大学理论力学课件 第14章 分析动力学基础.pdf

第 第 第第14 14章 章 章 章 分析动力学基础 分析动力学基础 分析动力学基础分析动力学基础 (elements of analytical dynamics ) 引 引 引 引 言 言 言 言 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 讨 讨 讨 讨 论 论 论 论 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 第 第 第第14 14章 章 章 章 分析动力学基础 分析动力学基础 分析动力学基础分析动力学基础 拓宽研究领域 拓宽研究领域 拓宽研究领域 拓宽研究领域 矢量动力学 矢量动力学 矢量动力学矢量动力学又称为 又称为 又称为又称为牛顿欧拉动力学 牛顿欧拉动力学 牛顿欧拉动力学 牛顿欧拉动力学 引 引 引 引 言 言 言 言 经典动力学发展的两个方面： 经典动力学发展的两个方面： 经典动力学发展的两个方面： 经典动力学发展的两个方面： 寻求新的表达形式 寻求新的表达形式 寻求新的表达形式 寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 建立 建立 建立 建立 分析力学 分析力学 分析力学分析力学的新体系 的新体系 的新体系的新体系。该 。该 。该。该体系组成之一即 体系组成之一即 体系组成之一即体系组成之一即拉格朗日力学 拉格朗日力学 拉格朗日力学 拉格朗日力学 牛顿运动定律 牛顿运动定律 牛顿运动定律 牛顿运动定律 由单个自由质点 由单个自由质点 由单个自由质点 由单个自由质点 受约束质点和质点系 受约束质点和质点系 受约束质点和质点系受约束质点和质点系。 。 。 。 欧拉将牛顿运动定律 欧拉将牛顿运动定律 欧拉将牛顿运动定律 欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流 刚体和理想流 刚体和理想流刚体和理想流。 。 。 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 应用举例 应用举例 应用举例应用举例 考察由 考察由 考察由考察由n n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔 个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔 个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔 个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔 原理，有 原理，有 原理，有原理，有 ) 2 1 ( 0 n n i m i i i i , , , a f f = = + ) 2 1 ( 0 n n i m i i i i , , , a f f = = + 主动力 主动力 主动力 主动力 约束力 约束力 约束力 约束力 惯性力 惯性力 惯性力 惯性力 令系统有任意一组虚位移 令系统有任意一组虚位移 令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移 ) 2 1 ( n i i , , , r = ) 2 1 ( n i i , , , r = 系统的总虚功为 系统的总虚功为 系统的总虚功为系统的总虚功为 ) 2 1 ( 0 ) ( n n i m i i i i i i , , , r a f f = = + ) 2 1 ( 0 ) ( n n i m i i i i i i , , , r a f f = = + 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程 利用理想约束条件 利用理想约束条件 利用理想约束条件利用理想约束条件 ) 2 1 ( 0 n n i i i i , , , r f = = ) 2 1 ( 0 n n i i i i , , , r f = = ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = 得到 得到 得到得到 动力学普遍方程（ 动力学普遍方程（ 动力学普遍方程（ 动力学普遍方程（ 达朗贝尔拉格朗日方程） 达朗贝尔拉格朗日方程） 达朗贝尔拉格朗日方程） 达朗贝尔拉格朗日方程） 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与 惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 达朗贝 达朗贝 达朗贝 达朗贝 尔拉格朗日原理 尔拉格朗日原理 尔拉格朗日原理尔拉格朗日原理( (dalembert dalembert lagrange principle) lagrange principle) 。 。 。 n i z z m f y y m f x x m f i i i iz i i i iy i i i i ix , , , = = + + 2 1 0 ) ( ) ( ) ( & & & & & & n i z z m f y y m f x x m f i i i iz i i i iy i i i i ix , , , = = + + 2 1 0 ) ( ) ( ) ( & & & & & & 动力学普遍方程的 动力学普遍方程的 动力学普遍方程的动力学普遍方程的直角坐标形式 直角坐标形式 直角坐标形式直角坐标形式 ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程动力学普遍方程 ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i iz iy ix i z y x z y x f f f , , r , , , a , , , f = = = & & & & & & ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i iz iy ix i z y x z y x f f f , , r , , , a , , , f = = = & & & & & & 动力学普遍方程 动力学普遍方程 动力学普遍方程动力学普遍方程 适用于具有定常（或非定常）约束的系统； 适用于具有定常（或非定常）约束的系统； 适用于具有定常（或非定常）约束的系统； 适用于具有定常（或非定常）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有有势力（或无势力）的系统。 