大学理论力学课件 第15章 机械振动基础.pdf

第 第 第第15 15 1515章 章 章 章 机械振动基础 机械振动基础 机械振动基础机械振动基础 (elements of mechanical vibration ) 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 讨 讨 讨 讨 论 论 论 论 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 第 第 第第15 15章 章 章 章 机械振动基础 机械振动基础 机械振动基础 机械振动基础 单自由度线性系统的衰减振动 单自由度线性系统的衰减振动 单自由度线性系统的衰减振动 单自由度线性系统的衰减振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 隔振 隔振 隔振 隔振 计算固有频率的方法计算固有频率的方法 ? tacoma窄桥是于1938年开工，到1940年7月1日 建成通车，是美国华盛顿州西部一座著名的大桥，连 接tacoma到大港（gig harbor）全长5939英尺，还 有一个外号“飞驰盖地（galloping gertie）”。但是在 通车后仅仅4个多月，1940年11月7日，就在一阵每小 时42英里的“和风”吹拂下，坍塌了。 这是为什么？ 151 概述概述 c c a a b b k k k k 1 1 2 2 1 l 2 l x x ) cos( ) ( ), cos( ) ( = = t t t x t x 其解具有如下形式 其解具有如下形式 其解具有如下形式其解具有如下形式 p379 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧 d弹簧圈直径弹簧圈直径 d n 有效圈数有效圈数 g剪切模量剪切模量 2 / 80 m gn g = 合金钢丝合金钢丝 d 钢丝直径 钢丝直径 的刚性系数的刚性系数 n d gd k 3 4 8 = 振动 振动 振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近 是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近 是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近 是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近 作 作 作作往复运动 往复运动 往复运动往复运动。 。 。 。 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题的研究方法 振动问题的研究方法 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似： 与分析其他动力学问题相类似： 与分析其他动力学问题相类似： 与分析其他动力学问题相类似： 选择合适的坐标； 选择合适的坐标； 选择合适的坐标； 选择合适的坐标； 分析运动； 分析运动； 分析运动； 分析运动； 分析受力； 分析受力； 分析受力； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 选择合适的动力学定理； 选择合适的动力学定理； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 建立运动微分方程； 建立运动微分方程； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用 求解运动微分方程，利用 求解运动微分方程，利用 求解运动微分方程，利用 初始条件确定积分常数。 初始条件确定积分常数。 初始条件确定积分常数。 初始条件确定积分常数。 振动问题的研究方法 振动问题的研究方法 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是： 与分析其他动力学问题不同的是： 与分析其他动力学问题不同的是： 与分析其他动力学问题不同的是： 一般情形下，都选择平衡位置作为坐标的原点。 一般情形下，都选择平衡位置作为坐标的原点。 一般情形下，都选择平衡位置作为坐标的原点。一般情形下，都选择平衡位置作为坐标的原点。 按激励特性划分： 按激励特性划分： 按激励特性划分： 按激励特性划分： 自由振动 自由振动 自由振动自由振动 ( free vibration ) ( free vibration ) 没有外部激励，或者外部激励除 没有外部激励，或者外部激励除 没有外部激励，或者外部激励除 没有外部激励，或者外部激励除 去后，系统自身的振动。 去后，系统自身的振动。 去后，系统自身的振动。 去后，系统自身的振动。 参激振动 参激振动 参激振动参激振动 ( parametric vibration ) ( parametric vibration ) 激励源为系统本身含随时 激励源为系统本身含随时 激励源为系统本身含随时 激励源为系统本身含随时 间变化的参数，这种激励所引起的振动。 