计算机05级计算方法试卷A、B及参考答案.doc

计 算 机 系 05 级计算方法试卷(a)（2008.1）班级_姓名_学号_得分_本卷考试时间为90分钟。1 （10分）已知具有七位有效数字，试从防止误差的角度给出适当的方法计算，并说明理由。2 （10分）简单叙述秦九韶法（或horner方法）计算多项式值的方法思想, 并应用该方法计算多项式 在处的值，写出计算过程并说明计算过程中所需的乘法次数。3 （10分）选用适当的方法求方程在 附近的一个根，要求所求根的误差不超过。4 （15分）用分解法或高斯消去法解方程组 5 （15分）给出函数表 10152025106080120 试用拉格朗日（lagrange）插值方法或牛顿（newton）插值方法求插值多项式， 并利用插值多项式近似计算在处的值。6（10分）给定数据表 1015202520325072 用最小二乘法求形如的经验公式来拟合上述数据表。7 （15分）简述龙贝格（romberg）求积方法的思想， 并选取适当的数值积分方法，求积分，要求误差不超过。8 （15分）写出四阶龙格库塔（runge-kutta）方法，并选用适当的方法求解初值问题，取， 计算机05级计算方法试卷(b)（2008.1）班级_姓名_学号_得分_本卷考试时间为90分钟。3 (10分)数列满足递推公式 ,若（有三位有效数字），问 从计算到时误差有多大？ 上述计算是稳定的？4 (10分)给出计算多项式 在处的值方法，使其所需乘法次数尽可能少.6 (10分)用适当数值方法求方程 在区间 上的一个根，精度。7 (15分)用gauss消去法或分解法解方程组 8 (15分)给出函数表 0.52.03.54.02.62518.00069.37598.000 试求各阶差商，并写出牛顿（newton）插值多项式。6(10分)给定数据表 3456491215 用最小二乘法求形如的经验公式来拟合上述数据表。9 (15分)用复化辛普森(simpson)公式或复化梯形公式近似计算积分， 其中.10 (15分)用四阶龙格库塔（runge-kutta）方法求解初值问题，取， 计 算 机 系 05 级计算方法试卷(a)解答（2008.1）本卷考试时间为90分钟。5 （10分）已知具有七位有效数字，试从防止误差的角度给出适当的方法计算，并说明理由。解： 根据防止误差的几个原则，在进行数值计算时，应尽量避免相近数相减。 4 分由于，当 时， 是相近数相减， 因此在数值计算时要尽量避免. 这里可以利用来避免相近数相减. 3 分据此有 3 分说明：对于其他做法适当给分。6 （10分）简单叙述秦九韶法（或horner方法）计算多项式值的方法思想, 并应用该方法计算多项式 在处的值，写出计算过程并说明计算过程中所需的乘法次数。解: 对于次多项式, 秦九韶法（或horner方法）计算多项式值的方法思想是先将多项式改写为, 对于给定的点, 令则为多项式在给定点的函数值, 并且计算所需要的乘法次数为. 5 分应用上述方法可得.所需乘法次数为5次 5 分说明：对于其他做法适当给分。9 （10分）选用适当的方法求方程在 附近的一个根，要求所求根的误差不超过。解: 选用newton迭代法, 5 分对于本题而言, , 代入上述迭代公式可得:计算结果如下:x1 = 0.9187; x2 = 0.9101; x3 = 0.9100; x4 = 0.9100. 5 分说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。10 （15分）用分解法或高斯消去法解方程组 解: 7 分设, 令, 解得, . 8 分说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。11 （15分）给出函数表 10152025106080120 试用拉格朗日（lagrange）插值方法或牛顿（newton）插值方法求插值多项式， 并利用插值多项式近似计算在处的值。解: 利用newton插值多项式, 先计算差商表如下: 1.0 1.0000 0 0 0 1.5 6.0000 10.0000 0 0 2.0 8.0000 4.0000 -6.0000 0 2.5 12.0000 8.0000 4.0000 6.6667 6 分 所求多项式为 p(x)=6.6667 x3 - 36.0000 x2 + 68.3333 x - 38.0000 6 分 在处的值的近似值为p(1.8)= 7.2400 3 分说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。6（10分）给定数据表 1015202520325072 用最小二乘法求形如的经验公式来拟合上述数据表。