北师大版九年级数学上、下册精品教案.pdf

北师大版九年级数学北师大版九年级数学北师大版九年级数学北师大版九年级数学上上上上、 下册下册下册下册 精品教案精品教案精品教案精品教案 北师大版九年级数学下册精北师大版九年级数学下册精北师大版九年级数学下册精北师大版九年级数学下册精 品教案品教案品教案品教案 第 1 课时 1.1.1从梯子的倾斜程度谈起 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我 们继续学习直角三角形的边角关系。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 1 1、 梯子的倾斜程度梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。 用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一 个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的倾斜角的正切。 1） （重点讲解重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正 弦、余弦的概念奠定基础。 2 2、 想一想（比值不变）想一想（比值不变） 想一想书本 p 3想一想 通过对前面的问题的讨论， 学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。 当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形而与直角三角形 的大小无关的大小无关。 3 3、 正切函数正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 a a a =tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是a 的对边与a 的邻边的比值。 巩固练习 a、 如图，在acb 中，c = 90， 1） tana =；tanb =； 2） 若 ac = 4，bc = 3，则 tana =；tanb =； 3） 若 ac = 8，ab = 10，则 tana =；tanb =； b、 如图，在acb 中，tana =。 （不是直角三角形不是直角三角形） （4） tanatana 的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡 4 4、 讲解例题讲解例题 例例 1 1图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。 例例 2 2如图，在acb 中，c = 90，ac = 6， 4 3 tan=b，求 bc、ab 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 5 5、 正切函数的应用正切函数的应用 书本 p 5正切函数的应用 随堂练习随堂练习 6、书本 p 6随堂练习 7、练习册 p 1 a b c a b c a a a b c 8m 5m 5m 13m a b c 小结小结 正切函数的定义。 作业作业 书本 p 6习题 1.11、2。 第 2 课时 1.1.2从梯子的倾斜程度谈起 教学目标 5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。 复习正切函数 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 8 8 8 8、 引入引入 书本p 7 顶 9 9 9 9、 正弦、余弦函数正弦、余弦函数 斜边 的对边a a =sin， 斜边 的邻边a a =cos 巩固练习 c、 如图，在acb 中，c = 90， 1） sina=；cosa=；sinb =；cosb =； 2） 若 ac = 4，bc = 3，则 sina=；cosa=； 3） 若 ac = 8，ab = 10，则 sina=；cosb =； d、 如图，在acb 中，sina=。 （不是直角三角形不是直角三角形） a b c a a a b c a b c 10101010、三角函数三角函数 锐角a 的正切、正弦、余弦都是a 的三角函数。 11111111、梯子的倾斜程度梯子的倾斜程度 sinasinasinasina 的值越大，梯子越陡；的值越大，梯子越陡；cosacosacosacosa 的值越大，梯子越陡的值越大，梯子越陡 12121212、讲解例题讲解例题 例例 3 3 3 3如图，在 rtabc 中，b = 90，ac = 200，6 . 0sin=a，求 bc 的长。 分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。 例例 4 4 4 4如图，在 rtabc 中，c = 90，ac = 10， 13 12 cos=a，求 ab 的长及 sinb。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 随堂练习随堂练习 13、书本 p 9随堂练习 14、练习册 p 2 小结小结 正弦、余弦函数的定义。 作业作业 书本 p 9习题 1.22、3 教学后记教学后记 第 3 课时 1. 230、45、60角的三角函数值 教学目标 9、 经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义 10、能够进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算 11、能够根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 a b c a b c 教学重点和难点 重点：进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算 难点：记住 30、45、60角的三角函数值 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 15151515、引入引入 书本p 10引入 本节利用三角函数的定义求 30、45、60角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算。 16161616、30303030、45454545、60606060角的三角函数值角的三角函数值 通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。 