间变化的参数，这种激励所引起的振动。 间变化的参数，这种激励所引起的振动。 间变化的参数，这种激励所引起的振动。 自激振动 自激振动 自激振动自激振动 ( self ( self excited vibration ) excited vibration ) 系统由系统本身运动 系统由系统本身运动 系统由系统本身运动 系统由系统本身运动 所诱发和控制的激励下发生的振动。 所诱发和控制的激励下发生的振动。 所诱发和控制的激励下发生的振动。 所诱发和控制的激励下发生的振动。 受迫振动 受迫振动 受迫振动受迫振动( forced ( forced vibraton vibraton ) ) 系统在作为时间函数的外部激 系统在作为时间函数的外部激 系统在作为时间函数的外部激 系统在作为时间函数的外部激 励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类振动问题及其分类 按系统特性或运动微分方程类型划分： 按系统特性或运动微分方程类型划分： 按系统特性或运动微分方程类型划分： 按系统特性或运动微分方程类型划分： 线性振动 线性振动 线性振动线性振动 ( linear vibration ) ( linear vibration ) 系统的运动微分方程为线性方程 系统的运动微分方程为线性方程 系统的运动微分方程为线性方程 系统的运动微分方程为线性方程 的振动。 的振动。 的振动。的振动。 ) sin( 0 eq eq t f k m + & & 0 = + ky y m& & 非 非 非非线性振动 线性振动 线性振动线性振动 ( nonlinear vibration ) ( nonlinear vibration ) 系统的刚度呈非线性特性时， 系统的刚度呈非线性特性时， 系统的刚度呈非线性特性时， 系统的刚度呈非线性特性时， 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。 将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 振动问题及其分类 按系统的自由度划分： 按系统的自由度划分： 按系统的自由度划分： 按系统的自由度划分： 单自由度 单自由度 单自由度单自由度振动 振动 振动振动 ( vibration of 5ingledegree of freedom system ) ( vibration of 5ingledegree of freedom system ) 一个自由度系统的振动。 一个自由度系统的振动。 一个自由度系统的振动。 一个自由度系统的振动。 多自由度 多自由度 多自由度多自由度振动 振动 振动振动(vibration of (vibration of multidegree multidegree of freedom system of freedom system) ) 两 两 两 两 个或两个以上自由度系统的振动。 个或两个以上自由度系统的振动。 个或两个以上自由度系统的振动。 个或两个以上自由度系统的振动。 连续系统 连续系统 连续系统连续系统振动 振动 振动振动连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多 连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多 连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多 连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多 个自由度。 个自由度。 个自由度。个自由度。 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 单自由度线性系统的自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动 有阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动 152 串联弹簧的等效刚度 串联弹簧的等效刚度 串联弹簧的等效刚度串联弹簧的等效刚度 2 1 eq 1 1 1 k k k + = 2 1 eq 1 1 1 k k k + = 并联弹簧的等效刚度 并联弹簧的等效刚度 并联弹簧的等效刚度并联弹簧的等效刚度 2 1 eq k k k + = 2 1 eq k k k + = 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 以以平衡位置平衡位置o为原点为原点，建立图示坐标建立图示坐标。 。 物块在一般位置的受力如图示物块在一般位置的受力如图示，则其振动 则其振动 微分方程为微分方程为: 0 = +kx x m & & 得： st k mg = 静平衡： ) ( x k mg f mg x m st + = = & & m k = 2 0 令 得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式 0 2 0 = + x x & & 图示为单自由度系统自由振动的图示为单自由度系统自由振动的简化模型简化模型，它是从实际振 ，它是从实际振 动系统中抽象出的动系统中抽象出的简图简图。 