解: 设节点为, 令 5 分可得13.5000b+ 7.0000a=34.8 7.0000b + 4.0000a=17.4解得: b=3.48 a= -1.74为所求. 5 分说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。11 （15分）简述龙贝格（romberg）求积方法的思想， 并选取适当的数值积分方法，求积分，要求误差不超过。解: 龙贝格（romberg）求积方法的思想是利用下述变步长的梯形公式：，其中， 由复化梯形公式给出。 5 分以及， 6 分可以从精度相比而言并不是很高的复化梯形公式得到精度较高的计算公式, 而计算量可以充分利用变步长梯形公式的优点.使用龙贝格（romberg）求积方法可得上述积分的计算结果如下:1.3591 0.8811 0.8597 0.8591 1.0006 0.8610 0.8592 0.8959 0.8593 0.8684 4 分说明： 如果答卷上选用其他方法求得结果则一样给分， 另外， 若方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。12 （15分）写出四阶龙格库塔（runge-kutta）方法，并选用适当的方法求解初值问题，取， 解: 对于方程四阶龙格-库塔（rungekutta）方法如下:对于给定的问题, 应用四阶龙格-库塔（rungekutta）方法可得如下计算结果: 10 分k1 =0.2000 k2 = 0.2600 k3 = 0.2660 k4 = 0.3332y1 =1.2642 k1 =0.3328 k2 = 0.4061 k3 = 0.4135 k4 = 0.4955y2 =1.6755 k1 =0.4951 k2 =0.5846 k3 =0.5936 k4 = 0.6938y3 =2.2663即:x =0 0.2000 0.4000 0.6000y =1.0000 1.2642 1.6755 2.2663 5 分说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。计算机05级计算方法试卷(b)（2008.1）班级_姓名_学号_得分_本卷考试时间为90分钟。7 (10分)数列满足递推公式 ,若（有三位有效数字），问 从计算到时误差有多大？ 上述计算是稳定的？解: 设的近似值为, 由可得, 两式相减可得其中. 5 分因此，的误差随着的增大而增大, 因而上述计算是不稳定的. 5 分8 (10分)给出计算多项式 在处的值方法，使其所需乘法次数尽可能少.解: 对于次多项式, 秦九韶法（或horner方法）计算多项式值的方法可以保证所用乘法次数最少, 其算法思想是先将多项式改写为,对于给定的点, 令则为多项式在给定点的函数值, 并且计算所需要的乘法次数为. 5 分应用上述方法可得.所需乘法次数为5次 5 分12 (10分)用适当数值方法求方程 在区间 上的一个根，精度。解: 选用newton迭代法, 5 分对于本题而言, , 代入上述迭代公式可得:计算结果如下:x1 =0.7143, x2 =0.6832, x3 =0.6823, x4 =0.6823 5 分13 (15分)用gauss消去法或分解法解方程组 解: 7 分设, 令, 解得, . 8 分14 (15分)给出函数表 0.52.03.54.02.62518.00069.37598.000 试求各阶差商，并写出牛顿（newton）插值多项式。解: 差商表:0.5 2.6250 2.0 18.0000 10.2500 3.5 69.3750 34.2500 8.0000 4.0 98.0000 57.2500 11.5000 1.0000 8 分newton插值多项式为: p(x)= x3 +2 x2 + 2 7 分6(10分)给定数据表 3456491215 用最小二乘法求形如的经验公式来拟合上述数据表。解: 设节点为, 令 5 分可得86b+ 18a=198 18b + 4a=40解得: b=3.6000 a= -6.2000为所求. 5 分13 (15分)用复化辛普森(simpson)公式或复化梯形公式近似计算积分， 其中.解: 利用复化辛普森(simpson)公式这里, 7 分函数在上述节点处的函数值为y 0= 0.0139, y1 = 0.1014, y2 = 0.2357, y3 = 0.3951, y4 = 0.0498,y5 = 0.1644, y6 = 0.3132, y7 = 0, y8 = 0.4805.代入上述公式可得计算结果为: s4 = 0.1883 8 分14 (15分)用四阶龙格库塔（runge-kutta）方法求解初值问题，取， 解: 对于方程四阶龙格-库塔（rungekutta）方法如下: 7 分对于给定的问题, 应用四阶龙格-库塔（rungekutta）方法可得如下计算结果:k1 = 0.4000, k2 =0.4600, k3 = 0.4660,