度数sincostan 30 2 1 2 3 3 3 45 2 2 2 2 1 60 2 3 2 1 3 要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。 17171717、讲解例题讲解例题 例例 5 5 5 5计算： （1）sin30+ cos45；（2）30cos31； （3） 45cos60sin 45sin30cos ；（4）+45tan45cos60sin 22 。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。 a b c a b c 例例 6 6 6 6填空： （1）已知a 是锐角，且 cosa= 2 1 ，则a=，sina =； （2）已知b 是锐角，且 2cosa= 1，则b =； （3）已知a 是锐角，且 3tana3= 0，则a=； 例例 7 7 7 7一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60，且两边的摆动角相同， 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。 例例 8 8 8 8在 rtabc 中，c = 90，ca32 =，求 c a ，b、a。 分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。 随堂练习随堂练习 18、书本 p 12随堂练习 19、练习册 p 4 小结小结 要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。 作业作业 书本 p 13习题 1.31、2 教学后记教学后记 第 1 课时 2.1 二次函数所描述的关系 教学目标 12、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验 13、能够表示简单变量之间的二次函数关系 14、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题 教学重点和难点 重点：表示简单变量之间的二次函数关系 难点：利用尝试求值的方法解决实际问题 教学过程设计 a b c o d 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 在初中阶段，我们已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数。这一章，我们将学习另外一种 重要的函数二次函数。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 20202020、橙树的产量橙树的产量 通过实际情境，让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的模型思想。教学时要与学生一起认真 分析，以利于引入二次函数。 橙树数目每棵树产量总产量 1100+15600) 15600)(1100(+ 2100+25600)25600)(2100(+ x+100x5600)5600)(100(xx+ )100)(5600(xxy+=600001005 2 +=xxy 想一想书本 p 35想一想 想一想是学生自然会想到的问题，教学时应首先鼓励学生用自己的方法解决问题，然后再通过数值统计的方法 得到猜想。 21212121、银行储蓄银行储蓄 做一做书本 p 35做一做 做一做是为了降低列式的复杂程度，根据学生的具体情况，教学时可以要求学生考虑利息税。 22222222、二次函数定义及一般形式二次函数定义及一般形式 一般地，形如cbxaxy+= 2 （a、b、c是常数，0a）的函数叫做x的二次函数二次函数。 注意：1）x的最高次数为 2；2）0a，但b、c可以为零。 可以让学生自己举出或写出一些二次函数的例子。 巩固练习1）书本 p 36随堂练习 1 2）练习册 p 171 、2 23232323、讲解例题讲解例题 例例 9 9 9 9练习册 p183 例例 10101010 书本 p 36随堂练习 2。 巩固练习1）练习册 p 173 9 随堂练习随堂练习 24、练习册 p 181 5 小结小结 二次函数定义及一般形式。 作业作业 书本 p 37习题 2.12 教学后记教学后记 第 2 课时 2.2 结识抛物线 教学目标 15、经历探索二次函数 2 xy=的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验 16、经历探索二次函数 2 xy=的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验 17、能够利用描点法作出 2 xy=的图象，并能根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系 教学重点和难点 重点：二次函数 2 xy=的图象的作法和性质 难点：根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们学习了二次函数。一般函数都有其图象，二次函数都不例外。那么它的图象是一条什么曲线呢？ 这节课，我们先研究最简单的二次函数 2 xy=和 2 xy=的图象。让我们通过动手，画一画它的图象吧。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 25252525、作二次函数作二次函数 2 xy=的图象的图象 此图象由老师和学生一起探究完成，一般取七个点。 作图象的三步骤：列表、描点、连线 26262626、二次函数二次函数 2 xy=的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）的图象和性质（开口方向、对称轴、顶点坐标） 本节讨论最简单的二次函数 2 xy=的图象的作法，并引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性 质，要结合图象讲解，尽可能让学生讲，老师作适当点拨。 议一议书本 p 39议一议 学生可以用自己的语言进行描述，要提醒学生不要忽略y轴左侧的图象。 二次函数二次函数 2 xy=的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线，它的开口向上它的开口向上，且关于且关于y轴对称轴对称。对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶 点，它的图象的最低点。