。 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 m k n = 称为固有频率。称为固有频率。 二阶齐次线性常系数微分方程二阶齐次线性常系数微分方程 0 2 = + x x n & & 代入初始条件代入初始条件 0 0 ) 0 ( , ) 0 ( , 0 = = = x x x t & 的解具有形式的解具有形式 t c t c x n n sin cos 2 1 + = 1 1 0 0 cos c c x = = t c t c x n n n n cos sin 2 1 + = & 由由 n n c c 2 2 0 0 cos = = 知知 解化为解化为 ) sin( ) ( + = t a t x n t t x t x n n n sin cos ) ( 0 0 + = 即即 0 0 x arctg n = 称为称为初相位初相位 k m t n 2 2 = = 称为称为周期 周期 单自由度系统的自由振动为简谐振动！单自由度系统的自由振动为简谐振动！ n x a 2 2 0 0 2 + = 称为称为振幅 振幅 此中此中 m k n = 称为称为固有频率固有频率。 简谐振动的运动图线简谐振动的运动图线 t x o a sin 0 a x = t 676 . 7 450 26519 = = = m k n 818 . 0 676 . 7 2 2 = = = n t 秒秒 m n k kg m / 26519 , 450 = = 例 例 一个小球（一个小球（m=1kg），从高度），从高度h=0.1 m 的斜坡上无初速地滚下，撞到一个水平搁 的斜坡上无初速地滚下，撞到一个水平搁 置的（置的（k=4900n/m）弹簧上，并与弹簧一起 ）弹簧上，并与弹簧一起 振动，求小球的振动规律。振动，求小球的振动规律。 k h m k n = 固有频率固有频率 70 1 4900 = = s 1 由运动初始条件（小球与弹簧相撞时）由运动初始条件（小球与弹簧相撞时） s cm gh x o / 140 10 980 2 2 0 ) 0 ( = = = = cm x a n o n o o 2 70 140 2 2 2 = = = + = 求得 求得 解：解：取弹簧平衡位置为取弹簧平衡位置为o为原点，建立坐 为原点，建立坐 标标ox， x o k h 振动规律为振动规律为 ) sin( ) ( + = t a t x n 将固有频率，振幅，初相位代入将固有频率，振幅，初相位代入 t 70 sin 2 = cm 0 140 0 = = = o o n x tg 0 , = ， ， 例例154 重为重为q的重物无初速的放在弹性简 的重物无初速的放在弹性简 支梁支梁ab的中部，后与梁一起振动；已知在力的中部，后与梁一起振动；已知在力 q作用下，梁中部静挠度作用下，梁中部静挠度 mm s 2 = 忽略梁 忽略梁 重。求重物的振动规律。重。求重物的振动规律。 0 = t 时刻时刻 o x 静平衡置静平衡置o为原点， 为原点， 建立坐标系建立坐标系ox， mm s 2 = 静平衡位置静平衡位置o为原点为原点,建立坐标系建立坐标系ox， ， 解： 解： 在在 0 = t 时，时， 0 , 2 0 0 = = mm x 求出求出 = = = 0 ) 2 ( , 2 n tg a 2 = 重物的振动规律重物的振动规律 ) sin( ) ( + = t a t x n a b o x 70 2 9810 = = = = s n g mg kg 固有频率固有频率 t t x t t x 70 cos 2 ) ( ) 2 70 sin( 2 ) ( = = mm 已知：弹簧无变形已知：弹簧无变形不受力不受力 36 . 22 50 25000 , / 25000 , 50 = = = = m n k kg m 1：当手指缓慢向下撤去，：当手指缓慢向下撤去，物体静平衡物体静平衡 m k mg st 0196 . 0 25000 8 . 9 50 = = = st o x 静平衡坐标系静平衡坐标系 当手指突然向下撤去 当手指突然向下撤去 系统将简谐振动 系统将简谐振动 运动初始条件运动初始条件 0 ) 0 ( , ) 0 ( = = x x st & 重物的振动规律重物的振动规律 t t x st 36 . 22 cos ) ( = 3: 0 36 . 22 sin ) ( = = t t x st & 令令 st t x t = = ) ( , 36 . 22 2： ： 当当 1405 . 0 = t 时：重物共下落时：重物共下落 m st 0392 . 0 2 = o x st 静平衡坐标系静平衡坐标系 s t 1405 . 0 = o l l l a b k k 例例157 均质杆均质杆ab（m， l 3 ），），b端连接一 端连接一 个小球（个小球（m），弹簧刚性系数均为），弹簧刚性系数均为k，图示静 ，图示静 平衡位置，求均质杆的运动微分方程及固有 平衡位置，求均质杆的运动微分方程及固有 频率。