适用于具有有势力（或无势力）的系统。 适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。 动力学普遍方程： 动力学普遍方程： 动力学普遍方程：动力学普遍方程： 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统； 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解动力学 动力学 动力学 动力学 第二类问题 第二类问题 第二类问题第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。 ，即：已知主动力求系统的运动规律。 ，即：已知主动力求系统的运动规律。 ，即：已知主动力求系统的运动规律。 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律 时，重要的是正确 时，重要的是正确 时，重要的是正确时，重要的是正确分析运动 分析运动 分析运动分析运动，并在系统上 ，并在系统上 ，并在系统上，并在系统上施加惯性力 施加惯性力 施加惯性力施加惯性力。 。 。 。 应用举例 应用举例 应用举例 应用举例 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因 此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。 应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确 应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确 应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确分析 分析 分析分析主 主 主 主 动力和惯性力作用点的 动力和惯性力作用点的 动力和惯性力作用点的动力和惯性力作用点的虚位移 虚位移 虚位移虚位移，并正确 ，并正确 ，并正确，并正确计算 计算 计算计算相应的 相应的 相应的相应的虚功 虚功 虚功虚功。 。 。 例 例 例 例 题 题 题题 1 1 b b a a c c l l l l l l l l o o 1 1 x x 1 1 y y 1 1 离心调速器 离心调速器 离心调速器 离心调速器 已知： 已知： 已知：已知： m m 1 1 球 球 球球a a、 、b b 的质量； 的质量； 的质量；的质量； m m 2 2 重锤 重锤 重锤重锤c c 的质量； 的质量； 的质量；的质量； l l 杆件的长度； 杆件的长度； 杆件的长度；杆件的长度； o o 1 1 y y 1 1 轴的旋转角速度。 轴的旋转角速度。 轴的旋转角速度。 轴的旋转角速度。 求： 求： 求：求： 的关系。 的关系。 的关系。 的关系。 应用举例 应用举例 应用举例应用举例 c c l l l l l l l l o o 1 1 x x y y a a b b 解： 解： 解：解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系 统具有一个自由度。 统具有一个自由度。 统具有一个自由度。 统具有一个自由度。 取广义坐标 取广义坐标 取广义坐标取广义坐标 q q= = 1 1、分析运动、确定惯性力 、分析运动、确定惯性力 、分析运动、确定惯性力 、分析运动、确定惯性力 球 球 球球a a、 、b b绕 绕 绕绕 y y轴等速转动；重锤静止不动。 轴等速转动；重锤静止不动。 轴等速转动；重锤静止不动。 轴等速转动；重锤静止不动。 球 球 球球a a、 、b b的惯性力为 的惯性力为 的惯性力为的惯性力为 2 i i sin ml f f b a 2 i i sin ml f f b a f f i ib b f f i ia a m m 1 1 g g m m 1 1 g g m m 2 2 g g 2 2、给 、给 、给、给系统有一 系统有一 系统有一系统有一虚位移 虚位移 虚位移虚位移 。 。a a、 、b b、 、c c 三处的虚位移分别为 三处的虚位移分别为 三处的虚位移分别为三处的虚位移分别为 r r a a 、 、 、 r r b b 、 、 、 r r c c r r b b r r a a r r c c 3 3、应用达朗贝尔拉格朗日方程 、应用达朗贝尔拉格朗日方程 、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程 0 2 1 1 i i = + + + + c b a b b a a y g m y g m y g m x f x f 0 2 1 1 i i = + + + + c b a b b a a y g m y g m y g m x f x f c c l l l l l l l l o o 1 1 x x y y a a b b m m 1 1 g g m m 1 1 g g m m 2 2 g g r r b b r r a a r r c c 根据几何关系，有 根据几何关系，有 根据几何关系，有根据几何关系，有 cos 2 cos sin cos sin l y l y l x l y l x c b b a a