点，它的图象的最低点。 巩固练习练习册 p 191 、2 27272727、作二次函数作二次函数 2 xy=的图象的图象 此函数的图象由学生完成，老师作适当指导。 两个图象的形状相同，但是开口向下，两个图象关于x轴对称。 巩固练习练习册 p 193 28282828、讲解例题讲解例题 例例 11111111已知二次函数 2 axy=的图象过点 p（1，8） ，求此函数的解析式。 例例 12121212 已知二次函数cxy+= 2 2的图象过点 p（2，6） ，求此函数的解析式。 分析：两道例题都是通过图象的已知点，求出函数的未知的系数。求解时，要分清坐标点的两个数应该分别代 入哪个位置上。 随堂练习随堂练习 29、练习册 p 194 9 30、练习册 p 20 小结小结 二次函数 2 xy=和 2 xy=的图象及其性质。 作业作业 已知二次函数cxy+= 2 3的图象过点 p（1，6）和 q（2，k） ，求此函数的解析式及k值。 2 2xy= 12 2 +=xy 教学后记教学后记 第 3 课时 2.3 刹车距离与二次函数 教学目标 18、 经历探索二次函数和的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三 者联系起来的经验 19、 能作出和的图象，并能够比较它们与的异同，理解a与c的图象的影响 20、能说出和的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 21、体会二次函数是某些实际问题的数学模型 教学重点和难点 重点：理解a与c的图象的影及响图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 难点：理解a与c的图象的影及响图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 在上一节课， 我们研究了最简单的二次函数 2 xy=和 2 xy=的图象。这节课，我们将接着讨论形如和 的图象的作法和性质，以及a与c的图象的影响。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 31313131、刹车距离与二次函数刹车距离与二次函数 刹车距离是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数的系数对图象的影 响。 |a越大，开口越小；越大，开口越小；|a越小，开口越大越小，开口越大 两个图象的相同之处： 两者都位于s轴的右侧； 函数值都随v值的增大而增大； 32323232、a a a a 与与 c c c c 的取值对图象的影响的取值对图象的影响 做一做书本 p 44做一做 此图象可由学生自己完成。鼓励学生用自己的语言 进行描述。二次函数的图象是抛物线；二次函数的 图象形状相同，但顶点坐标不同；把二次函数的 图象向上、向下、向左、向右平移后，就可以 得到不同的二次函数的图象。 当当0a时，抛物线的开口向上；时，抛物线的开口向上； 当当0c时，抛物线与时，抛物线与y y y y轴的交点在原点的上方；轴的交点在原点的上方； 2 axy=caxy+= 2 2 axy=caxy+= 22 xy= 2 axy=caxy+= 2 2 axy=caxy+= 2 2 50 1 vs= 2 100 1 vs= 13 2 =xy 2 3xy= 当当0a时，抛物线的开口向上；当0c时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当0a向上 直线hx=（h，k） 0a时，抛物线的开口向上； 当0c时，抛物线与y轴的交点在原点上方； 当0a向上 直线hx=（h，k） 0a时，抛物线的开口向上；当0c时，抛物线与y轴的交点在原点的上方；当0a向上 直线hx=（h，k） 0x时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而 减少。 （2）增种 6 14 棵，都可以使橙子总产量在 60400 个以上。 69696969、讲解例题讲解例题 例例 21212121 练习册 p 309 分析：此例可以先由学生单独完成，然后老师作适当提点。 随堂练习随堂练习 70、书本 p 60随堂练习 71、练习册 p 30 小结小结 二次函数是一种解决现实生活问题的好方法，我们要运用二次函数的知识求出实际问题的最大值，分析和表示 实际问题中变量之间的二次函数关系。解决此类问题时，要特别注意审清题目，理解题意。 作业作业 书本 p 61习题 2.71 教学后记教学后记 第 8 课时 2.7 最大面积是多少 教学目标 37、经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利润数学方法解决实际问题的经验，并进一 步感受数学模型思想和数学的应用价值 38、能够分析和表达不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问 题中的最大值 39、能够对解决问题的基本策略进行反思 教学重点和难点 重点：运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值 难点：解决此类问题的基本思路 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 一个矩形，当周长一定时，它的面积有时可很大，有时可很小，但什么时候最大呢。这节课，我们就研究这个 问题。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 72727272、讲解例题讲解例题 例例 22222222 一条长为 60cm的铁丝围成一个矩形，求当一条边长为多少时，矩形的面积最大。 分析：此例是为下面的讲解作铺垫。可由学生自己画图，再通过计算求得结果。 73737373、书本引例书本引例 此处可用设计好的课件演示给学生看，学生容易接受，再探讨课本问题。 议一议书本 p 62议一议 结果都是一样的。 74747474、做一做做一做 做一做书本 p 62做一做 这类问题都比较抽象，建议教学时要向学生说清道理。 议一议书本 p 63议一议 解决此类问题的基本思路是 课件演示 （1）理解问题； （2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； （3）用数学的方式表示它们之间的关系； （4）做数学求解； （5）检验结果的合理性、拓展等 75757575、讲解例题讲解例题 例例 23232323 书本 p 63习题 2.82 分析：此例较难，要通过相似，得出结果。 