频率。 解：解： l l l a b k k o 2 2 ) 2 ( 2 2 1 & & l m j t o + = 2 2 ) ( 2 ) ( 2 l k l k u + = 2 2 2 2 2 2 2 1 kl ml j e o + + = & & 0 2 ) 4 ( 2 2 = + + kl ml j o & & 运动微分方程运动微分方程 m m k ml j kl o n 4 2 4 2 2 2 2 + = + = 固有频率的平方固有频率的平方 2 2 2 ) 2 ( ) 3 ( 12 ml l m l m j o = + = 式中式中 153 计算固有频率的方法计算固有频率的方法 s n g mg kg m k = = = 设弹簧垂直悬挂，设弹簧垂直悬挂，如如p505，可通过静变 可通过静变 形 形 计算出系统的固有频率：计算出系统的固有频率： s 用能量法求系统的固有频率 用能量法求系统的固有频率 通过运动微分方程计算出系统的固有频率通过运动微分方程计算出系统的固有频率 max max v t = 154 单自由度系统的阻尼振动 单自由度系统的阻尼振动 物体以低速在介质中运动物体以低速在介质中运动 r r c r = 粘性阻尼系数粘性阻尼系数 c x c kx x m & & & = 0 = + + x c kx x m & & & 0 2 2 = + + x x n x n & & & m c n m k n = = 2 , 2 此中此中 n阻尼系数阻尼系数 o x c k 物块运动微分方程 物块运动微分方程 取静平衡位置取静平衡位置o为原点，建立坐 为原点，建立坐 标系标系ox， 0 2 2 = + + x x n x n & & & 二阶齐次线性常系数微分方程 二阶齐次线性常系数微分方程 小阻尼情况小阻尼情况 mk c n n 2 其解为其解为 ) sin( ) ( + = t ae t x d nt d nx x a 2 2 0 0 0 2 ) ( + + = 0 0 0 nx x tg d + = 阻尼振动是振幅逐渐减小的衰减振动。阻尼振动是振幅逐渐减小的衰减振动。 2 2 n n d = 衰减振动的圆频率衰减振动的圆频率 衰减振动的运动图线衰减振动的运动图线 o x t m=450kg k=26519n/m c=400ns/m 0 . 1 ) 0 ( , 539567 . 0 ) 0 ( = = x x & x t o m=450kg k=26519n/m c=1000ns/m 0 . 1 ) 0 ( , 539567 . 0 ) 0 ( = = x x & 衰减振动的运动图线衰减振动的运动图线 在小阻尼情况，阻尼对衰减振动的影响 在小阻尼情况，阻尼对衰减振动的影响 振动的周期略略增大 振动的周期略略增大 衰减振动的周期 衰减振动的周期 混凝土混凝土 027 . 0 = n n 钢结构钢结构 003 . 0 024 . 0 = n n t n t n n n t n n n n n n d d + = = = = = ) 2 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 振幅按几何级数衰减 振幅按几何级数衰减 振幅衰减率振幅衰减率 d d nt t t n nt i i e ae ae a a = = + + ) ( 1 例：如例：如 n n 145 . 0 = i i a a 406 . 0 1 = + 阻尼使能量很快消耗了。 阻尼使能量很快消耗了。 振幅衰减率振幅衰减率 4585 . 2 = d nt e t x o p395 例例158 o l k a c a ka & ca o & a a ca a ka ml & & & = 2 0 2 2 2 2 = + + l ka l ca m & & & 临界阻尼系数：临界阻尼系数： mk c 2 = 2 2 2 2 2 l mka l ca = mk a l c 2 = 动量矩定理动量矩定理 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 受迫振动 受迫振动 受迫振动受迫振动 系统在外界激励下产生的振动。 系统在外界激励下产生的振动。 系统在外界激励下产生的振动。 系统在外界激励下产生的振动。 激励形式 激励形式 激励形式激励形式 可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为 可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为 可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为 可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为 运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函 运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函 运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函 运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函 数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅 简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅 里叶级数展开成简谐激励的叠加。 