cos 2 cos sin cos sin l y l y l x l y l x c b b a a sin 2 sin cos sin cos l y l y l x l y l x c b b a a sin 2 sin cos sin cos l y l y l x l y l x c b b a a f f i ib b f f i ia a 0 sin 2 sin 2 cos sin 2 2 1 2 1 = gl m gl m l l m 0 sin 2 sin 2 cos sin 2 2 1 2 1 = gl m gl m l l m cos ) ( 1 2 1 2 l m g m m + = cos ) ( 1 2 1 2 l m g m m + = 0 2 1 1 i i = + + + + c b a b b a a y g m y g m y g m x f x f 0 2 1 1 i i = + + + + c b a b b a a y g m y g m y g m x f x f 例 例 例 例 题 题 题题 2 2 x x o o y y c c 2 2 d d 质量为 质量为 质量为质量为m m 1 1 的 的 的的三棱柱 三棱柱 三棱柱三棱柱abc abc 通过滚轮搁置在光滑的水平 通过滚轮搁置在光滑的水平 通过滚轮搁置在光滑的水平 通过滚轮搁置在光滑的水平 面上。质量为 面上。质量为 面上。质量为面上。质量为m m 2 2 、半径为 、半径为 、半径为、半径为r r 的均质圆轮沿 的均质圆轮沿 的均质圆轮沿的均质圆轮沿三棱柱的斜面 三棱柱的斜面 三棱柱的斜面三棱柱的斜面 ab ab无滑动地滚下。 无滑动地滚下。 无滑动地滚下。 无滑动地滚下。 求： 求： 求：求：1 1、三棱柱后退的加 、三棱柱后退的加 、三棱柱后退的加 、三棱柱后退的加 速度 速度 速度速度a a 1 1 ； ； ； 2 2、 、 、圆轮质心 圆轮质心 圆轮质心圆轮质心c c 2 2 相对 相对 相对 相对 于 于 于于三棱柱加速度 三棱柱加速度 三棱柱加速度三棱柱加速度a a r r 。 。 。 c c 1 1 a a c c b b 应用举例 应用举例 应用举例应用举例 x x o o y y c c 2 2 d d c c 1 1 a a c c b b 解： 解： 解：解：1 1、分析运动 、分析运动 、分析运动 、分析运动 三棱柱作平移 三棱柱作平移 三棱柱作平移三棱柱作平移， ， ，加速度为 加速度为 加速度为加速度为 a a 1 1 。 。 a a 1 1 圆轮作平面运动，质心的牵连 圆轮作平面运动，质心的牵连 圆轮作平面运动，质心的牵连 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为 加速度为 加速度为加速度为a a e e = = a a 1 1 ； ；质心的相对加 质心的相对加 质心的相对加 质心的相对加 速度为 速度为 速度为速度为a a r r ； ；圆轮的角加速度为 圆轮的角加速度为 圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2 。 。 a a e e a a r r 2 2 2 2、施加惯性力 、施加惯性力 、施加惯性力、施加惯性力 1 1 i1 a m f = 1 1 i1 a m f = 1 2 i2e a m f = 1 2 i2e a m f = r 2 i2r a m f = r 2 i2r a m f = 2 2 i2r j m = 2 2 i2r j m = 2 2 2 2 1 r m j = 2 2 2 2 1 r m j = m m 1 1 g g m m 2 2 g g f f i1 i1 f f i 2 e i 2 e f f i 2 r i 2 r m m i2 i2 3 3、确定虚位移 、确定虚位移 、确定虚位移、确定虚位移 x x o o y y c c 2 2 d d c c 1 1 a a c c b b m m 1 1 g g m m 2 2 g g f f i1 i1 f f i 2 e i 2 e f f i 2 r i 2 r m m i2 i2 x x 考察三棱柱和圆盘组成的系统， 考察三棱柱和圆盘组成的系统， 考察三棱柱和圆盘组成的系统， 考察三棱柱和圆盘组成的系统， 系统具有两个自由度 系统具有两个自由度 系统具有两个自由度系统具有两个自由度 ， x ， x x x o o y y c c 2 2 d d c c 1 1 a a c c b b m m 1 1 g g m m 2 2 g g f f i1 i1 f f i 2 e i 2 e f f i 2 r i 2 r m m i2 i2 x x 0 0 = ， 令 x 0 0 = ， 令 x 0 cos sin 2 2 r 2 i e 2 i 2 = + r j r f r f r g m 0 cos sin 2 2 r 2 i e 2 i 2 = + r j r f r f r g m 0 ) 2 3 cos ( 1 sin r 1 = + a a g 0 ) 2 3 cos ( 1 sin r 1 = + a a g 4 4、应用达朗贝尔拉格朗日方程 、应用达朗贝尔拉格朗日方程 、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程 0 0 = ， 令 x 0 0 = ， 令 x 0 cos ) ( r 2 i e 2 i 1 i = + + x f x f f 0 cos ) ( r 2 i e 2 i 1 i = + + x f x f f cos ) ( 1 2 1 r m a m m a + = cos ) ( 1 2 1 r m a m m a + = 求解联立方程，得： 求解联立方程，得： 求解联立方程，得：求解联立方程，得： 2 2 2 1 2 1 r 2 2 2 1 2 1 cos 2 ) 3( ) ( sin 2 cos 2 ) 3( sin2 m m m m m g a m m m g m a + + = + = 2 2 2 1 2 1 r 2 2 2 1 2 1 cos 2 ) 3( ) ( sin 2 cos 2 ) 3( sin2 m m m m m g a m m m g m a + + = + = 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用 考察由 考察由 考察由考察由n n个质点组成的系统，系统具有 个质点组成的系统，系统具有 个质点组成的系统，系统具有个质点组成的系统，系统具有s s个理想的、且为 个理想的、且为 个理想的、且为 个理想的、且为 完整的约束，系统的广义坐标数为 完整的约束，系统的广义坐标数为 完整的约束，系统的广义坐标数为完整的约束，系统的广义坐标数为 n n= =3 3n n s s 。