随堂练习随堂练习 76、练习册 p 321 77、练习册 p 333 小结小结 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大值。 作业作业 练习册 p 332 教学后记教学后记 第 10 课时 2.8 二次函数与一元二次方程 教学目标 40、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 41、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验 42、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 理解何时方程有两个不等的实根、 两个相等的实根和没有实根 43、理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标， 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根， 进一步发展估算能力 教学重点和难点 重点：理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标 难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 我们知道，二次函数与一元二次方程有一定的相似之处，它们的表达式基本相同。其实，二次函数中的y值为 零时，那么就会变成一元二次方程。这节课，我们来研究它们之间的关系。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 78787878、书本引例书本引例 利用竖直上抛小球问题，引出二次函数与一元二次方程的关系。可由学生用自己的语言表达它们之间有什么关 系。 79797979、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 议一议书本 p 65议一议 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两 个相等的实根和没有实根。 二次函数二次函数二次函数二次函数cbxaxy+= 2 的图象与的图象与的图象与的图象与x x x x轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二轴的交点坐标有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二 次函数次函数次函数次函数cbxaxy+= 2 的图象与的图象与的图象与的图象与x x x x轴有交点时，交点的横坐标就是当轴有交点时，交点的横坐标就是当轴有交点时，交点的横坐标就是当轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y时自变量时自变量时自变量时自变量x x x x的值，即一元二次方程的值，即一元二次方程的值，即一元二次方程的值，即一元二次方程 0 2 =+cbxax的根。的根。的根。的根。 80808080、用逐渐迫近的方法求一元二次方程的近似根用逐渐迫近的方法求一元二次方程的近似根 想一想书本 p 67估算方程的根 要让学生理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标，能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近 似根，进一步发展估算能力。 随堂练习随堂练习 81、书本 p 70随堂练习 82、练习册 p 37 小结小结 二次函数与一元二次方程的关系。 作业作业 书本 p 72习题 2.101 教学后记教学后记 第 1 课时 3.1 车轮为什么做成圆形 教学目标 44、经历形成圆的概念和点与圆的位置关系的过程 45、理解圆的概念和点与圆的位置关系 教学重点和难点 重点：点与圆的位置关系 难点：点与圆的位置关系 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形。圆的半径、直径、周长、面积，我们并不陌生。在这一章里， 我们将学习圆的更深入的知识。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 83838383、车轮为什么做成圆形车轮为什么做成圆形 本节主要用集合的观点研究圆的概念及点与圆的位置关系。通过车轮的实例，让学生感受圆是生活中大量存在 的图形。教学时，可以给学生展示正方形或长方形的车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最 平稳。从而使学生认识到圆上任意一点到圆心的距离是一个定值。 84848484、圆的定义圆的定义 议一议书本 p 83议一议 通过对游戏队形的讨论，使学生进一步认识圆的本质特征，为下面引出圆的定义做准备。如果单纯考虑队形因 素，即只考虑“距离”对投圈结果的影响，那么排成圆形队形比较公平。学生在小学数学中已经学过圆的概念，书 本在此用集合的观点给出了圆的描述性定义。 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆圆； 其中，定点称为圆心圆心； 定长称为半径的长半径的长。 “圆 o”可表示成“o o o o” 。 确定一个圆需要两个要素：一是圆心，二是半径一是圆心，二是半径。 85858585、点与圆的位置关系点与圆的位置关系 想一想书本 p 84想一想 通过投镖的情境引入点与圆的位置关系：点在圆上，点在圆外，点在圆内。 点 o 在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径； 点 o 在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径； 点 o 在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。 a b cd o 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断 点与圆的位置关系。点与圆的位置关系。 做一做书本 p 85做一做 让学生再次经历用集合的观点理解图形的过程。 86868686、讲解例题讲解例题 例例 24242424 练习册 p 433 分析：通过题目已知的面积，间接得出圆的半径，再通过点与圆心的距离判断点是否在圆上。 