场中心势能 （1）重力场中心势能 （1）重力场中心势能（1）重力场中心势能 ( ) 0 0 d z z vmg zmg zz = ( ) 0 0 d z z vmg zmg zz = ( ) 0 22 0 d 2 r r k vfr = r r ( ) 0 22 0 d 2 r r k vfr = r r （2）弹性力场的势能 （2）弹性力场的势能 （2）弹性力场的势能（2）弹性力场的势能 0 0, = 为零势能点 则 0 0, = 为零势能点 则 2 2 k v = 2 2 k v = （3）万有引力场中的势能 （3）万有引力场中的势能 （3）万有引力场中的势能（3）万有引力场中的势能 00 12 2 dd aa r aa fm m vfrer r = rr rr 00 12 2 dd aa r aa fm m vfrer r = rr rr dd rr = r r r 由于e 有 dd rr = r r r 由于e 有 1 12 12 2 1 11 d r r fm m vrfm m rrr = 1 12 12 2 1 11 d r r fm m vrfm m rrr = 取零势能点在无穷远 取零势能点在无穷远 取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远 = 1 r = 1 r r m fm v 2 1 = r m fm v 2 1 = 0 d i i m i m vfr = r r 0 d i i m i m vfr = r r 质点 质点 质点质点 ( ) ( ) 0 0 c c i i i z z mg z z g m v = = ( ) ( ) 0 0 c c i i i z z mg z z g m v = = 重力场 重力场 重力场重力场 例如 已知:均质杆例如 已知:均质杆l, m 弹簧强度弹簧强度 k, , ab水平时平衡，弹 水平时平衡，弹 簧变形 簧变形 例如 已知:均质杆例如 已知:均质杆l, m 弹簧强度弹簧强度 k, , ab水平时平衡，弹 水平时平衡，弹 簧变形簧变形 0 0 取弹簧自然位置取弹簧自然位置o为零势能点: 为零势能点: 取弹簧自然位置取弹簧自然位置o为零势能点:为零势能点: ( ) k g m l k l mg l k v 8 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 0 + = + = ( ) k g m l k l mg l k v 8 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 0 + = + = k mg 2 0 = k mg 2 0 = ( )0 a mf = r ( )0 a mf = r 由 由 由 由 得 得 得得 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 l mg l l k mgh k v + + = = ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 l mg l l k mgh k v + + = = 取杆平衡位置为零势能点: 取杆平衡位置为零势能点: 取杆平衡位置为零势能点:取杆平衡位置为零势能点: 2 2 2 1 l k v = 2 2 2 1 l k v = 即 即 即 即 质点系在势力场中运动,有势力功为 质点系在势力场中运动,有势力功为 质点系在势力场中运动,有势力功为质点系在势力场中运动,有势力功为 2 1 12 v v w = 2 1 12 v v w = 3. 3. 机械能守恒定律 机械能守恒定律 3. 3. 机械能守恒定律机械能守恒定律 由 由 由由 12 1 2 w t t = 12 1 2 w t t = 即即:质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒机械能守恒.此 此 类系统称类系统称保守系统保守系统 即即:质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒机械能守恒.此 此 类系统称类系统称保守系统保守系统 2 1 12 v v w = 2 1 12 v v w = 及 及 及及 2 2 1 1 v t v t + = + 2 2 1 1 v t v t + = + 得 得 得得 例 例 已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下 匀速下 降，钢索降，钢索 k=3.35 n/m . 例 例 已知：重物已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s匀速下 匀速下 降，钢索降，钢索 k=3.35 n/m . 6 10 6 10 求: 求: 轮轮d d突然卡住时，钢索的最大张力. 突然卡住时，钢索的最大张力. 求: 求: 轮轮d d突然卡住时，钢索的最大张力.突然卡住时，钢索的最大张力. , k mg st = , k mg st = 0 1 = v 0 1 = v ( ) ( ) st st mg k = max 2 2 max 2 2 v ( ) ( ) st st mg k = max 2 2 max 2 2 v 卡住前 卡住前 卡住前 卡住前 卡住时: 卡住时: 卡住时:卡住时: 0 , 2 1 2 2 1 = = t m t 0 , 2 1 2 2 1 = = t m t kn 45 .