里叶级数展开成简谐激励的叠加。 里叶级数展开成简谐激励的叠加。 里叶级数展开成简谐激励的叠加。 155 讨论简谐激振力的作用讨论简谐激振力的作用 x c kx x m & & & = t h sin + t h sin + 0 = + + x c kx x m & & & o x c k t h s sin = ， m c n m k n = = 2 , 2 m h h= 令 令 物块运动微分方程 物块运动微分方程 取静平衡位置取静平衡位置o为原点，建立坐 为原点，建立坐 标系标系ox， 受迫振动的运动微分方程受迫振动的运动微分方程 t h x x n x n sin 2 2 = + + & & & n 设特解设特解 ) sin( ) ( = t b t x 代入，有代入，有 t h t b t nb t b n sin ) sin( ) cos( 2 ) sin( 2 2 = + + 把右端项写成把右端项写成 ) sin( + t h 并展开并展开： 0 ) cos( sin 2 ) sin( cos ) ( 2 2 = + t h nb t h b n 应有应有 0 sin 2 0 cos ) ( 2 2 = = h nb h b n 对于二阶非齐次线性常系数微分方程，其解 对于二阶非齐次线性常系数微分方程，其解 为对应的齐次方程的通解加上一个特解：为对应的齐次方程的通解加上一个特解： ) sin( ) sin( + + = t b t ae x d nt 在简谐激振力作用下受迫振动也是简谐振动在简谐激振力作用下受迫振动也是简谐振动。 。 解出解出 2 2 2 2 2 4 ) ( n h b n + = 2 2 2 = n n tg ； ； 在小阻尼情况，第一项为在小阻尼情况，第一项为瞬态过程瞬态过程，很快 ，很快 消失；只有第二项消失；只有第二项稳态过程稳态过程起作用。起作用。 2 2 2 2 2 4 ) ( n h b n + = o b = 令令 k h h b n o = = 2 静力伸长 静力伸长 ； n = 频率比 频率比 ； ； 讨论讨论受迫振动的振幅受频率和阻尼的影响 受迫振动的振幅受频率和阻尼的影响 将振幅写成 将振幅写成 引入引入动力放大系数 动力放大系数 阻尼比 阻尼比 ； n n = 2 2 2 2 4 ) 1 ( 1 + = o b b = 1. 2. 3. 4. 0.5 1.0 1.5 2.0 振幅频率特性曲线振幅频率特性曲线 n = 1.0 0.707 0.5 0.25 0.20 0.15 0 = 当当 n , 0 1. 2. 3. 4. 0.5 1.0 1.5 2.0 振幅频率特性曲线振幅频率特性曲线 n = 1.0 0.707 0.5 0.25 0.20 0.15 0 = 时，时，外激振力频率 外激振力频率 很低，缓慢变化的激振力的作用相当于 很低，缓慢变化的激振力的作用相当于 静力作用，故 静力作用，故 振幅等于静力伸长振幅等于静力伸长. k h b b o = = = , 1 公式告诉我们：公式告诉我们： 2 2 2 2 4 ) 1 ( 1 + = 当当 n = , 1 时， 时， 1. 2. 3. 4. 0.5 1.0 1.5 2.0 振幅频率特性曲线振幅频率特性曲线 n = 1.0 0.707 0.5 0.25 0.20 0.15 0 = 随着阻尼减小 随着阻尼减小 振幅迅速增大振幅迅速增大 小阻尼情况小阻尼情况 2 o max b b = 2 1 2 = o max b b 0 = d d 令 令 ，有 ，有 该频率称为该频率称为共振频率共振频率。 2 2 1 = n 此时 此时 共振区：共振区： 25 . 1 75 . 0 1. 2. 3. 4. 0.51.0 1.5 2.0 振幅频率特性曲线振幅频率特性曲线 n = 1.0 0.707 0.5 0.25 0.20 0.15 0 = o 公式告诉我们： 公式告诉我们： 当 当 时，时， , 2 2 2 2 4 ) 1 ( 1 + = 0 , 0 b 这是因为外激振力频率很 这是因为外激振力频率很 大大，激烈变向，激烈变向重物因惯性来 重物因惯性来 不及随外激振力运动不及随外激振力运动. k m n = = 因为 因为 ，工程中 工程中 常用增大常用增大m，减少，减少k的方法的方法， ， 让适当增大，让适当增大，以减小 以减小 振幅振幅,称为称为隔振隔振。 