随堂练习随堂练习 87、书本 p 85随堂练习1、2 88、练习册 p 43 小结小结 点与圆的位置关系。 作业作业 书本 p 86习题 3.12 教学后记教学后记 第 2 课时 3.2.1 圆的对称性 教学目标 46、经历探索圆的对称性及相关性质， 47、理解圆的对称性及相关性质 48、进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 教学重点和难点 重点：垂径定理及其逆定理难点：垂径定理及其逆定理 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 圆是我们比较熟悉的图形。它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 89898989、圆的轴对称性圆的轴对称性 议一议书本 p 89 在探索圆是轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方法，有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应 该鼓励 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 90909090、圆的几个概念圆的几个概念 对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称弧弧弧 ab 记作 ab 大于半圆的弧叫做优弧优弧，小于半圆的弧叫做劣弧劣弧优弧 dca劣弧 ab 连接圆上任意两点的线段叫做弦弦 经过圆心的弦叫做直径直径 1） 注意 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 91919191、垂径定理垂径定理 做一做书本 p 90做一做 从此例子得出垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 如图，在o 中，直径 cd弦 ab，垂足为 m， （1）图中相等的线段有，相等的劣弧有； （2）若 ab = 10，则 am =，bc = 5，则 ac =。 92929292、讲解例题讲解例题 例例 25252525 如图，ab 是o 的一条弦，ocab 于点 c，oa = 5，ab = 8，求 oc 的长。 93939393、垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 想一想书本 p 91想一想 鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，在o 中，直径 cd 平分弦 ab，交 ab 于点 m， （1）图中直角有，相等的劣弧有； （2）若 bc = 5，则 ac =。 94949494、讲解例题讲解例题 例例 26262626 如图，ab 是o 的一条弦，点 c 为弦 ab 的中点，oc = 3，ab = 8，求 oa 的长。 例例 27272727 如图，两个圆都以点 o 为圆心，小圆的弦 cd 与大圆的弦 ab 在同一条直线上。你认为 ac 与 bd 的大小有 什么关系？为什么？ o d c b a m a b c o o d c b a m ab c d o 例例 28282828 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 cd，点 o 是 cd 的圆心） ，其中 cd = 600m，e 为 cd 上一点， 且 oecd，垂足为 f，ef = 90m。求这段弯路的半径。 随堂练习随堂练习 95、书本 p 93随堂练习1、2练习册 p 45 小结小结 垂径定理及其逆定理。 作业作业 书本 p 94习题 3.21 教学后记教学后记 第 2 课时 2.1 圆的对称性 知识目标：经历探索圆的对称性及相关性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解研究几何图形的各种方 法 德育目标：培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神 能力目标：培养学生观察、分析、探索能力和创造力 教学重点和难点 重点：垂径定理及其逆定理 难点：垂径定理及其逆定理 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 在上一节课，我们研究了圆是轴对称图形，还学习了垂径定理及其逆定理。这节课，我们继续研究圆的圆心角、 弧、弦之间相等关系。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 96969696、圆的中心对称（圆的旋转不变性）圆的中心对称（圆的旋转不变性） 做一做书本 p 94顶 通过这个实验，让学生了解圆的旋转不变性。 圆是中心对称图形，对称中心为圆心圆是中心对称图形，对称中心为圆心 c e f d o a b c o 圆的旋转不变性一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，圆的中心对称性是其旋 转不变性的特例。 97979797、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1） 弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆 如图，在o 中，aob 是圆心角、dce 是圆周角 2） 探索圆心角、弧、弦之间的关系（分开同圆和等圆两种来研究） 做一做书本 p 94做一做 通过实验探索圆的另一个特征。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 知二推三：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分圆弧；平行劣弧 1） 举反例强调前提条件：同圆或等圆同圆或等圆 98989898、知一推三知一推三 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相 等等 圆心角；弧；弦；弦心距 99999999、讲解例题讲解例题 例例 29292929 如图，在o 中，ab，cd 是两条弦，oeab，ofcd，垂足分别为 e、f 1）如果aob = cod，那么 oe 与 of 的大小有什么关系？为什么？ 2）如果 oe = of，那么 ab 与 cd 的大小有什么关系？ab 与 cd 的大小有什么关系？为什么？aob 与 cod 呢？ 