华师版初中数学教案+随堂练习：第十九章_全等三角形.pdf

1 第十九章第十九章 全等三角形全等三角形 19.119.1 命题与定理命题与定理 一知识点： 1.命题：可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition） 正确 的命题称为真命题， 错误的命题称为假命题在数学中， 许多命题是由题设 （或 已知条件） 、结论两部分组成的题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事 项 2.公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们 作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms） 。 3.定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证 明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命 题叫做定理（theorem） 二学习过程： 1按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三例题及习题： 教材中的题目。 1919. .2 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 一知识点： 1.全等三角形的判定条件：若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则 这两个三角形全等. 2.边角边：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形 全等简记为 s.a.s.（或边角边） 3.角边角：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角 形全等简记为 a.s.a.（或角边角） 4.角角边：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么 这两个三角形全等简记为 a.a.s.（或角角边） 5.边边边：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等 简记为 sss （或边边边）. 6.斜边直角边：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么 2 这两个直角三角形全等简记为 hl （或斜边直角边） 二学习过程： 1按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三例题及习题： 教材中的题目。 全等三角形判定练习（基础题）全等三角形判定练习（基础题） 1.如图，abcdeb，ab=de，e=abc，则c的对应角为，bd 的对应边为. 2.如图，ad=ae，1=2，bd=ce，则有abd，理由是，abe ，理由是. （第 1 题）（第 2 题）（第 4 题） 3.已知abcdef，bc=ef=6cm，abc的面积为 18 平方厘米，则ef边上的 高是cm. 4.如图，ad、ad分别是锐角abc和abc中bc与bc边上的高，且ab=ab， ad=ad，若使abcabc，请你补充条件（只需填写一个你认 为适当的条件） 5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、或与另 一个三角形完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即bcef） ，左边滑梯的高度ac与右边滑梯 水平方向的长度df相等，则abcdfe_度 （第6题）（第7题）（第8题）（第9题） 7已知：如图，正方形abcd的边长为 8，m在dc上，且dm2，n是ac上的一 b a e d c ed a b c 12 d a b cb d a c m n d c b a f e d c ba d c b a e d c b a 3 动点，则dnmn的最小值为_ 8如图，在abc中，b90 o，d 是斜边ac的垂直平分线与bc的交点，连结 ad， 若dac：dab2：5，则dac_ 9等腰直角三角形abc中，bac90 o，bd 平分abc交ac于点d，若abad 8cm，则底边bc上的高为_ 10 锐角三角形abc中，高ad和be交于点h， 且bhac，则abc_ 度 11已知在abc中，ab=ac，a=56，则高bd与bc的夹角为（） a28b34c68d62 12在abc中，ab=3，ac=4，延长bc至d，使cd=bc，连接ad，则ad的长的 取值范围为（） a1ad7b2ad14c2.5ad5.5d5ad11 13如图，在abc中，c=90，ca=cb，ad平分cab交bc于d， deab于点e，且ab=6，则deb的周长为（） a4b6c8d10 14. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的 反例是（） a.=60，的补角=120，b.=90，的补角 =900，= c.=100，的补角=80， b.=90，的补角=900，= c.=100，的补角=80， d.两个角互为邻补角 16. abc与abc中，条件ab=ab，bc=bc，ac=ac，a=a ，b=b，c=c，则下列各组条件中不能保证abcabc的 是（） a. b. c. d. 17如图，在abc中，ab=ac，高bd，ce交于点o，ao交bc于点f，则图中共 有全等三角形（） a7 对b6 对c5 对d4 对 d c ba 30 18如图，在abc中，c=90，ac=bc，ad平分bac交bc于点d，deab 于点e，若deb的周长为 10cm，则斜边ab的长为（） a8 cmb10 cmc12 cmd 20 cm 19如图，abc与bde均为等边三角形，abbd，若abc不动，将bde 绕点b旋转，则在旋转过程中，ae 与 cd 的大小关系为（） aae=cdbaecdcaecdd无法确定 20已知p=80，过不在p上一点q作qm，qn分别垂直于p的两边，垂足 为m，n，则q的度数等于（） a10b80c100d80或 100 三、解答题（每小题三、解答题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 21.如图，点e在ab上，ac=ad，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形， 并给予证明.所添条件为， 你 得 到 的 一 对 全 等 三 角 形 是 . 22.如图，egaf，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结 论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） ，并给予证明.ab=ac， de=df，be=cf， 已知：egaf，=，=， 求证：证明： 23. 