幅频特性与相频特性 幅频特性与相频特性 幅频特性与相频特性 幅频特性与相频特性 在低频区和高频区，当 在低频区和高频区，当 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 1 1的区域 的区域 的区域的区域( (高频区或惯性控制区 高频区或惯性控制区 高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区) )， ， ， ， 响应与 响应与 响应与 响应与 激励反相；阻尼影响也不大。 激励反相；阻尼影响也不大。 激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。 , 0 幅频特性与相频特性 幅频特性与相频特性 幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性 3 3、 、 、 1 1的附近区域 的附近区域 的附近区域的附近区域( (共振区 共振区 共振区共振区) )， ， ， 急剧增大并在 急剧增大并在 急剧增大并在急剧增大并在 1 1略为 略为 略为略为偏 偏 偏 偏 左处有峰值。通常将 左处有峰值。通常将 左处有峰值。通常将左处有峰值。通常将 1 1， ，即 即 即即 0 0 称为共振频率 称为共振频率 称为共振频率称为共振频率。 。 。阻尼影 阻尼影 阻尼影 阻尼影 响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。 在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1 1时 时 时时，总有 ，总有 ，总有，总有, , /2 /2 , ,这也是共振的重要现象。 这也是共振的重要现象。 这也是共振的重要现象。这也是共振的重要现象。 以上为激励幅值与激励频率 以上为激励幅值与激励频率 以上为激励幅值与激励频率以上为激励幅值与激励频率无关 无关 无关无关的幅频特性与相频特性曲 的幅频特性与相频特性曲 的幅频特性与相频特性曲 的幅频特性与相频特性曲 线对于激励幅值与激励频率 线对于激励幅值与激励频率 线对于激励幅值与激励频率线对于激励幅值与激励频率有关 有关 有关有关的情形，其需要重新研究。 的情形，其需要重新研究。 的情形，其需要重新研究。的情形，其需要重新研究。 例 例 例 例 题 题 题题 3 3 惯性测振仪的内部安装 惯性测振仪的内部安装 惯性测振仪的内部安装 惯性测振仪的内部安装 有 有 有有“ “ 质量 质量 质量质量( (m m) ) 弹簧 弹簧 弹簧弹簧( (k k) ) 阻 阻 阻 阻 尼器 尼器 尼器尼器 ( (c c) )” ”系统。 系统。 系统。系统。测振仪外 测振仪外 测振仪外 测振仪外 壳安置在被测振动的物体 壳安置在被测振动的物体 壳安置在被测振动的物体 壳安置在被测振动的物体 上。仪器内置质量块相对 上。仪器内置质量块相对 上。仪器内置质量块相对 上。仪器内置质量块相对 于外壳 于外壳 于外壳于外壳( (被测振动的物体 被测振动的物体 被测振动的物体被测振动的物体) ) 的运动被转换成电信号输 的运动被转换成电信号输 的运动被转换成电信号输 的运动被转换成电信号输 出。当被测振动物体的 出。当被测振动物体的 出。当被测振动物体的 出。当被测振动物体的 运动规律为 运动规律为 运动规律为运动规律为x x e e = =a asin sin t t 时时， ， 时时， ， 试分析仪器 试分析仪器 试分析仪器试分析仪器内置质量块相 内置质量块相 内置质量块相 内置质量块相 对于外壳 对于外壳 对于外壳对于外壳( (被测振动的物体 被测振动的物体 被测振动的物体被测振动的物体) ) 的振动。 的振动。 的振动。 的振动。 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 解 解 解解：在测振仪外壳上固结动坐 ：在测振仪外壳上固结动坐 ：在测振仪外壳上固结动坐 ：在测振仪外壳上固结动坐 标系 标系 标系标系 o o x x e e ， ， ，系统的牵连运动为 系统的牵连运动为 系统的牵连运动为 系统的牵连运动为 平移。 平移。 平移。 平移。 以质量块相对于仪器外 以质量块相对于仪器外 以质量块相对于仪器外 以质量块相对于仪器外 壳 壳 壳壳( (被测振动的物体 被测振动的物体 被测振动的物体被测振动的物体) )的位移 的位移 的位移的位移 x x r r 作 作 作 作 为广义坐标。 为广义坐标。 为广义坐标。 为广义坐标。 系统的运动为非 系统的运动为非 系统的运动为非 系统的运动为非 惯性系运动。 惯性系运动。 惯性系运动。惯性系运动。 