第 。第 。第。第i i个质点的 个质点的 个质点的 个质点的 位矢为 位矢为 位矢为位矢为 n i q q q t n i i , , , , , , , r r = = 2 1 ) ( 2 1 ， n i q q q t n i i , , , , , , , r r = = 2 1 ) ( 2 1 ， 广义速度广义速度 t q q q q t j j j n j j i i i d d 1 = + = = & & & r r r 广义速度广义速度 t q q q q t j j j n j j i i i d d 1 = + = = & & & r r r 函数， 仅为时间和广义坐标的 和 j i i q t r r 函数， 仅为时间和广义坐标的 和 j i i q t r r 无关 无关 与广义速度与广义速度 j q & 无关 无关 与广义速度与广义速度 j q & 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式拉格朗日关系式 ) (消点 式 第一个拉格朗日关系 j i j i q q = r r & & ) (消点 式 第一个拉格朗日关系 j i j i q q = r r & & j n j j i i i q q t & & = + = 1 r r r j n j j i i i q q t & & = + = 1 r r r 对任意一个广义坐标 对任意一个广义坐标 对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标q q a a 求偏导数 求偏导数 求偏导数求偏导数 j n j j a i a i a i q q q t q q & & = + = 1 2 2 r r r j n j j a i a i a i q q q t q q & & = + = 1 2 2 r r r 如果将位矢 如果将位矢 如果将位矢如果将位矢对任意一个广义坐标 对任意一个广义坐标 对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标q q a a 求偏导数，再对时间求 求偏导数，再对时间求 求偏导数，再对时间求 求偏导数，再对时间求 导数，则得到 导数，则得到 导数，则得到导数，则得到 j n j j a i a i i a q q q t q t q & = + = 1 2 2 d d r r r j n j j a i a i i a q q q t q t q & = + = 1 2 2 d d r r r 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式拉格朗日关系式 j n j j a i a i a i q q q t q q t & = + = 1 2 2 d d r r r j n j j a i a i a i q q q t q q t & = + = 1 2 2 d d r r r 比较上两式：比较上两式： t q i j d dr t q i j d dr j i q t r d d j i q t r d d 第二个拉格朗日关系式 第二个拉格朗日关系式 第二个拉格朗日关系式 第二个拉格朗日关系式 位矢 位矢 位矢位矢 r r i i 对 对 对对q q j j 的偏导数与位矢 的偏导数与位矢 的偏导数与位矢的偏导数与位矢r r i i 对时间 对时间 对时间对时间 t t的全导数运算可 的全导数运算可 的全导数运算可 的全导数运算可 以互换 以互换 以互换以互换( (微分记号互换 微分记号互换 微分记号互换微分记号互换) ) ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = ) 2 1 ( 0 ) ( n i m i i i i i , , , r a f = = 由达朗贝尔拉格朗日方程 由达朗贝尔拉格朗日方程 由达朗贝尔拉格朗日方程由达朗贝尔拉格朗日方程 n i q q q t n i i , , , , , , , r r = = 2 1 ) ( 2 1 ， n i q q q t n i i , , , , , , , r r = = 2 1 ) ( 2 1 ， 0 2 2 1 1 = + + + + = t q q q q q q t t n n i i i i i , r r r r r 0 2 2 1 1 = + + + + = t q q q q q q t t n n i i i i i , r r r r r n i q q n j j j i i , , , , r r = = = 2 1 1 n i q q n j j j i i , , , , r r = = = 2 1 1 ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i i i n j j i i , , , r a r f = = = = = ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i i i n j j i i , , , r a r f = = = = = 