例例 30303030 书本 p 98随堂练习3 o b a d c e a b c d o e f 课件演示实验， 或学生动手操作 （剪） o d c b a b a o d c o b a o o d c 随堂练习随堂练习 100、书本 p 98随堂练习 101、书本 p100习题 3.32、3 102、练习册 p 47 小结小结 圆心角、弧、弦之间的关系。 作业作业 书本 p 99习题 3.31 教学后记教学后记 第 3 课时 3.3 圆周角和圆心角的关系 知识目标：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质 德育目标：体会分类、归纳等数学思想方法 能力目标：提高分类、归纳的数学能力 教学重点和难点 重点：圆周角和圆心角的关系难点：圆周角和圆心角的关系 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们学习了：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？这节课，我们研究圆周角和圆心角的关系。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 103103103103、圆心角与弧的关系圆心角与弧的关系 我们把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 1的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相 等，所以整个圆也被等分成 360 份。我们把每一份这样的弧叫做 1的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度圆心角的度数和它所对的弧的度 数相等。数相等。 巩固练习：若一条弧是 70，则它所对的圆心角是；若一个圆周角等于 80， 则它所对的弧等于。 104104104104、圆周角与圆心角圆周角与圆心角 通过射门游戏引入圆周角的概念。提出这一问题意在引起学生思考，为本节活动埋下伏笔。 圆周角：圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦 圆心角：圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径 105105105105、讲解例题讲解例题 例例 31313131 下列图形中的角是不是圆周角。 a b c o a b o 分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。 106106106106、讲解例题讲解例题 例例 32323232 下列图形中，哪些图形中的圆心角boc 和圆周角a 是同对一条弧。 分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。 107107107107、同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系 议一议书本 p 101议一议 可放手让学生自己观察动手操作验证思考，老师作适当提点。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理的几个推论圆周角定理的几个推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 直径所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90909090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 108108108108、总结方法总结方法 在这里要帮学生方法，以利于学生解决圆的一些证明的题目。 议一议书本 p 106议一议 鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量与证明、分类与转化，以及类比等。 做一做书本 p 107做一做 是一个有实际背景的问题，解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用反证法及分类的思想。 109109109109、讲解例题讲解例题 例例 33333333 如图，ab 是的直径，bd 是的弦，延长 bd 到 c，使 ca= ab。bd 与 cd 的大小有什么关系？为什么？ 分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。 随堂练习随堂练习 110、书本 p 107随堂练习 111、练习册 p 49 小结小结 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对 的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 作业作业 书本 p 104习题 3.42 o d c b a a bc o a b c o a b c o a b c o d a b c o d 学生动手画图验证 c b a e o d c b a 教学后记教学后记 第 4 课时 3.4 确定圆的条件 知识目标：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆， 以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念 能力目标：进一步体会解决数学问题的策略 德育目标：提高分类、归纳的数学能力 教学重点和难点 重点：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆 难点：过不在同一条直线上的三个点作圆 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 在初一的时候，我们研究过，确定一条直线。经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线。那么经 过一点能作几个圆？经过两点、三点，能确定几个圆呢？ 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 112112112112、平分一条弧平分一条弧 113113113113、确定圆的条件确定圆的条件 做一做书本 p 109做一做 由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件。