f ie x r o x e o 1 应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力 应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力应用达朗贝尔原理，在质量块上附加惯性力f f ie ie ， ， ，建立 建立 建立 建立 系统的运动微分方程 系统的运动微分方程 系统的运动微分方程系统的运动微分方程: : ie r r r f kx x c x m = & & & ie r r r f kx x c x m = & & & t a m kx x c x m sin 2 r r r = + + & & & t a m kx x c x m sin 2 r r r = + + & & & 其稳态响应为 其稳态响应为 其稳态响应为其稳态响应为 ( ) t b x sin r = ( ) t b x sin r = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 = + = , a b ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 = + = , a b 例 例 例 例 题 题 题题 4 4 工作台 工作台 工作台工作台 c c k k m m x x e e 已知 已知 已知已知： ：m m 、 、 k k 、 、c c, , x x e e = =a asin sin t t 试分析：仪器的稳态响应。 试分析：仪器的稳态响应。 试分析：仪器的稳态响应。 试分析：仪器的稳态响应。 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动 单自由度线性系统的受迫振动单自由度线性系统的受迫振动 解 解 解解： ：假设观察者站在不动的 假设观察者站在不动的 假设观察者站在不动的 假设观察者站在不动的 地面上观察仪器的运动，仪器 地面上观察仪器的运动，仪器 地面上观察仪器的运动，仪器 地面上观察仪器的运动，仪器 在铅垂方向的位移 在铅垂方向的位移 在铅垂方向的位移在铅垂方向的位移 x x 作为广义 作为广义 作为广义 作为广义 坐标，以平衡位置为广义坐标 坐标，以平衡位置为广义坐标 坐标，以平衡位置为广义坐标 坐标，以平衡位置为广义坐标 的原点。 的原点。 的原点。 的原点。 工作台 工作台 工作台工作台 c c k k m m x x e e o o x x 仪器的运动方程为 仪器的运动方程为 仪器的运动方程为仪器的运动方程为 ( ) ( ) e e x x k x x c x m = & & & & ( ) ( ) e e x x k x x c x m = & & & & t a c t ka kx x c x m cos sin + = + + & & & t a c t ka kx x c x m cos sin + = + + & & & 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激 励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率 励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率 励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率 励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率 成正比，且相位比弹簧激励超前 成正比，且相位比弹簧激励超前 成正比，且相位比弹簧激励超前成正比，且相位比弹簧激励超前 /2 /2。根据叠加原理，稳态响 。根据叠加原理，稳态响 。根据叠加原理，稳态响 。根据叠加原理，稳态响 应也由两部分叠加而成 应也由两部分叠加而成 应也由两部分叠加而成应也由两部分叠加而成: : ( ) ( ) 2 2 1 1 cos sin + = t b t b x ( ) ( ) 2 2 1 1 cos sin + = t b t b x ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 arctan 2 1 1 = + = , eq k f b ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 arctan 2 1 1 = + = , eq k f b ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 arctan 2 1 1 = + = , a b ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 1 2 arctan 2 1 1 = + = , a b 对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差： 对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差： 对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差：对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 2 = + = , a b ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 2 = + = , a b 