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式拉格朗日关系式 ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i n i i i j i i , , , , r a r f = = + = = = ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i n i i i j i i , , , , r a r f = = + = = = 广义主动力 广义主动力 广义主动力广义主动力f f q qj j 广义惯性力 广义惯性力 广义惯性力广义惯性力f f i ij j = = = = n i j i i i j i n i i i j q t m q m f 1 1 i d d r r r a & = = = = n i j i i i j i n i i i j q t m q m f 1 1 i d d r r r a & ) ( d d ) ( d d 1 1 = = + = n i j i i i n i j i i i q t m q m t r r r r & & ) ( d d ) ( d d 1 1 = = + = n i j i i i n i j i i i q t m q m t r r r r & & ) ( ) ( d d 1 1 = = + = n i j i i i n i j i i i q m q m t r r r r & & & & & ) ( ) ( d d 1 1 = = + = n i j i i i n i j i i i q m q m t r r r r & & & & & = = + = n i i i j n i i i j v m q v m q t 1 2 1 2 ) 2 ( ) 2 ( d d & = = + = n i i i j n i i i j v m q v m q t 1 2 1 2 ) 2 ( ) 2 ( d d & ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i n i i i j i i , , , , r a r f = = + = = = ) 2 1 ( 0 ) ( 1 1 1 n j q q m q j n j j i n i n i i i j i i , , , , r a r f = = + = = = 广义主动力 广义主动力 广义主动力广义主动力f f q qj j 广义惯性力 广义惯性力 广义惯性力广义惯性力f f i ij j 引入动能函数 引入动能函数 引入动能函数引入动能函数 = = n i i i v m t 1 2 2 1 = = n i i i v m t 1 2 2 1 j j j q t q t t f + = ) ( d d i & j j j q t q t t f + = ) ( d d i & 0 ) ( d d 1 q = + = j n j j j j q q t q t t f & 0 ) ( d d 1 q = + = j n j j j j q q t q t t f & 达朗贝尔拉格朗日 达朗贝尔拉格朗日 达朗贝尔拉格朗日 达朗贝尔拉格朗日 方程的广义坐标形式 方程的广义坐标形式 方程的广义坐标形式 方程的广义坐标形式 对于只具有完整约束的系统，由于 对于只具有完整约束的系统，由于 对于只具有完整约束的系统，由于对于只具有完整约束的系统，由于 q q j j 的独立性， 的独立性， 的独立性，的独立性， q q j j ( (j= j=1,2, 1,2, , ,n n) ) 得到 得到 得到得到 j j j f q t q t t q ) ( d d & 此即 此即 此即此即拉格朗日方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程拉格朗日方程，或称为 ，或称为 ，或称为，或称为第二类拉格 第二类拉格 第二类拉格 第二类拉格 朗日方程 朗日方程 朗日方程朗日方程lagrange equation(of the lagrange equation(of the second kind) second kind) 。 。 。 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义 主动力 主动力 主动力主动力 j j q v f q j j q v f q j j j q v q t q t t ) ( d d & j j j q v q t q t t ) ( d d & ) 2 1 ( 0 ) , , ( 2 1 n j q v q q q t v v j n , , , , , , = = & ) 2 1 ( 0 ) , , ( 2 1 n j q v q q q t v v j n , , , , , , = = & 0 ) ( ) ( d d j j j j q v q t q v q t t & & 0 ) ( ) ( d d j j j j q v q t q v q t t & & 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的有势力形式 引入 引入 引入引入拉格朗日函数 拉格朗日函数 拉格朗日函数拉格朗日函数 l l t t v v 得到 得到 得到得到主动力为有势力的拉格朗日方程 主动力为有势力的拉格朗日方程 主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程 0 ) ( d d j j q l q l t & 0 ) ( d d j j q l q l t & 对于只具有完整约束、自由度为 对于只具有完整约束、自由度为 对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为n n的系统，可以得到 的系统，可以得到 的系统，可以得到 的系统，可以得到 由 由 由由n n个拉格朗日方程组成的方程组。 