作图前，要引导学生通过思考明确这样的基本思想： 作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定。 不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆 要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆。 114114114114、讲解例题讲解例题 例例 34343434 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆。 分析：要让学生动手操作。 要写作法 115115115115、外接圆与外心外接圆与外心 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆； 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线垂直平分线的交点，叫做三角形的外心外心。 锐角三角形：外心在圆内 直角三角形：外心在斜边的中点 钝角三角形：外心在圆外 随堂练习随堂练习 116、书本 p 1141 117、练习册 p 53 小结小结 确定圆的条件。 作业作业 作一个钝角三角形的外接圆。 教学后记教学后记 第 7 课时 3.6.1 直线和圆的位置关系 知识目标：经历探索直线与圆位置关系的过程；理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；了解切线的概念 能力目标：提高学生的读图能力 德育目标：运用辩证的观点看待问题 教学重点和难点 重点：理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系 难点：灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 上一阶段，我们研究过点与圆的位置关系。这节课，我们研究直线与圆的位置关系。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 118118118118、地平线与太阳的位置关系地平线与太阳的位置关系 首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后让学生动手操作。在这一过程中引导学生归纳出直 线与圆的几种位置关系。 119119119119、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 做一做试按下列要求画直线 1）与o 有两个交点；2）与o 有一个交点；3）与o 没有交点。 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离相交、相切、相离。 相交直线与圆有两个交点； 相切直线与圆有一个交点； 相离直线与圆有零个交点。 直线和圆有惟一公共点时，这条直线叫做圆的切线圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点切点。 想一想书本 p 117想一想 通过观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位 置关系与数量关系的相互转化。这种等价关系是研究切线的理论基础。 直线和圆相交直线和圆相切直线和圆相离 rd 割线切线 巩固练习1、 练习册 p 541、2、3； 2、随机找一些数据让学生判断直线和圆的位置关系。 120120120120、讲解例题讲解例题 例例 35353535 已知 rtabc 的斜边 ab = 8cm，ac = 4cm。 （1）以点 c 为圆心作圆，当半径为多长时，ab 与c 相切？ o o o oo o （2）以点 c 为圆心，分别以 2cm和 4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与 ab 分别有怎样的位置关系？ 分析：以直线与圆的位置为主线分析，可画圆演示。根据 d 与 r 的数量关系判断直线和圆的位置关系，同时应 用了三角函数的知识。 随堂练习随堂练习 121、书本 p 120随堂练习1 122、练习册 p 547、9 小结小结 直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。 作业作业 书本 p 120习题 3.71 教学后记教学后记 第 8 课时 3.6.2 直线和圆的位置关系 知识目标：探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线 能力目标：提高学生的读图能力 德育目标：运用辩证的观点看待问题 教学重点和难点 重点：切线的性质 难点：灵活运用切线的性质解决实际问题 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题从学生原有的认知结构提出问题 复习直线与圆的位置关系及切线的性质。 师生共同研究形成概念师生共同研究形成概念 123123123123、探索圆的切线的性质探索圆的切线的性质 议一议书本 p 114议一议 由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究。 圆的切线垂直于过切点的直径圆的切线垂直于过切点的直径 在o 中，ab 切o 于点 c， ocab d c b a c ba o c ba o 知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。 124124124124、反证法反证法 只要求学生了解，并且知道第一步是要假设结论不成立。 125125125125、讲解例题讲解例题 例例 36363636 如图，ca 为o 的切线，a 为切点，点 b 在o 上，如果cab = 55，求aob 的度数。 巩固练习p551 例例 37373737 如图， ab 为o 的直径， c 为o 上一点， ad 和过 c 点的切线互相垂直， 垂足为 d。 求证： ac 平分dab。 随堂练习随堂练习 126、书本 p 120随堂练习2 127、练习册 p 552、3、4、5 128、如图，已知 ab 是o 的直径，ad 是弦，过点 b 的切线交 ad 的延长线于 c，求证： 。 129、如图，ab 是o 的直径，ce 是切线，切点为 c，bece 于 e，交o 于 d，求证：ac = cd。 130、如图，pa 切o 于点 a，pb 切o 于点 b，apb = 90，op = 4，求o 的半径。 小结小结 切线的性质。 作业作业 如图的两个