对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差 对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差 对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差 ( ) ( ) ( ) + = t b t b t b x sin cos sin 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) + = t b t b t b x sin cos sin 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 2 1 + = + + = , a b ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 2 1 + = + + = , a b t 例 例 电机安装在弹性基础上，电机上有 电机安装在弹性基础上，电机上有 两个偏心质量两个偏心质量 2 m 以匀角速度按相反方向转 以匀角速度按相反方向转 动；转子偏心距动；转子偏心距e，阻尼器粘性阻尼系数阻尼器粘性阻尼系数c， ， 弹性基础刚性系数 弹性基础刚性系数 为为k，电机总质量 ，电机总质量 为为m；求电机受迫 ；求电机受迫 振动的幅频特性。振动的幅频特性。 2 k 2 k c t mm e e 2 k 2 k c t t o x mm e e 取静平衡位置取静平衡位置o为原点， 为原点， 建立坐标系建立坐标系ox， ， 由动量定理：由动量定理： kx x c t e x dt d m x m m = + + & & & ) sin ( ) ( 2 2 t me x x n x m n sin 2 2 2 = + + & & & 化成标准形式： 化成标准形式： 解：解： 运动微分方程化成 运动微分方程化成 ， m c n m k n = = 2 , 2 令令 m me h 2 = t h x x n x n sin 2 2 = + + & & & ) sin( 4 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 + t m me n = ) (t x 电机受迫振动的幅频特性：电机受迫振动的幅频特性：p499图图1822 其解为其解为 ) sin( ) ( = t b t x 隔 隔 隔 隔 振 振 振 振 隔振隔振将振源与需要隔振的物体之间用弹 将振源与需要隔振的物体之间用弹 性元件和阻尼元件进行隔离的措施。 性元件和阻尼元件进行隔离的措施。 减振减振使振动物体的振动减弱的措施 使振动物体的振动减弱的措施 隔振隔振分为分为主动隔振和被动隔振主动隔振和被动隔振 1.主动隔振 主动隔振 主动隔振主动隔振是将振源与支承它的基础隔开。 是将振源与支承它的基础隔开。 研究的对象是振源本身。如电机、水泵、 研究的对象是振源本身。如电机、水泵、 铸压机械等。为减小机器的振动对周围环 铸压机械等。为减小机器的振动对周围环 境的影响，垫上橡胶、枕木等弹性支承， 境的影响，垫上橡胶、枕木等弹性支承， 以降低振动传到基础上的强度。 以降低振动传到基础上的强度。 主动隔振的简化模型如图所示。 主动隔振的简化模型如图所示。 156 2被动隔振 被动隔振 将需要保护的仪器设备与振源隔开，称为将需要保护的仪器设备与振源隔开，称为被动隔振被动隔振。研究的对 。研究的对 象是减振体，振源是周围环境。例如，在仪器底部垫上软垫； 象是减振体，振源是周围环境。例如，在仪器底部垫上软垫； 将放置在车辆上的测量仪器用弹簧吊起来等。 将放置在车辆上的测量仪器用弹簧吊起来等。 主动隔振系数（力的传递率）主动隔振系数（力的传递率） 上的力的最大值 无隔振措施时传到地基 的最大值 隔振后传到地基上的力 = a 被动隔振系数（或称位移的传递率）被动隔振系数（或称位移的传递率） 地基振幅 隔振后系统的振幅 = p 156 隔振的概念 隔振的概念 主动隔振 主动隔振 主动隔振是将振源与支持 主动隔振是将振源与支持 振源的基础隔离开，使传给基础的力减小。 振源的基础隔离开，使传给基础的力减小。 冲床，锻锤，剪床冲床，锻锤，剪床 振源振源 t h s sin = o x k c f r t h x x n x n sin 2 2 = + + & & & 其解为其解为 ) sin( ) ( = t b t x 物块运动微分方程物块运动微分方程 弹簧作用于地基的力弹簧作用于地基的力 ) sin( = = t kb kx r 阻尼器作用于地基的力阻尼器作用于地基的力 ) cos( = = t cb x c f & 作用于地基的力的合力最大值：作用于地基的力的合力最大值： 2 2 2 2 max 4 1 ) ( ) ( + = + = kb cb kb n 力的传递率力的传递率 2 2 2 2 2 2 max 4 ) 1 ( 4 1 + + = = h n t h s sin = o x k c f r 力的传递率力的传递率 2 2 2 2 2 2 max 4 ) 1 ( 4 1 + +