个拉格朗日方程组成的方程组。 个拉格朗日方程组成的方程组。 个拉格朗日方程组成的方程组。 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： 步骤： 步骤： 步骤： 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势， 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。 义力。 义力。 义力。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用 例 例 例 例 题 题 题题 3 3 x x o o x x l l 0 0 a a b b 质量为 质量为 质量为质量为m m、长度为 、长度为 、长度为、长度为l l的均质杆 的均质杆 的均质杆的均质杆ab ab 可以绕 可以绕 可以绕可以绕a a端的铰链在平面内转动。 端的铰链在平面内转动。 端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。 a a端的小圆轮与刚度系数为 端的小圆轮与刚度系数为 端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为k k的弹 的弹 的弹 的弹 簧相连，并可在滑槽内上下滑动。 簧相连，并可在滑槽内上下滑动。 簧相连，并可在滑槽内上下滑动。 簧相连，并可在滑槽内上下滑动。 弹簧的原长为 弹簧的原长为 弹簧的原长为弹簧的原长为l l 0 0 。 。 。 。 求 求 求求：系统的运动微分方程 ：系统的运动微分方程 ：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程 c c k k 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用 x x o o x x l l 0 0 a a b b c c k k 解： 解： 解：解：1 1、系统的约束为完整约束，主动 、系统的约束为完整约束，主动 、系统的约束为完整约束，主动 、系统的约束为完整约束，主动 力为有势力。 力为有势力。 力为有势力。力为有势力。 2 2、系统具有两个自由度，广义坐标 、系统具有两个自由度，广义坐标 、系统具有两个自由度，广义坐标 、系统具有两个自由度，广义坐标 选择为 选择为 选择为选择为q q= =( (x x, , ) ), , x x坐标的原点取在弹簧原 坐标的原点取在弹簧原 坐标的原点取在弹簧原 坐标的原点取在弹簧原 长的下方 长的下方 长的下方长的下方。 。 。 3 3、计算系统的动能：不计弹簧的 、计算系统的动能：不计弹簧的 、计算系统的动能：不计弹簧的 、计算系统的动能：不计弹簧的 质量，系统的动能即为 质量，系统的动能即为 质量，系统的动能即为质量，系统的动能即为ab ab杆的动能 杆的动能 杆的动能杆的动能 2 2 2 1 2 1 & c c j mv t + = 2 2 2 1 2 1 & c c j mv t + = 速度 速度 速度速度v v c c 的确定 的确定 的确定的确定 sin 2 cos 2 & & & l x x l x x c c = + = sin 2 cos 2 & & & l x x l x x c c = + = cos 2 sin 2 & & l y l y c c = = cos 2 sin 2 & & l y l y c c = = ) 3 1 sin ( 2 1 2 1 ) cos 2 1 ( ) sin 2 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 & & & & & & & & l l x x m j l x m t c + = + + = ) 3 1 sin ( 2 1 2 1 ) cos 2 1 ( ) sin 2 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 & & & & & & & & l l x x m j l x m t c + = + + = x x o o x x l l 0 0 a a b b c c k k 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 组成，以 组成，以 组成，以组成，以o o点为共同的势能零点： 点为共同的势能零点： 点为共同的势能零点：点为共同的势能零点： ) cos 2 ( 2 1 2 l x mg kx v + = ) cos 2 ( 2 1 2 l x mg kx v + = 拉格朗日函数 拉格朗日函数 拉格朗日函数拉格朗日函数 ) cos 2 ( 2 1 2 l x mg kx + + ) cos 2 ( 2 1 2 l x mg kx + + v t l = v t l = ) 3 1 sin ( 2 1 2 2 2 & & & & l l x x m + = ) 3 1 sin ( 2 1 2 2 2 & & & & l l x x m + = 4 4、应用拉格朗日方程运动微分方程 、应用拉格朗日方程运动微分方程 、应用拉格朗日方程运动微分方程、应用拉格朗日方程运动微分方程 0 ) ( d d j j q l q l t & 0 ) ( d d j j q l q l t & & & & & = = = = = 2 1 2 1 , , 2 , 1 , q x q q x q j q j 广义坐标 & & & & = = = = = 2 1 2 1 , , 2 , 1 , q x q q x q j q j 广义坐标 mgx kx x l + = mgx kx x l + = sin 2 1 l m x m x l & & & = sin 2 1 l m x m x l & & & = cos 2 1 sin 2 1 ) ( d d 2 l m l m x