如图，在abc和def中，b、e、c、f在同一直线上，下面有四个条件， 请你在其中选择 3 个作为题设，余下的 1 个作为结论，写一个真命题，并加 以证明. ab=de，ac=df，abc=def，be=cf e c d ba 31 e a b d f c 24. 如图，四边形abcd中，点e在边cd上.连结ae、bf，给出下列五个关系式： adbc；de=ce. 1=2. 3=4 . ad+bc=ab将其中的三 个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题. (1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果，那么，并给出证 明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明） ； （3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题 e d a c 4 3 2 1 f b 25.已知，如图，d是abc的边ab上一点,df交ac于点e,de=fe,abfc. 问 线段ad、cf的长度关系如何？请予以证明. 26.如图，已知abc是等腰直角三角形，c=90. （1）操作并观察，如图，将三角板的 45角的顶点与点c重合，使这个角落 在acb的内部，两边分别与斜边ab交于e、f两点，然后将这个角绕着点c在 acb的内部旋转，观察在点e、f的位置发生变化时，ae、ef、fb中最长线段 是否始终是ef？写出观察结果. （2）探索：ae、ef、fb这三条线段能否组成以ef为斜边的直角三角形？如 果能，试加以证明. 32 四、探究题四、探究题 （每题（每题 1010 分，共分，共 2020 分）分） 27.如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称 轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分别是bac、 bca的平分线，ad、ce相交于点f.请你判断并写出fe与fd之间的数 量关系； （2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而(1)中的其它条件不变， 请 问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请 说明理由. 28.如图 a，abc和cef是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点c， 连接af和be. (1)线段af和be有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的cef绕点c旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗? 作出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的abc绕点c旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草 图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）. e a c f b e a c f b 图 a图 b op a m n e b c df a c e f b d 图 图图 33 参考答案参考答案 一、1.dbe，ca2.ace，sas，acd，asa（或sas）3. 6 4.cd=cd（或ac=ac，或c=c或cad=cad）5.平移，翻折 6.90 7. 108. 209.24810. 45 二、11. a12. d13. b14.a15.c16.c17.a 18.b19.a20.d 三、21.可选择bdbcdabcabdece=、等条件中的一个.可得到 aceade或acbadb等. 22.结合图形，已知条件以及所供选择的 3 个论断，认真分析它们之间的内 在联系 可选ab=ac，de=df，作为已知条件，be=cf作为结论； 推理过程为：egaf，ged=cfd，bge=bca，ab=ac，b= bca， b=bgebe=eg，在deg和dfc中，ged=cfd，de=df，edg= fdc，degdfc，eg=cf，而eg=be，be=cf； 若选ab=ac，be=cf为条件，同样可以推得de=df， 23.结合图形，认真分析所供选择的 4 个论断之间的内在联系 由be=cf还可推得bc=ef，根据三角形全等的判定方法，可选论断： ab=de，ac=df，be=cf为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等 可以得到：abcdef，进而推得论断abc=def， 同样可选ab=de，abc=def，be=cf为条件，根据两边夹角对应相 等的两个三角形全等可以得到：abcdef，进而推得论断ac=df. 24. （1）如果，那么 证明：如图，延长ae交bc的延长线于f因为adbc所以 1=f 又因为aed=cef，de=ec所以adefce，所以ad=cf,ae=ef 因为1=f,1=2 所以2=f所以ab=bf.所以3=4 所以ad+bc=cf+bc=bf=ab （2） 如果，那么;如果， 那么;如果，那么. (3) 如果，那么;如果，那么;如果，那么. 34 25. （1）观察结果是：当 45角的顶点与点c重合，并将这个角绕着点c在重 合，并将这个角绕着点c在acb内部旋转时，ae、ef、fb中最长的线段始终是 ef. （2）ae、ef、fb三条线段能构成以ef为斜边的直角三角形，证明如下： 在ecf的内部作ecg=ace，使cg=ac，连结eg，fg，acegce， a=1，同理b=2，a+b=90，1+2=90， egf=90，ef为斜边. 四、27.（1）fe与fd之间的数量关系为fe=fd （2）答： （1）中的结论 fe=fd 仍然成立 图图 证法一：如图 1，在ac上截取ag=ae，连接fg 1=2，af=af，ae=ag aefagf afe=afg，fg=fe b=60,且ad、ce分别是bac、bca的平分 线 2+3=60，afe=cfd=afg=60 cfg=60 4=3，cf=cf， cfgcfdfg=fdfe=fd 证法二：如图 2，过点f分别作fgab于点g，fhbc于点h b=60,且ad、ce分别是bac、bca的平分线 2+3=60 gef=60+1,fg=fh hdf=b+1 gef=hdf egfdhffe=fd 28. （1）af=be. 证明：在afc和bec中，abc和cef是等边三角形， ac=bc，c